江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学2024届数学高二上期末学业质量监测模拟试题含解析

江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学2024届数学高二上期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等比数列中，，，则等于（）A. B.5C. D.92．若两条直线与互相垂直，则的值为（）A.4 B.-4C.1 D.-13．已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为A.或 B.或C.或 D.或4．给出如下四个命题正确的是（）①方程表示的图形是圆；②椭圆的离心率；③抛物线的准线方程是；④双曲线的渐近线方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④5．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A. B.C. D.6．已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，准线为l，M是抛物线上一点，过点M作MN⊥l于N.若△MNF是边长为2的正三角形，则p=（）A. B.C.1 D.27．设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（）A.圆 B.直线C.平面 D.线段8．已知函数的图象过点，令.记数列的前n项和为，则（）A. B.C. D.9．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB1D1的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为（）A. B.C. D.10．圆的圆心到直线的距离为2，则（）A. B.C. D.211．在等腰中，在线段斜边上任取一点，则线段的长度大于的长度的概率（）A. B.C. D.12．已知△的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△的周长是（）A. B.C.8 D.16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆和直线.（1）求直线l所经过的定点的坐标，并判断直线与圆的位置关系；（2）求当k取什么值，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长.14．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________15．，成立为真命题，则实数的取值范围______.16．过直线上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是边长为2的正方形，正方形绕旋转形成一个圆柱；（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形绕顺时针旋转至，求异面直线与所成角的大小18．（12分）国家助学贷款由国家指定的商业银行面向在校全日制高等学校经济困难学生发放.用于帮助他们支付在校期间的学习和日常生活费.从年秋季学期起，全日制普通本专科学生每人每年申请贷款额度由不超过元提高至不超过元，助学贷款偿还本金的宽限期从年延长到年.假如学生甲在本科期间共申请到元的助学贷款，并承诺在毕业后年内还清，已知该学生毕业后立即参加工作，第一年的月工资为元，第个月开始，每个月工资比前一个月增加直到元，此后工资不再浮动.（1）学生甲参加工作后第几个月的月工资达到元；（2）如果学生甲从参加工作后的第一个月开始，每个月除了偿还应有的利息外，助学贷款的本金按如下规则偿还：前个月每个月偿还本金元，第个月开始到第个月每个月偿还的本金比前一个月多元，第个月偿还剩余的本金.则他第个月的工资是否足够偿还剩余的本金.（参考数据：；；）19．（12分）如图，已知椭圆的焦点是圆与x轴的交点，椭圆C的长半轴长等于圆O的直径（1）求椭圆C的方程；（2）F为椭圆C的右焦点，A为椭圆C的右顶点，点B在线段FA上，直线BD，BE与椭圆C的一个交点分别是D，E，直线BD与直线BE的倾斜角互补，直线BD与圆O相切，设直线BD的斜率为．当时，求k20．（12分）已知椭圆过点，且离心率（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，，连接与交于点①若，求；②求的值21．（12分）已知圆C的圆心C在直线上，且与直线相切于点.（1）求圆C的方程；（2）过点的直线与圆C交于两点，线段的中点为M，直线与直线的交点为N.判断是否为定值.若是，求出这个定值，若不是，说明理由.22．（10分）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，O是BC的中点，（1）证明：平面平面BCD；（2）若三棱锥的体积为，E是棱AC上的一点，当时，二面角E－BD－C大小为60°，求t的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】由等比数列的项求公比，进而求即可.【题目详解】由题设，，∴故选：D2、A【解题分析】根据两直线垂直的充要条件知：，即可求的值.【题目详解】由两直线垂直，可知：，即.故选：A3、B【解题分析】分双曲线的焦点在轴上和在轴上两种情况讨论，求出的值，利用可求得双曲线的离心率的值.【题目详解】若焦点在轴上，则有，则双曲线的离心率为；若焦点在轴上，则有，则，则双曲线的离心率为.综上所述，双曲线的离心率为或.故选：B.【题目点拨】本题考查双曲线离心率的求解，在双曲线的焦点位置不确定的情况下，要对双曲线的焦点位置进行分类讨论，考查计算能力，属于基础题.4、A【解题分析】对选项①，根据圆一般方程求解即可判断①错误，对选项②，求出椭圆离心率即可判断②错误，对③，求出抛物线渐近线即可判断③正确，对④，求出双曲线渐近线方程即可判断④错误。【题目详解】对于①选项，，，故①错误；对于②选项，由题知，所以，所以离心率，故②错误；对于③选项，抛物线化为标准形式得抛物线，故准线方程是，故③正确；对于④选项，双曲线化为标准形式得，所以，焦点在轴上，故渐近线方程是，故④错误.故选：A5、A【解题分析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6、C【解题分析】根据正三角形的性质，结合抛物线的性质进行求解即可.【题目详解】如图所示：准线l与横轴的交点为，由抛物线的性质可知：，因为若△MNF是边长为2的正三角形，所以，，显然，在直角三角形中，，故选：C7、C【解题分析】根据法向量的定义可判断出点所构成的图形.【题目详解】是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件，所以，构成的图形是经过点，且以为法向量的平面.故选：C.【题目点拨】本题考查空间中动点的轨迹，考查了法向量定义的理解，属于基础题.8、D【解题分析】由已知条件推导出，．由此利用裂项求和法能求出【题目详解】解：由，可得，解得，则.∴，故选：【题目点拨】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9、A【解题分析】先由等面积法求得的长，再以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，运用线面角的向量求解方法可得答案【题目详解】如图，连接交于点，过点作于，则平面，则，设，则，则根据三角形面积得，代入解得以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则，，设平面的法向量为，，，则，即，令，得，所以直线与平面所成的角的余弦值为，故选：10、B【解题分析】配方求出圆心坐标，再由点到直线距离公式计算【题目详解】圆的标准方程是，圆心为，∴，解得故选：B.【题目点拨】本题考查圆的标准方程，考查点到直线距离公式，属于基础题11、C【解题分析】利用几何概型的长度比值，即可计算.【题目详解】设直角边长，斜边，则线段的长度大于的长度的概率.故选：C12、D【解题分析】根据椭圆定义求解【题目详解】由椭圆定义得△的周长是，故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）直线过定点P（4，3），直线和圆总有两个不同交点（2）k=1，【解题分析】(1)把直线方程化为点斜式方程即可；(2)由圆的性质知，当直线与PC垂直时，弦长最短.【小问1详解】直线方程可化为，则直线过定点P（4，3），又圆C标准方程为，圆心为，半径为，而，所以点P在圆内，所以不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点.【小问2详解】由圆的性质知，当直线与PC垂直时，弦长最短.，所以k=1时弦长最短.弦长为.14、±1【解题分析】由题意得＝≠，∴a＝－4且c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，由两平行线间的距离公式，得＝，解得c＝2或c＝－6，∴＝±115、.【解题分析】根据题意转化为，恒成立，得到，即可求解.【题目详解】由题意，命题，成立为真命题，即，恒成立，当时，，所以，即实数的取值范围.故答案为：.16、【解题分析】当圆心与点的距离最小时，切线长，最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段.然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可.【题目详解】解：根据题意可知：当圆心与点的距离最小时，切线长，最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段.圆心到直线的距离为四边形面积的最小值为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）利用表面积公式直接计算得到答案.（2）连接和，，故即为异面直线与所成角，证明，根据长度关系得到答案.【小问1详解】【小问2详解】如图所示：连接和，，故即为异面直线与所成角，，，，故平面，平面，故，，故，直角中，，，，故异面直线与所成角的大小为.18、（1）；（2）不能，理由见解析.【解题分析】（1）设甲参加工作后第个月的月工资达到元，根据已知条件可得出关于的不等式，结合参考数据可求得结果；（2）分析可知从第个月开始到第个月偿还的本金是首项为为首项，以为公差的等差数列，计算出甲前个月偿还的本金，再由甲第个月的工资可得出结论.【小问1详解】解：设甲参加工作后第个月的月工资达到元，则，可得，，解得，所以，学生甲参加工作后第个月的月工资达到元.【小问2详解】解：因为甲前个月每个月偿还本金元，第个月开始到第个月每个月偿还的本金比前一个月多元，所以，从第个月开始到第个月偿还的本金是首项为为首项，以为公差的等差数列，所以，前个月偿还的本金为，因为第个月开始，每个月工资比前一个月增加直到元，所以，第个月的工资为元，因为，因此，甲第个月的工资不能足够偿还剩余的本金.19、（1）；（2）-1【解题分析】（1）由题设可得，求出参数b，即可写出椭圆C的方程；（2）延长线段DB交椭圆C于点，根据对称性设B，为，，联立椭圆方程，应用韦达定理并结合已知条件可得，直线与圆相切可得，进而求参数t，即可求直线BD的斜率.【小问1详解】因为圆与x轴的交点分别为，，所以椭圆C的焦点分别为，，∴，根据条件得，∴，故椭圆C的方程为【小问2详解】延长线段DB交椭圆C于点，因直线BD与直线BE的倾斜角互补，根据对称性得由条件可设B的坐标为，设D，的纵坐标分别为，，直线的方程为，由于，即，所以由得：∴，∴①，②，由①得：，代入②得，∴∵直线与圆相切，∴，即∴，解得，又，∴，故，即直线BD斜率【题目点拨】关键点点睛：将已知线段的长度关系转化为D，的纵坐标的数量关系，设直线的含参方程，联立椭圆方程及其与圆的相切求参数关系，进而求参数即可.20、（1）（2）①,②【解题分析】（1）由题意得解方程组求出，从而可得椭圆的方程，（2）①由题意可得的方程为，再与椭圆方程联立，解方程组求出的坐标，从而可求出；②当时，，当时，直线方程为，与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可得中点的坐标，再将直线的方程与方程联立，求出点的坐标，从而可求出的值【小问1详解】由题意得解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】①当时，直线的斜率，则的垂线的方程为由得解得故，，②由，，显然斜率存在，，当时，当时，直线过点且与直线垂直，则直线方程为由得显然设，，则，则中点直线的方程为，由得所以综上的值为21、（1）（2）【解题分析】（1）设过点且与直线垂直的直线为，将代入直线方程，即可求出，再与求交点坐标，得到圆心坐标，再求出半径，即可得解；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率不存在直接求出、的坐标，即可求出，当直线的斜率存在，设直线为、、，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，即可表示出的坐标，再求出的坐标，即可表示出、，即可得解；【小问1详解】解：设过点且与直线垂直的直线为，则，解得，即，由，解得，即圆心坐标为，所以半径，所以圆的方程为【小问2详解】解：当直线的斜率存在时，设过点的直线为，所以，消去得，设、，则，，所以，所以的中点，由解得，即，所以，，所以；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由，解得或，即、，所以，所以又解得，即，所以，所以，综上可得.22、（1）证明见解析（2）3【解题分析】（1）证得平面BCD，结合面面垂直判定定理即可得出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的公式可得，进而解方程即可求出结果.【小问1详