2024学年山东省济南市历城区历城第二中学高二上数学期末学业质量监测试题含解析

2024学年山东省济南市历城区历城第二中学高二上数学期末学业质量监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则（）A.函数在上单调递增B.函数上有两个零点C.函数有极大值16D.函数有最小值2．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线围成的图形的面积是；②曲线上的任意两点间的距离不超过；③若是曲线上任意一点，则的最小值是其中正确结论的个数为（）A. B.C. D.3．直线的倾斜角是（）A. B.C. D.4．圆的圆心和半径分别是（）A. B.C. D.5．已知数列是等差数列，其前n项和为，则下列说法错误的是（）A.数列一定是等比数列 B.数列一定是等差数列C.数列一定是等差数列 D.数列可能是常数数列6．已知点，，直线：与线段相交，则实数的取值范围是（）A.或 B.或C. D.7．已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为A. B.C. D.8．圆的圆心为（）A. B.C. D.9．已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则（）A.16 B.C.14 D.10．已知数列满足且，则（）A.是等差数列 B.是等比数列C.是等比数列 D.是等比数列11．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于PQ两点，若以线段PQ为直径的圆与直线相切，则（）A.8 B.7C.6 D.512．已知向量，，且，则实数等于（）A1 B.2C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若直线与直线平行，且原点到直线的距离为，则直线的方程为____________.14．已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________.15．曲线在点M(π，0)处的切线方程为________16．若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的上焦点和右顶点，则椭圆的方程是________________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知双曲线：的两条渐近线所成的锐角为且点是上一点（1）求双曲线的标准方程；（2）若过点的直线与交于，两点，点能否为线段的中点？并说明理由18．（12分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；19．（12分）已知，，且，求实数的取值范围.20．（12分）写出下列命题的逆命题、否命题以及逆否命题：（1）若，则；（2）已知为实数，若，则21．（12分）在①，②，③，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.设数列是公比大于0的等比数列，其前项和为，数列是等差数列，其前项和为.已知，，，_____________.（1）请写出你选择条件的序号____________；并求数列和的通项公式；（2）求和.22．（10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点（1）证明：平面PCD；（2）若PB与底面ABCD所成角的正切值为，求二面角的正弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】对求导，研究的单调性以及极值，再结合选项即可得到答案.【题目详解】，由，得或，由，得，所以在上递增，在上递减，在上递增，所以极大值为，极小值为，所以有3个零点，且无最小值.故选：C2、C【解题分析】结合已知条件写出曲线的解析式，进而作出图像，对于①，通过图像可知，所求面积为四个半圆和一个正方形面积之和，结合数据求解即可；对于②，根据图像求出曲线上的任意两点间的距离的最大值即可判断；对于③，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解.【题目详解】当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：，曲线的图像如下图所示：由上图可知，曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，从而曲线所围成的面积，故①正确；由曲线的图像可知，曲线上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即，故②错误；因为到直线的距离为，所以，当最小时，易知在曲线的第一象限内的图像上，因为曲线的第一象限内的图像是圆心为，半径为的半圆，所以圆心到的距离，从而，即，故③正确，故选：C.3、A【解题分析】将直线方程化为斜截式，由此确定斜率；根据斜率和倾斜角关系可得结果.【题目详解】设直线的倾斜角为，则，由得：，则斜率，.故选：A.4、B【解题分析】将圆的方程化成标准方程，即可求解.【题目详解】解：.故选：B.5、B【解题分析】可根据已知条件，设出公差为，选项A，可借助等比数列的定义使用数列是等差数列，来进行判定；选项B，数列，可以取，即可判断；选项C，可设，表示出再进行判断；选项D，可采用换元，令，求得的关系即可判断.【题目详解】数列是等差数列，设公差为，选项A，数列是等差数列，那么为常数，又，则数列一定是等比数列，所以选项A正确；选项B，当时，数列不存在，故该选项错误；选项C，数列是等差数列，可设（A、B为常数），此时，，则为常数，故数列一定是等差数列，所以该选项正确；选项D，，则，当时，，此时数列可能是常数数列，故该选项正确.故选：B.6、A【解题分析】由可求出直线过定点，作出图象，求出和，数形结合可得或，即可求解.【题目详解】由可得：，由可得，所以直线：过定点，由可得，作出图象如图所示：，，若直线与线段相交，则或，解得或，所以实数的取值范围是或，故选：A.7、A【解题分析】恰好为抛物线的焦点，等于到准线的距离，要想最小，过圆心作抛物线的准线的垂线交抛物线于点，交圆于，最小值等于圆心到准线的距离减去半径4-1=.考点:1.抛物线的定义；2.圆中的最值问题；8、D【解题分析】由圆的标准方程求解.【题目详解】圆的圆心为，故选：D9、B【解题分析】由题意得到，根据等比数列的性质得到，化简，即可求解.【题目详解】由，是函数的两个不同零点，可得，根据等比数列的性质，可得则.故选：B.10、D【解题分析】由，化简得，结合等比数列、等差数列的定义可求解.【题目详解】由，可得，所以，又由，，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以，，，，所以不是等差数列；不等于常数，所以不是等比数列.故选：D.11、C【解题分析】依据抛物线定义可以证明：以过抛物线焦点F的弦PQ为直径的圆与其准线相切，则可以顺利求得线段的长.【题目详解】抛物线的焦点F，准线取PQ中点H，分别过P、Q、H作抛物线准线的垂线，垂足分别为N、M、E则四边形为直角梯形，为梯形中位线，由抛物线定义可知，,，则故，即点H到抛物线准线的距离为的一半，则以线段PQ为直径的圆与抛物线的准线相切.又以线段PQ为直径的圆与直线相切，则以线段PQ为直径的圆的直径等于直线与直线间的距离.即故选：C12、C【解题分析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即可得解【题目详解】因向量，，且，则，解得，所以实数等于.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】可设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求得，即可得解.【题目详解】可设直线的方程为，即，则原点到直线的距离为，解得，所以直线的方程为.故答案为：.14、1【解题分析】根据向量共面，可设，先求解出的值，则的值可求.【题目详解】因为，，共面且，不共线，所以可设，所以，所以，所以，所以，故答案为：1.15、【解题分析】由题意可得，据此可得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.【题目详解】由函数的解析式可得：，所求切线的斜率为：，由于切点坐标为，故切线方程为：.【题目点拨】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.16、【解题分析】设过点的圆的切线为，分类讨论求得直线分别与圆的切线，求得直线的方程，从而得到直线与轴、轴的交点坐标，得到椭圆的右焦点和上顶点，进而求得椭圆的方程.【题目详解】设过点的圆的切线分别为，即，当直线与轴垂直时，不存在，直线方程为，恰好与圆相切于点；当直线与轴不垂直时，原点到直线的距离为，解得，此时直线的方程为，此时直线与圆相切于点，因此，直线的斜率为，直线的方程为，所以直线交轴交于点，交于轴于点，椭圆的右焦点为，上顶点为，所以，可得，所以椭圆的标准方程为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）点不能为线段的中点，理由见解析.【解题分析】（1）由渐近线夹角求得一个斜率，再代入点的坐标，然后可解得得双曲线方程；（2）设直线方程为（斜率不存在时另说明），与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理，结合中点坐标公式求得，然后难验证直线与双曲线是否相交即可得【题目详解】解：（1）由题意知，双曲线的渐近线的倾斜角为30°或60°，即或当时，的标准方程为，代入，无解当时，的标准方程为，代入，解得故的标准方程为（2）不能是线段的中点设交点，，当直线的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个交点，不符合题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，则，由得，将代入判别式，所以满足题意的直线也不存在所以点不能为线段的中点18、（1）（2）详见解析【解题分析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间.【题目详解】（1），，，，又，在处的切线方程为.（2），令，解得：，.①当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；②当时，在上恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；③当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.【题目点拨】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.19、.【解题分析】求得集合，根据，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.【题目详解】由题意，集合当时，即，解得，此时满足，当时，要使得，则或，当时，可得，即，此时，满足；当时，可得，即，此时，不满足，综上可知，实数的取值范围为.20、（1）答案见解析（2）答案见解析【解题分析】（1）（2）根据逆命题、否命题以及逆否命题的定义作答即可；【小问1详解】解：逆命题：若，则；否命题：若，则；逆否命题：若，则【小问2详解】解：逆命题：已知为实数，若，则；否命题：已知为实数，若或，则；逆否命题：已知实数，若，则或21、（1）选①，，；选②，，；选③，，；（2），【解题分析】（1）选条件①根据等比数列列出方程求出公比得通项公式，再由等差数列列出方程求出首项与公差可得通项公式，选②③与①相同的方法求数列的通项公式;（2）根据等比数列、等差数列的求和公式解计算即可.【小问1详解】选条件①：设等比数列的公比为q，，，解得或，，，.设等差数列的公差为d，，，解得，，.选条件②：设等比数列的公比为q，，，解得或，，，.设等差数列的公差为，，，解得，，选条件③：设等比数列的公比为，，，解得或，，，.设等差数列的公差为，，，解得，【小问2详解】由（1）知，，22、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）依题意可得，再根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，即可得证；（2）取的中点为，连接，根据面面垂直的性质