概率论与统计bc课件第四章401数学期望

第四章随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望二、随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质四、小结第一节

数学期望击中环数8910概率0.30.10.6一、随机变量的数学期望1.

离散型随机变量的数学期望例1

谁的技术比较好?甲,乙两个射手,他们的射击技术分别为甲射手乙射手击中环数8910概率0.20.50.3解E(X1

)=8

·

0.3

+9

·

0.1

+10

·

0.6

=9.3(环),E(X

2

)=8

·

0.2

+9

·

0.5

+10

·

0.3

=9.1(环),故甲射手的技术比较好.设甲,乙射手击中的环数分别 为

X

1

,

X

2

.试问哪个射手技术较好?定义设离散型随机变量X

的分布律为P{

X

=

xk

}

=

pk

,

k

=

1,2,.¥k

=1¥¥k

=1的和为随机变量X

的数学期望,记为E(X

).即E(

X

)

=

xk

pk.k

=1xk

pkk

kx

p

绝对收敛,则称级数若级数关于定义的几点说明E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同

,它从本质上体现了随机变量

X

取可能值的真正平均值,

也称均值.级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X

取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.例2

如何确定投资决策方向?某人有10万元现金,想投资于某项目,欲估成功的机会为30%,可得利润8万元,失败的机会为70%,将损失2

万元.若存入银行,同期间的利率为5%,问是否作此项投资?解设X

为投资利润,则E(X

)=8

·

0.3

-2

·

0.7

=1(万元),存入银行的利息:10

·

5%=0.5(万元),故应选择投资.Xp8-

20.3

0.7例3

二项分布设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其分布律为=

0,1,2,,

n),0

<

p

<

1.n

k

P{

X

=

k}

=

pk

(1

-

p)n-k,(k则有P{

X

=

k}nE(

X

)

=

kk

=0knk

=0kn-k

n

k

p

(1

-

p)=kn-knp

(1

-

p)kn!k!(n

-

k

)!=k

=0-

1)]!(

n-1)-(

k

-1)k

-1p

(1

-

p)(k

-

1)![(nnp(n

-

1)!-

1)

-

(k(n

-

1)!=nk

=1=

np[

p

+

(1

-

p)]n-1=np则两点分布B(1,p)的数学期望为p.(

n-1)-(

k

-1)k

-1p

(1

-

p)(k

-

1)]!(k

-

1)![(n

-

1)

-nk

=1=

np例4

泊松分布l

>

0.k

=

0,1,2,,e-l

,k!lk¥P{

X

=

k}

=则有E(

X

)

=

kk

=0k!lk¥k

=1

(k

-

1)!e-l

=

e-l

lk

-1lel=

le-l=

ll.设

X

~

P(l),

且分布律为2.连续型随机变量数学期望的定义-¥¥-¥E

(

X

)

=

x

p(

x)

dx.变量X

的数学期望,记为E

(X

).即¥x

p(x)d

x

的值为随机绝对收敛,则称积分-¥x

p(

x)

d

x定义设连续型随机变量X

的概率密度为p(x),若积分¥例5

顾客平均等待多长时间?设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为

0,x

>

0,x

£

0.p(

x)

=

51

e-

x

5

,解¥-¥E(

X

)

=x51e-x

5

d

x=5(分钟).0试求顾客等待服务的平均时间?¥x

p(

x)

d

x

=因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.例6

均匀分布设

X

~

U

(a,b),其概率密度为则有E(

X

)

=¥-¥bxp(

x)

d

x

=

a

b

-

ax

d

x1=

11

((aa

++

bb))..22结论：均匀分布的数学期望位于区间的中点.0,p(

x)

=

b

-

a,

a

<

x

<

b,其它.1其中l

>0.x

>

0,x

£

0.p(

x)

=

0,例7

指数分布设随机变量X

服从指数分布,其概率密度为le-lx

,则有E(

X

)

=xp(

x)

d

x¥-¥-lxx

le

d

x¥=0=

1

.le

d

x=

-

xe-lx-lx00¥¥+例8

正态分布设

X

~

N

(

μ,σ

2

),

其概率密度为则有xp(

x)

d

xE(

X

)

=¥-¥d

xe2pσx2σ

2(

x-

μ

)21-¥-¥=σ令

x

-

μ

=

t

x

=

μ

+

σ

t,-

¥

<

x

<

¥

.p(

x)

=-e

,

σ

>

0,(

x

-

μ

)22p

σ2σ

21=

μμ.可见,N

(m,s

2

)中的m正是它的数学期望.te

d

tσ=

μ1¥-¥2-t2¥-¥2-t2e

d

t

+2p

2pd

xe2pσx所以

E(

X

)

=2σ2(

x-μ)21-¥-¥t222p1-(μ

+

σt)e

dt¥-¥=1.

离散型随机变量函数的数学期望若X为离散型随机变量，分布律为Y=f(X)为X的函数P{

X

=

xk

}

=

pk

,

(k

=

1,2,),则Y的期望为¥E(

f

(

X

))

=

f

(

xk

)

pk

.k

=1二、随机变量函数的数学期望2.

连续型随机变量函数的数学期望若X

是连续型的,它的概率密度为p(x)则f

(

x)

p(

x)

d

x.E(

f

(

X

))

=¥-¥3.

二维随机变量函数的数学期望(1)

设

X

,Y

为离散型随机变量

,

f

(

x,

y)

为二元函数,

则

E

[f

(

X

,Y

)]

=

f

(

xi

,

y

j

)

pij

.i

j其中(X

,Y

)的联合概率分布为pij

.f

(

x,

y)p(

x,

y)

d

x

d

y.E[

f

(

X

,Y

)]

=¥

¥-¥

-¥(2)

设

X

,

Y

为连续型随机变量

,

f

(

x,

y)

为二元函数,

则其中(X

,Y

)的联合概率密度为p(x,y).E(

X

)

=xp(x,

y)dxdyX+¥

+¥

+¥-¥-¥

-¥xp

(x)dx

=

E(Y

)

=ypY

(

y)dy

=yp(x,

y)dxdy+¥+¥

+¥-¥-¥-¥X123p0.40.20.4解X

的分布律为Y

X123-

10.20.1000.100.310.10.10.1求:

E(

X

),

E(Y

),

E(Y X

),

E[(

X

-

Y

)2

].例9

设

(X

,Y)

的分布律为得

E(Y

)

=

-1·

0.3

+

0

·

0.4

+

1·

0.3

=

0.由于Y-

101p0.30.40.3得

E(

X

)

=

1·

0.4

+

2

·

0.2

+

3

·

0.4

=

2.Y

的分布律为p0.20.10.10.10.10.30.1(

X

,Y

)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,1)(3,0)(3,1)Y

X-

101-

1

21

201

3p0.20.10.10.10.10.30.1(

X

,Y

)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,1)(3,0)(3,1)(

X

-

Y

)24109194得E[(X

-Y

)2

]=4

·

0.3

+1·

0.2

+0

·

0.1

+9

·

0.4=

5.1

0.1+1·0.1+0·0.3+1·0.12

3

XE

Y

=-1·0.2+0·0.1+1·0.1-

·2于是15=

1

.1.

设C是常数,则有E(C

)

=

C

.证明E(

X

)

=

E(C

)

=

1

·C

=

C

.2.

设X

是一个随机变量,C

是常数,则有E(CX

)

=

CE(

X

).证明E(CX

)

=

Cxk

pk

=

C

xk

pk

=

CE(

X

).k

k例如

E(

X

)

=

5,

则

E(3

X

)

=

3E(

X

)

=

3

·5

=

15.三、数学期望的性质k

k4.

设X、Y

是相互独立的随机变量,则有E(

XY

)

=

E(

X

)E(Y

).说明

连续型随机变量

X

的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似.3.

设

X、Y

是两个随机变量,

则有E

(

X

–Y

)

=

E

(

X

)

–

E

(Y

).证明E(

X

+

Y

)

=

(

xk

+

yk

)pk推广n

nk=

xk

pk

+

yk

pk

=

E

(

X

)

+

E

(Y

).E(

ai

Xi

)

=

ai

E(

Xi

).i

=1

i

=1四、小结数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X

取可能值的真正的平均值.数学期望的性质400010E(C

)

=

C;E(CX

)

=

CE(

X

);E(

X

+

Y

)

=

E(

X

)

+

E(Y

);X

,Y

独立

E(XY

)=E(X

)E(Y

).3.

常见离散型随机变量的数学期望分布分布律E(X)(0-1)分布X~B(1,

p)P{

X

=

k}

=

pk

(1

-

p)1-kk=0,1p二项分布X~B(n,

p)P{X

=

k}

=Ck

pk(1-

p)n-knk=0,1,2,…,nnp泊松分布X

~

P(l)lkP{X=k}=

e

-lk!k=0,1,2,…l4.常见连续型随机变量的数学期望分布名称概率密度E

(

X

)均匀分布X~U[a,b]

1

,

x

˛

[a,

b]p(x)=b

-

a0,

其他a

+

b2正态分布X

~

N

(m,s

2

)(

x

-m

)2p(x)=

1 e-

2s

22psm指数分布X

~

E

(l

)le-lx

,

x

>

0p(x)=0,

其他(l

>

0)1l例1

每人该交多少保险费?根据生命表知,某年龄段保险者里,一年中每个人死亡的概率为0.002,现有10000个这类人参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.问每人一年须交保险费多少元?备份题解设1年中死亡人数为X

,

则

X

~

b(10000,0.002)(0.002)

(1

-

0.002)10000-k10000

k

=0k

E(

X

)

=1000kk=20(人).被保险人所得赔偿金的期望值应为20

·

2000

=40000(元).若设每人一年须交保险费为a

元,由被保险人交的“纯保险费”与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知10000a

=40000

a

=4(元),故每人1年应向保险公司交保险费4元.解E(2

X

3

+

5)

=

2E(

X

3

)

+

E(5)=

2E(

X

3

)

+

5,12

121

103又E(X

3

)=(-2)3

·+333

1

3

1

1·

2

+

1

· +

3

·

=

-

,31

+

5

=

13

.

故E(2

X

3

+5)=2E(X

3

)+5

=2

·

-3例2

设求:

E(2

X

3

+

5).-

2

0

1