新人教版九年级上册初中数学全册教案

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

【知识与技能】

1.使学生理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式

以2+公+，=0（。工0）,并能将一元二次方程化成一般式，正确识别二次项系

数、一次项系数和常数项.

2.会判断一个数是否是一元二次方程的根.

【过程与方法】

经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到

方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.

【情感态度与价值观】

进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.

一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概

念解决问题.

通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念

移

一元二次方程的概念.

多媒体课件.

（课件展示问题）雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m,设计者当初设计它

的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高

度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为x

m,则其上部高为（2.）m,由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程

吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？

【教学说明】设置上述从美学角度而构建的人体雕像（教师可适时补充有

关简单黄金分割问题）可激发学生学习兴趣，进而增强求知欲望.

一、思考探究，获取新知

由上述问题，我们可以得到/=2（2-x）,即/+2x-4=0.显然这个方程只含

有一个未知数，且x的最高次数为2,这类方程在现实生活中有广泛的应用.

探究1见教材习题.（课件展示问题）

【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论，教师可相应

设置如下问题帮助学生分析：如果设四角折起的正方形的边长为xm,则制成

的无盖方盒的底面长为多少？宽为多少？由底面积为3600cn?,可得到的方程

又是怎样的？

【讨论结果】设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100-Zx）

cm,宽为（50-2x）cm,由此可得到方程（100-2%）（50-2%）=3600,整理为：

4f-300x+1400=0,化简，得f-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的

大小.

探究2见教材习题.

【教学说明】教学过程中，教师可设置如下问题：

（1）这次排球赛共安排一场；

（2）若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它个队各赛一场，这样

共应有场比赛；

（3）由此可列出的方程为,化简得.教师提出问题，引

导学生思考方程的建模过程，同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.（课件

展示）

【讨论结果】设应邀请x个队参赛，通过分析可得到（x-1）=28,化

2

简，得f-kSG,即

观察思考观察前面所构建的三个方程，它们有什么共同点？可让学生先独

立思考，然后相互交流，得出这些方程的特征:

（1）方程各项都是整式；

（2）方程中只含有一个未知数；

（3）未知数的最高次数是2.

【归纳结论】

1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式

方程称为一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式是（«/0）,其中or2是二次项，a

是二次项系数；法是一次项，。是一次项系数；c是常数项.

想一想

1.二次项的系数a为什么不能为0?

2.在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a,b,c都一定是正数吗？

谈谈你的看法.

【教学说明】本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教

学时应让学生进行充分的探索和交流.注重类比是帮助学生正确理解概念的有效

方法.

探究3从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，

因此可列表如下:

X12345678910

x2—X—56

可以发现，当x=8时，W-x-56=0,所以户8是方程W-x-56=0的解，一元二

次方程的解也叫做一元二次方程的根.

思考

1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？

2.方程W-x-56=0有一个根为户8,它还有其它的根吗？

【探讨结论】1.一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的

未知数的值叫做一元二次方程的根；

2.由于％=-7时，X2-X-56=49-（-7）-56=0,故尸-7也是方程f-x-56的一个

根.事实上，一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为

x\=m,X2=n.

二、典例精析，掌握新知

例1已知关于x的方程（加+2）3川+3户m=0是一元二次方程，求此一元二

次方程.

【分析】观察方程特征，依定义建立关于初的方程，再考虑其二次项系数

不能为0,可得到结论.

【解】由题意有1帆=2一•.m=2.

加+2工0

因此原一元二次方程为4『+31+2=0.

例2将方程3x（x-1）=5（九+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其

中二次项系数、一次项系数及常数项.

【解】去括号，得3/-3x=5x+10,移项、合并同类项，得一元二次方程的

一般形式为3f-8x-10=0.

其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.

【教学说明】以上两例均可让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学

生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给

全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.

三、运用新知，深化理解

1.下列各式，是一元二次方程的是（）

B.a^+Zjx+c-O

C.（x-3）（x-2）=x2

D.（3x-l）（3x+l）=3

2.关于光的方程（hl）x|M+l-2x=3是一元二次方程，则仁.

3.已知方程5f+〃?x-6=0的一个根为4,则m的值为.

4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形

式，指出其二次项系数、一次项系数及常数项：

（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;

（2）一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x;

（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一

段的平方，求较短一段的长X.

【教学说明】让学生当堂完成上述练习，达到巩固新知目的.最后

全班同学核对答案即可.

【答案】1,D2.-13.18.5

4.(1)4^-25=0,其中二次项系数为4,一次项系数为0,常数项为-25；

(2)A2x-100=0,其二次项系数、一次项系数和常数项分别为1,-2,-

100;

(3)f-3x+l=0,其二次项系数、一次项系数和常数项分别为1,-3,1.

1.知识回顾.

2.谈谈这节课你有哪些收获？

【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题

思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问

题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问

题原因，及时查漏补缺.

「一个未知数

,概念彳最高次是2

〔整式方程

兀

次一般形式：ax2+bx+c=0(。,0)

方/I\

程

〔二次项系数w

一次项系数吊数项

1.布置作业：从教材习题中选取.

2.完成《少年班》对应题目.

1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到

一般的规律，降低学生理解的难度.

2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨

与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.

3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练

习，巩固知识.

4.对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思

考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

课时1直接开平方法

【知识与技能】

1.会利用开平方法解形如x2=p(pK))的方程；

2.初步了解形如(x+n)2=p(p>0)方程的解法.

3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.

【过程与方法】

通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.

【情感态度与价值观】

在成功解决实际问题过程中，体验成功的快乐，增强数学学习的信心和乐

00©

解形如x2=p(pN0)的方程.

把一个方程化成x2=p(pN0)的形式.

多媒体课件.

(学生活动)请同学们解下列方程

(1)3X2-1=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7

2

老师点评：上面的方程都能化成x=p或(mx+n)2=p(p>0)的形式，那么

可得x=±yfp或mx+n=±y[p(p>0).

如：4x2+16x+16=(2x+4)2,你能把4x?+16x=-7化成(2x+4)2=9吗？

一、思考探究，获取新知

探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样

的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

探究1设一个盒子的棱长为xdm,则它的外表面面积为，10个这种盒子的

外表面面积的和为,由此你可得到方程为，你能求出它的解吗？

【教学说明】学生通过自主探究，尝试用开平方法解决一元二次方程，体

验成功的快乐.教师应关注学生的思考是否正确，是否注意到实际问题的解与对

应的一元二次方程的解之间的关系，帮助学生获取新知.

【讨论结果】解：6X2,10X6X2,10X6X2=1500,整理得x?=25,根据平方根的意

义，得*=±5,可以验证，5和-5是原方程的两个根，因为棱长不能为负值，所以

盒子的棱长为5dm，故x=5dm.

【归纳结论】一般地，对于方程

x2=p,(I)

(1)当p〉0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根

X1=-VF,X2=V?；

(2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根X|=X2=O;

(3)当p<0时，因为对任意实数X,都有x2X),所以方程(I)无实数根.

探究2对上面题解方程(I)的过程，你认为应该怎样解方程(x+3)2=5?

【教学说明】教学时，就让学生独立尝试给出解答过程，最后教师再给出

规范解答，既帮助学生形成用直接开平方法解一元二次方程的方法，同时为以

后学配方法作好铺垫，让学生体会到类比、转化、降次的数学思想方法.

【讨论结果】学生通过比较它们与方程x2=25异同，从而获得解一元二次

方程的思路.

在解方程(I)时，由方程*2=25得*=±5.由此想到：

由方程

(x+3)2=5,②

得x+3=±V5,

即x+3=石或x+3=-行.③

于是，方程(x+3)2=5的两个根为xi=-3+岔,X2=-3-布.

【归纳结论】

上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降

次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.

【教学说明】上述归纳结论应由师生共同探讨获得，教师要让学生知道解

一元二次方程的实质是转化.

二、典例精析，掌握新知

例1解下列方程：(见教材习题)

(1)2X2-8=0;(2)9X2-5=3;

(3)(X+6)2-9=0;(4)3(X-1)2-6=0;

(5)X2-4X+4=5;(6)9X2+5=1.

【解】(1)原方程整理，得2x2=8,即x2=4,根据平方根的意义，得x=±2,即

XI=2,X2—2.

(2)原方程可化为9x2=8,即x2=8/9.两边开平方，得x=±半，

□I，2A/225/2

即Xl=——,X2=―—―.

33

(3)原方程整理，得(x+6)2=9,根据平方根的意义，得x+6=±3,即x尸-

3,X2=-9.

(4)原方程可化为(x・l)2=2,

两边开平方，得x-l=±0,

/.xi=l+>/2,X2=1-A/2;

(5)原方程可化为(x-2)2=5,

两边开平方，得x-2=±V5,

xi=2+V5,X2=2-75.

(6)原方程可化为9x2=-4,x2=-4/9.由前面结论知，当p<0时，对任意实数

x,都有x220,所以这个方程无实根.

三、运用新知，深化理解

1^8x2-16=0,则x的值是.

2.若方程2(X-3)2=72,那么这个一元二次方程的两根是.

3.如果实数a、b满足3a+4+b2-12b+36=0jiJab的值为.

4.解关于x的方程：

(l)(x+m)2=n(n20);

(2)2X2+4X+2=5.

5.已知方程(x-2)2=m2-l的一个根是x=4,求m的值和另一个根.

【教学说明】让学生独立完成，加深对本节知识的理解和掌握.

【答案】L土仅2.9或一33.-8

4.(1)%1=-m+Jn,x2=-m-Jn；

⑵”…+粤…一「半

5.将久=4代入(％-2)2=m2-1,得/-1=4,

m二土5.故原方程可化为(%-2)2=4.x-

2=±2町=0,%2=4.即另一个根为0.

教师可以向学生这样提问：

(1)你学会怎样解一元二次方程了吗？有哪些步骤？

(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法？与同伴交流.

【教学说明】教师可引导学生提炼本节知识及方法，感受解一元二次方程

的降次思想方法.

直接开平方法解一元二次方程的“三步法"

____1t将方程化为含未知数的完全

*平方式=非负常数的形式；

利用平方根的定义，将方程

*转化为两个一元一次方程；

解一元一次方程，得出方程

的根.

1.布置作业：从教材习题中选取.

2.完成《少年班》对应题目.

<g@©

1.本课时通过创设问题情景，激发学生探索新知的欲望.

2.本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.

3.教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解析问题

的能力.

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课时2配方法

【知识与技能】

掌握用配方法解一元二次方程.

【过程与方法】

理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体验降次的数

学思想方法，并能熟练应用它解决一些具体问题.

【情感态度与价值观】

在学生合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强

数学学习的乐趣.

讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.

不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.

多媒体课件.

问题要使一块长方形的场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,场地的长

与宽各是多少？

思考如果设这个长方形场地的宽为xm,则长为,由题意可列出的方

程为,你能将此方程化为(x+n)2=p的形式，并求出它的解吗？

【教学说明】经历从实际问题中抽象出一元二次方程模型的过程，进一步

增强学生的数学建模能力，并通过思考，用类比、转化思想方法探索出解这类

方程的一种方法，导入新课.教学过程中，应给予学生充分思考，交流活动时

间，达到探索新知的目的.

一、思考探究，获取新知

讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤：

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【讨论结果】(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1;

(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左

边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q>0,方程的根是

x=-p土Yq；如果q<0,方程无实根.

二、典例精析，掌握新知

例1解下列方程

(1)2X2+1=3X(2)3X2-6X+4=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0

【分析】我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法

来完成，即配一个含有x的完全平方.

【解】略

三、运用新知，深化理解

1.将二次三项式x2-4x+2配方后，得()

A.(x-2)2+2

B.(X-2)2-2

C.(X+2)2+2

D.(X+2R2

2.已知X2-8X+15=0,左边化成含x的完全平方式，其中正确的有()

A.X2-8X+(-4)2=31

B.X2-8X+(-4)2=1

C.X2+8X+42=1

D.X2-4X+4=-11

3.若代数式*2的值为0,则X的值为___.

x-1

4.方程X2-2X-3=0的解为.

5.要使一块长方形场地的长比宽多3m,其面积为28m2,试求这个长方形

场地的长与宽各是多少？

【教学说明】通过上述几道题目的练习，可进一步巩固对本节知识的理解

和领悟.

【答案】LB

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2.B

3.x=2

4.XI=-1,X2=3

5.长与宽分别为7m和4m.

i.通过本节课的学习，你能用配方法解一元二次方程吗？有哪些需要注意

的地方？

2.用配方法解一元二次方程涉及哪些数学思想方法？

【教学说明】让学生通过对上述问题的回顾与思考，反思学习体会，完善

知识体系.

1.通过配成完全平方的形式来解方程的方法，

叫做配方法.

2.用配方法解『22次方程的一般步骤：

一移T二化T三配一四开.

1.布置作业：从教材习题中选取.

2.完成《少年班》对应题目.

1.本节课，重在学生的自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，

仍突出数学研究中转化的思想，激发学生产生合理的认识冲突，激发兴趣，建

立自信心.

2.在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高自己解

决问题的能力，感受数学创造的乐趣，提高教学效果.

3.用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法，后面的求

根公式是在配方法的基础上推出的，配方法在使用时又与原来学习的完全平方

式联系密切，用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固，又是对后面学

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习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法，因此配方

法是一种基本的数学解题方法.

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21.2.2公式法

【知识与技能】

1.理解并掌握求根公式的推导过程；

2.能利用公式法求一元二次方程的解.

【过程与方法】

复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0(aW

0)•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程，加强推理技能，

进一步发展逻辑思维能力.

【情感态度与价值观】

用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的

运算习惯，培养严谨认真的科学态度.

00©

用公式法解一元二次方程.

推导一元二次方程求根公式的过程.

O®©

多媒体课件.

我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利

用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成

ax2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样

做？

【教学说明】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一般过程，从而尝试

着求ax2+bx+c=0(aWO)的方程的解，导入新课，教学时，应给予足够的思考

时间，让学生自主探究.

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一、思考探究，获取新知

通过问题情境思考后，师生共同探讨方程ax2+bx+c=0(aW0)的解.

hr

由ax2+bx+c=0(aW0),移项，ax?+bx=-c.二次项系数化为1,得x?+—x=--.配

aa

2

士启2b、2c,b..bb-4ac

方，得x-+—x+(；；-)-=-—+(丁)2-,即Hn。+丁)-=,.

a2aa2a2a46r

至此，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：

(1)两边能直接开平方吗？为什么？

(2)你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.

【教学说明】设置停顿并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为，

引导学生正确认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系，加深认知.教

学时，应让学生积极主动思考，畅所欲言，在相互交流中促进理解.

【讨论结果】师生共同完善认知：

(1)当川-4ac>0时，两边可直接开平方，

Xj=-------2--a-------,42=-------2-a--------:

(2)当斤-4ac=0时，有(x=0.r.X]=

2a

/二W(注意:防止出现工二-义的错误认识)；

(3)当If-4QC<0时,由(、+?尸<0可

2a

知,此方程无解.

一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)根的判别式，通

常用△表示，即A=b2-4ac.从而有：

①当△=b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(aW0)有两个不相等的实数根；当^

=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a=0)有两个相等实数根；当△=b2-4ac<0时，

方程ax2+bx+c=0(aW0)没有实数解；

②当△20时，方程ax2+bx+c=0(aW0)的两个实数根可写成

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x=——=-------------->这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的求根公式.

2a

二、典例精析，掌握新知

例1不解方程，判别下列各方程的根的情况.

(l)x2+x+l=O;(2)X2-3X+2=0;(3)3X2-V2X=2.

【分析】找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用bJ4ac与0

的大小关系可得结论.注意：在确定方程中a、b、c的值时，一定要先把方程化

为一般式后才能确定，否则会出现失误.

【解】由(1)•.♦a=l,b=l,c=l,，△=b2-4ac=12-4XlXl=-3V0,...原方程无实

数解；

(2)Va=l,b=-3,c=2,.\△=b2-4ac=(-3)2-4X1X2=1>0,/.原方程有两个不相等

实数根；

(3)原方程可化为3x2-&x-2=0,.，.a=3,b=-夜。=-2,；.△=b?-4ac=(-&y-4

X3X(-2)=2+24=26>0.原方程有两个不相等的实数根.

例2用公式法解下列方程：

2222

(1)X-4X-7=0;(2)2X-2y/2x+l=0;(3)5x-3x=x+l;(4)x+17=8x

【分析】将方程化为一般形式后，找出a、b、c的值并计算b2-4ac后，可

利用公式求出方程的解.

【解】

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解：(1)；a=1=-4,c=-7S=b：-

4ac=(-4)--4x1x(-7)=44>0,方程的

两个实数根为x=4±2四=2土旧,即/=2

+\/Ufx2=2-V1T；

(2)：a=2,b=-2B,c=l,且A=b'-

4ac=(-2。尸_4x2xl=0".方程有两个相

等的实数根.=.、=舄

la2

(3)方程可化为5x2-4x-1=0.此时a=

5,6=-4,c=-1,A=-4ac=36>0,方程

有两个不相等的实数根X=一"-4ac=

4±底"，即,1

=1,戈2=

105

(4)方程可化为x2-8.v+17=0.此时a=

1,6=—8,c=17,A=6'—4ac=64-68=-4<

0,因此原方程无实数解.

【教学说明】以上两例均可让学生自主完成，同时选派同学上黑板演算.教

师巡视，针对学生的困惑及时予以指导，最后共同评析黑板上作业，一方面引

导学生关注其解答是否正确，同时还应注意其解答格式是否规范，查漏补缺，

深化理解.教师接着引导学生阅读第12页有关引言中问题的解答，向学生提

问：（1）什么情况下根的取值为正数？（2）列方程解决实际问题在取值时应

注意什么？

三、运用新知，深化理解

1.关于x的方程x2-2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是.

2.如果关于x的一元二次方程1^x2-（2k+l）x+l=O有两个不相等实数根，

那么k的取值范围是（）

A.k>--

4

B.k>,且kWO

4

C.k<--

4

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D.k》一!■且kWO

4

3.方程正x?+4gx+6后=0的根是()

A.xi=V2，X2=A/3

B.XI=6,X2=&

C.xi=2V2,X2=e

D.X1=X2=-V6

4.关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0W一个根为0,试求m

的值.

5.解下列方程：

(1)X2+X-6=0;(2)x2-V3X-14=0;(3)3x2-6x-2=0;

(4)4X2-6X=0;(5)X2+4X+8=4X+11;(6)x(2x-4)=5-8x.

6.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)Z?+2+(m-2)x-l=0提出了下列

问题：

(1)若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方

程.

(2)若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出.

【教学说明】通过练习可进一步理解和掌握本节知识，在学中练、练中学

的活动中得到巩固和提高.

【答案】LmWl

2.B

3.D

4.把x=0代入方程，得m2+2m-3=0,解得mi=l,m2=-3,又,.,m-lW0,即mWl,

故m的值为-3.

5.略

6.解：(1)存在.根据题意，得：m2+l=2

m2=lm=±1

当m=l时，m+l=l+l=2#0

当m=-l时，m+1=-1+1=0(不合题意，舍去)

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，当m=1时，方程为2x2-l-x=0

a=2,b=-l,c=-l

b2-4ac=(-1)2-4X2X(-1)=1+8=9

-(-1)±V91±3

x2^2~

Xl=,X2="-

2

因此，该方程是一元二次方程时，m=l,两根xi=l,x=--.

22

(2)存在.根据题意，得：①m2+l=l,m2=0,m=0

因为当m=0时，(m+1)+(m-2)=2m-l=-lW0

所以m=0满足题意.

②当m2+l=0,m不存在.

③当m+l=O,即m=-l时，m-2=-370

所以m=-l也满足题意.

当m=0时，一元一次方程是x-2x-l=0,

解得：x=-l

当m—1时,一元一次方程是-3x-1=0

解得x=」

3

因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为

x=-l；当m=-・l时，其一元一次方程的根为x=-』.

3

通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.

【教学说明】在学生回顾与反思本节课的学习过程中，进一步完善认知,

师生共同归纳总结.

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公式法求解—=次方程的步骤：

一元二次方程

化成0N+bx+c=O(WO)的形式

a=?b=?c=?

求A=b2-4ac

是否

套公式求解A>0?无实数根

1.布置作业：从教材习题中选取.

2.完成《少年班》对应题目.

1.本课容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此在教学设计各环节均

围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计，课堂学习有

利于学生强化运算能力，掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题.

2.在教学设计中，引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，在师生讨

论中发现求根公式，并学会利用公式解一元二次方程.

3.整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探索活动，体验到成

功的喜悦.

4.公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它

使解一元二次方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法

解一元二次方程得到延续和深化.

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21.2.3因式分解法

5®®©®

【知识与技能】

1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.

2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分

解，根据两个因式的积等于0,必有因式为0,从而降次解方程.

【过程与方法】

在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解

一元二次方程的过程中，进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.

【情感态度与价值观】

通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习

惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.

会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，

从而降次解方程.

理解并应用因式分解法解一元二次方程.

多媒体课件.

问题根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，

那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9P你能根据上述规律求出

物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）

想一想你能根据题意列出方程吗？你能想出解此方程的简捷方法吗？

【教学说明】让学生通过具体问题寻求解决问题的方法，激发学生求知欲

望，引入新课.

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一、思考探究，获取新知

学生通过讨论，交流得出方程为10x49f=0.

在学生用配方法或公式法求出上述方程的解后，教师引导学生尝试找出其

简捷解法为：

x(10-4.9x)=0./.x=010-4.9x=0,xi=0,X2=——^2.04.

从而可知物体被抛出约2.04s后落回到地面.

想一想以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的？

【教学说明】让学生自主探索，进行归纳总结，既锻炼学生的分析问题，

解决问题能力，又能培养总结化归能力，并从中体验转化、降次的思想方法.

【讨论结果】当方程的一边为0,而另一边可以分解成两个一次因式的乘

积时，利用a•b=0,则a=0或b=0,把一元二次方程变为两个一元一次方程，

从而求出方程的解.这种解法称为因式分解法.

二、典例精析，掌握新知

例1解下列方程：

、13

(1)x(x-2)+x-2=0;(2)5x2-2x--=x2-2x+—.

44

【解】(1)因式分解，得(x-2)(x+l)=0.故有x-2=0或X+1=0.，XI=2,X2=-1；

(2)原方程整理为4x2-l=0.因式分解,^(2x+l)(2x-l)=0..，.2x+l=0^2x-

1=0..*.X|=--,X2=—.

22

例2用适当的方法解下列方程：

(1)3X2+X-1=0;(2)2(V2X-3)2=12;

(2)(3X-2)2=4(3-X)2;(4)(X-1)(X+2)=-2.

【分析】根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.

【解】

解：(1):a=3,6=1,c=-1b'-4ac=1

...,八cc

-4x3x(-I)=13>0,x=---b-±--\-l-o-4-a-c

2a

-1±\/13-1+43

=--g-----马=------g---，=

-1-V13

6

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(2)原方程可化为(瓜-3尸=6.两边开平

方,得区T-3=土6.即]2x-3=6或gx-3=

「3+后3。+2B3-6

3J2-28

2,

⑶移项，得(3.2尸-[2(3-x)]2=0,

因式分解，得[(3*-2)+2(3-x)][(3%-2)-

2(3-A-)]=0,即(x+4)(5.t-8)=0.x+4=

Q

0或5x-8=0.Xj=-4,x2=-T-；

(4)方程整理为r+x=o.因式分解，得

x(x+1)=0,.,.x1=0,x2=-1.

【教学说明】以上两例均应先让学生自主完成，最后共同评析，达到深化

理解本节知识的目的.教学时，可选派学生代表上黑板完成.对于学生的解法只要

合理就应给予肯定，若有更简捷解法时再予以说明.

【归纳结论】1.配方法要先配方，再降次；公式法可直接套用公式；因式

分解法要先使方程的一边为0,而另一边能用提公因式法或公式法分解因式，

从而将一元二次方程化为两个一次因式的积为0,达到降次目的，从而解出方

程；

2.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，而因式分解法则只适用于某

些一元二次方程，不是所有的一元二次方程都适用因式分解法来求解.

三、运用新知，深化理解

1.用因式分解法解方程，下列方程中正确的是()

A.(2x-2)(3x-4)=0,.'.2x-2=0或3x-4=0

B.(x+3)(x-1)=1,，x+3=0或x-1=1

C.(x+2)(x-3)=6,x+2=3或x-3=2

D.x(x+2)=0,x+2=0

2.当x=—时，代数式xZ3x的值是-2.

3.已知y=x?+x-6,当x=_时，y的值等于0.当x=_时,y的值等于24.

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4.解下列方程：

(1)x2+x=0;(2)X2-2V3X=0;

(3)3X2-6X=-3;(4)4x2-121=0;

(5)3x(2x+l)=4x+2;(6)(x-4)2=(5-2x)2.

5.今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建

养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场.为了节约材料，鸡场的一边靠

着原有的一条墙，墙长am,另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m,问鸡场

长与宽各为多少？(其中a220m)

【教学说明】针对所设置的作业，可因不同的学生分层次布置作业，让每

个学生都能参与数学的学习，激发学习热情.

【答案】1.A2.1或23.2或-35或-64~5略.

1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？

2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会？

【教学说明】设计两个问题引导学生回顾本课知识的学习过程，反思学习

过程中的疑惑，查漏补缺，完善认知.

因式分解的方法有

ma+mb+me=m(a+b+c);

将方程左边因式

222

分解，右边=0.a±2ab+b=(a±b)；

a2-b2=(a+b){a-b).

因式分解法原理如果。16=0,那么a=0或6=0.

简记歌诀：

右化零左分解

两因式各求解

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1.布置作业：从教材习题中选取.

2.完成《少年班》对应题目.

1.本节课围绕利用因式分解法解一元二次方程这一重点内容，教师通过问

题情境以及学生的合作交流，使学生的问题凸现出来，让学生迅速掌握解题技

能，并探讨出解题的一般步骤，使学生知道因式分解法是一元二次方程解法中

应用较为广泛的简便方法，提高解题速度.

2.学生已经学过多项式的因式分解，所以对本课内容并不陌生，通过本课

学习，让学生更能领会因式分解在数学领域的广泛应用.

3.本节课有大量的基础计算问题，也有符合不同学生层次的问题，力争让

所有学生学有所得，提高课堂效率.

4.解一元二次方程是本章教学的重中之重，如何正确选择用不同方法解一

元二次方程是关键，本节课中的计算题有一题多解问题，体现了选择“最优

化”解方程方法的问题.

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21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

【知识与技能】

1.掌握一元二次方程根与系数的关系并会初步应用；

2.能运用根与系数的关系解决具体问题.

【过程与方法】

经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，体验观察一发现f猜想一验

证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.

【情感态度与价值观】

通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理

解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊------般一

一特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.

及O©

一元二次方程根与系数的关系及其推导.

探索一元二次方程根与系数的关系.

O@©

多媒体课件.

问题请完成下面的表格

方程-V1-V1+工

x2-2.r-3=0

x2-5.r+6=0

x2+2工+1=0

2.v2-3、+1=0

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观察表格中的结果，你有什么发现？

【教学说明】通过对具体问题的思考，可以找出xl+x2和xl・x2与方程的

系数之间的关系，引入新课.

一、思考探究，获取新知

通过对问题情境的讨论，可以发现方程的两根之和和两根之积与它们的系

数之间存在一定的联系，请运用你发现的规律填空：

(1)已知方程X2-4X-7=0的根为X1,X2，贝IX1+X2=,X1•X2=;

(2)已知方程X2+3X-5=0的两根为xi,X2，贝11Xi+X2=,xi•X2=.

答案:(1)4,-7；(2)-3,-5.

探究1(1)如果方程x2+mx+n=O的两根为xi,X2＞你能说说xi+x2和xi,X2

的值吗？

(2)如果方程ax2+bx+c=0的两根为xi,X2,你知道X1+X2和xi•X2与方程系

数之间的关系吗？说说你的理由.

【教学说明】设置上述两个问题，目的在于引导学生在感性认识的基础上

进行理性思考，从而理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.教学时，应给

予充足的思考交流时间，让学生自主探究结论.最后师生共同进行探究，完善认

知.具体推导过程可参见教材.

【讨论结果】根与系数的关系(韦达定理)：

设Xi、Xz是方程ax，bx+c=O(aWO)的两个根.

-b-^/b2-4ac

(b2-4ac》O)

-b+Vb2-4ac-b-Jb2-4ac

--------------------+--------------------

-b+Jb?-4ac-b-Jb2-4ac

2a

_-_2_b=—_b

2aa

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-b+Vb2-4ac-b-Jb2-4ac(-b)2-(Vb2-4ac)2

Xi♦x=--------------------*-------------------=----------------n------------

122a2a4a2

b2-b2+4acc

4a2a-

由此得出，若一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)有两实数根xi,X2，则Xi+X2=・

-,X|•X2=-.这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根

aa

之积等于常数项与二次项系数的比.

探究2在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式

△=b2-4ac20呢？为什么？

【教学说明】设置探究2的目的在于让学生明白用根与系数关系解题的前

提条件是△20,否则方程就没有实数根，自然不存在xi,X2,防止学生片面理

解而导致失误.教学时可结合具体问题引起学生注意.

二、典例精析，掌握新知

例1见教材习题例4.

【分析】对于方程(3),应化为一般形式后，再利用根与系数的关系来求

解.

【解】

解：(1)X]+%,=6,町,——15；

7-9

(2)%1+%,=-y.久2=一3;

(3)方程可化为4；v2-5.x+1=0,

-551

/+%2=一丁=了，/•*2=了.

例2已知方程x2-x+c=0的一根为3,求方程的另一根及c的值.

【分析】设方程的另一根为X”可通过求两根之和求出XI的值；再用两根

之积求c,也可将x=3代入方程求出c值.再利用根与系数关系求xi值.

【解】设方程另一根为X],由xi+3=l,.\xl=-2.又xi•3=-2X3=c,，c=-6.

例3已知方程X2-5X-7=0的两根分别为xi,X2,求下列式子的值：

(1)xiW；(2)五+五.

马玉

【分析】将所求代数式分别化为只含有XI+X2和XI•X2的式子后，用根与

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系数的关系，可求其值.

【解】•方程X2-5X-7=0的两根为X1,X2,，X1+X2=5,XI•X2=-7.

(1)X12+X22=(X1+X2)2-2X1-X2=