概率论-条件概率和事件地独立性

则

所以解：设A={生一个男孩一个女孩}B={两个小孩至少有一个女孩}§1.5条件概率如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).

一般地,P(A|B)≠P(A)

引例1.已知某家庭打算要两个小孩，求：（1）该家庭生一个男孩一个女孩的概率．（2）至少有一个是女孩的条件下，该家庭生一个男孩一个女孩的概率．定义：设A、B是某随机试验中的两个事件，且则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的概率为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率,简称为B在A之下的条件概率，记为一.条件概率:条件概率的性质：()；规范性：12=ASP()å¥=¥==øöççèæ11213nnnnnABPABPBBBULL则两互不相容，两，，，，事件可列可加性：如果随机1非负性：对任意事件

2)从加入条件后改变了的样本空间去计算

：

条件概率的计算:1)用定义计算:P(B)>0掷骰子例：A={掷出2

点}，

B={掷出偶数点}P(A|B）B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数

例1

一袋中有10个球，7个白球，3个黑球，先后两次从中不放回的取球，已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的是黑球的概率是多少?解法1解法2解：

设A={第一次取出的是黑球}B={第二次取出的是黑球}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算二.乘法公式定义：设A、BS，P（A）>0,则

P(AB)＝P(A)P(B|A)(1)

称为事件A、B的概率乘法公式。

而P(AB)=P(BA)故P(B)>0,则P(BA)=P(B)P(A|B)(2)若

P(B)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A)(1)和(2)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率

例2一个盒子中有10个灯泡，4个次品，6个正品，先后从中不放回的取两次，每次取一个，求两次取出的均为正品的概率是多少?推广：乘法公式还可推广到三个事件的情形：

P(AB)>0

,P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：P(A1…An－1)>0,n

例3

设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2

，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10

。求透镜落下三次而未打破的概率。

解：以

Ai

(i=1,2,3)表示事件“透镜第i

次落下打破”，以B

表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：

定义

事件组A1，A2，…，An(n可为)，称为样本空间S的一个划分，若满足：三.全概率公式与贝叶斯公式.,...,2,1,),(,)(;)(1njijiAAiiSAijinii=¹===fUA1A2A3A4A5A6A7A8B全概率公式设S为随机试验E的样本空间，B是E的事件,A1,A2,…,An是S的一个划分，且P(Ai)>0，

i=1,2,…,n;则对任一事件B，有

定理

设A1，…,An是S的一个划分，且P(Ai)>0,(i＝1，…，n)，则对任何事件BS，有

称为贝叶斯公式。贝叶斯公式例4.甲乙丙厂生产同一批产品,各生产45%,35%,20%,各厂的次品率分别是4%,2%,5%,现从中任取一件,求:(1)取到的是次品的概率;(2)取到的次品是甲厂生产的概率.例5

用某种方法普查肝癌，设：

A={测试呈阳性}，

D={被检查者确实患有肝癌}，已知

现有一人测试呈阳性，求此人真正患有肝癌的概率．()0004.0=DP而且已知：

所以，由Bayes公式，得例5（续）解：由已知，得四、小结条件概率公式乘法公式全概率公式贝叶斯公式条件概率乘法公式全概率公式条件概率贝叶斯公式关系:显然P(A|B)=P(A)=50%这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.A={第二胎生男孩}，B={第一胎生女孩}，先看一个例子：一个打算要两个孩子的家庭，设§1.6事件的独立性

由乘法公式知，当事件A、B独立时，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.若两事件A、B满足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)则称A、B相互独立，简称A、B独立.一.两事件间的独立性:

例1.

从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可见,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,故事件A、B独立.问事件A、B是否独立？解P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2,可见P(A)=P(A|B),

即事件A、B独立.P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:

由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立

.甲、乙两人向同一目标射击,记A={甲命中},B={乙命中}，A与B是否独立？例如:（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）

在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.

一批产品共n件，从中抽取2件，设

Ai={第i件是合格品}i=1,2(1)若抽取是有放回的,则A1与A2独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.(2)若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.请问：如图的两个事件是独立的吗？

即

若A、B互不相容,且P(A)>0,P(B)>0,则A与B不独立.反之,若A与B独立,且P(A)>0,P(B)>0,则A、

B不互不相容.而P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不独立我们来计算：P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即故A、B独立A、B互不相容设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：前面我们看到独立与互不相容的区别和联系，1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习.问：能否在样本空间S中找两个事件,它们既相互独立又互斥?这两个事件就是

S和P(S)=P()P(S)=0与S独立且互斥不难发现，与任何事件都独立.=P(A)[1-P(B)]=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-A

B)A、B独立概率的性质=P(A)-P(A)P(B)仅证A与独立定理2若两事件A、B独立,则

也相互独立.证明=P(A)P()故A与独立

二.有限个事件的独立性:１、三个事件的独立性对于三个事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.事件A、B、C相互独立事件A、B、C两两独立请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立相互独立对n(n>2)个事件?２、n个事件的独立性性质：(1)若事件相互独立，

则其中的任意k个事件也相互独立(2)若事件相互独立，则将中任意k个事件换成其对立事件，所得新的n个事件仍相互独立,即均不发生至少一个发生恰好有一个发生.例3.A,B,C是相互独立的三个事件，例4若每个人的呼吸道中有感冒病毒的概率为0.002,求在有1500人看电影的剧场中有感冒病毒的概率。

解以表示事件“第i个人带有感冒病毒”（i=1,2,…，1500），假定每个人是否带有感冒病毒是相互独立的，则所求概率为

从这个例子可见，虽然每个带有感冒病毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。看P22例2和P23例4即例

(在可靠性理论上的应用)如图，1、2、3、4、5表示继电