高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定讲义北师大版

6.1垂直关系的判定第一章

§6垂直关系学习目标1.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理.2.掌握平面与平面垂直的概念、判定定理.3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一直线与平面垂直的定义思考在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？答案

不变，90°.定义如果一条直线和一个平面内的

直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直记法______有关概念直线l叫作平面α的

，平面α叫作直线l的

，它们唯一的公共点P叫作______图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直梳理线面垂直的概念任何一条l⊥α垂面垂线垂足知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.思考1

折痕AD与桌面一定垂直吗？答案

不一定.思考2当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？答案当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直.文字语言如果一条直线和一个平面内的

都垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，aα，bα，a∩b＝A⇒l⊥α图形语言梳理判定定理两条相交直线知识点三二面角思考1

观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？答案

二面角.思考2平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？答案

二面角的平面角.梳理(1)定义：从一条直线出发的

所组成的图形.(2)相关概念：①这条直线叫作二面角的

.②两个半平面叫作二面角的

.(3)二面角的记法以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作二面角面α－AB－β.(4)二面角的平面角：若有①O

l；②OA____α，OB____β；③OA

l，OB

l，则二面角α－l－β的平面角是

.两个半平面棱面∈⊥⊥∠AOB知识点四平面与平面垂直思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案

都是垂直.梳理

(1)平面与平面垂直的概念①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是

，就说这两个平面互相垂直.②画法：③记法：

.直二面角α⊥β文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条

，那么这两个平面互相垂直图形语言符号语言l⊥α，

⇒α⊥β(2)判定定理垂线lβ[思考辨析判断正误]1.若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行.(

)2.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(

)3.若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直.(

)4.两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.(

)××√√题型探究例1下列命题中，正确的序号是_______.①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.类型一线面垂直的定义及判定定理的理解答案④⑤解析解析

当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.反思与感悟

(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.跟踪训练1

(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC答案√解析

∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.解析(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)答案解析根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.解析①③④类型二线面垂直的判定例2

如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：BC⊥平面PAC.证明∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，∴BC⊥平面PAC.证明引申探究若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.证明由例2知BC⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC，BC平面PBC，∴AE⊥平面PBC.证明反思与感悟

(1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决.(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义.②线面垂直的判定定理.③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.跟踪训练2如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF.证明证明由引申探究知AE⊥平面PBC.∵PB平面PBC，∴AE⊥PB，又AF⊥PB，且AE∩AF＝A，AE，AF平面AEF，∴PB⊥平面AEF.类型三面面垂直的判定例3

如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点.求证：平面EBD⊥平面ABCD.证明

连接AC，与BD交于O点，连接OE.∵O为AC的中点，E为SA的中点，∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又∵EO平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.证明反思与感悟(1)由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线.(2)证明面面垂直的常用方法：①面面垂直的判定定理；②所成二面角是直二面角.跟踪训练3如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝

AA1，D是棱AA1的中点.证明：平面BDC1⊥平面BDC.证明证明

由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，CC1，AC平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，DC，BC平面BDC，所以DC1⊥平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.类型四与二面角有关的计算例4如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值.解答解

取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角.因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.反思与感悟

(1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算.(2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等.跟踪训练4如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.解答解由已知PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.达标检测答案1.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面A.有且只有一个

B.至多一个C.有一个或无数个

D.不存在12345√解析

若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.解析2.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是A.α∥β，且mα B.m∥n，且n⊥βC.m⊥n，且nβ D.m⊥n，且n∥β12345答案√解析

A中，由α∥β，且mα，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C，D中，mβ或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.解析233.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是A.异面

B.平行C.垂直

D.不确定45解析1答案√2345解析

∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC平面ABC，∴l⊥AC.14.三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝

，AB＝10，BC＝8，CA＝6，则二面角P－AC－B的大小为_____.答案解析2345160°解析由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点.取AC的中点Q，连接OQ，则OQ∥BC.由题意可得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠AQO＝90°，即OQ⊥AC.又∵PA＝PC，∴PQ⊥AC，∴∠PQO即是二面角P－AC－B的平面角.23451