新教材人教A版高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数重点难点归纳总结

第四章指数函数与对数函数

4.1指数................................................................1

第一课时"次方根..................................................1

第二课时分数指数累、无理数指数累.................................5

4.2指数函数............................................................9

4.2.1指数函数的概念................................................9

4.2.2指数函数的图象和性质........................................12

第一课时指数函数的图象和性质................................12

第二课时指数函数及其性质的应用..............................17

4.3对数...............................................................21

4.3.1对数的概念...................................................21

4.3.2对数的运算...................................................24

4.4对数函数...........................................................28

4.4.1对数函数的概念...............................................28

4.4.2对数函数的图象和性质........................................30

第一课时对数函数的图象和性质................................30

第二课时对数函数的图象和性质的应用.........................34

4.4.3不同函数增长的差异..........................................37

4.5函数的应用（二）.....................................................41

4.5.1函数的零点与方程的解........................................41

4.5.2用二分法求方程的近似解......................................45

4.5.3函数模型的应用..............................................48

4.1指数

第一课时n次方根

知识点〃次方根

1.〃次方根

定义一般地，如果/=4,那么X叫做4的"次方根,其中且〃GN*

。>0x>0X仅有一个值，

n是奇数

a<0x<0记为％

性质

a>0X有两个值，且互为相反数，记为士%

n是偶数

〃<0X在实数范围内不存在

2.根式

(1)定义：式子初叫做根式，这里“叫做根指数,a叫做被开方数;

(2)性质：(〃>1,且〃GN")

①(痂)"=丝

〃L[a,〃为奇数，

②而.

[囱，〃为偶数.

1.在根式符号%中，注意以下几点：

“WN*；

(2)当〃为奇数时，缶对任意a@R都有意义；

(3)当〃为偶数时，缶只有当“20时才有意义.

2.加与(%”的区别

(D超是实数相的〃次方根，是一个恒有意义的式子，不受〃的奇偶限制，

但这个式子的值受〃的奇偶限制.其算法是对a先乘方，再开方(都是〃次)，结

果不一定等于a；

(2)(%)"是实数a的〃次方根的〃次寨，其中实数a的取值由〃的奇偶决定.其

算法是对a先开方，再乘方(都是〃次)，结果恒等于a

1.判断正误.(正确的画“，错误的画“义”)

(1)A/(-2)2=^2.()

4,—

(2)期讳的运算结果是±2.()

(3)81的4次方根是±3.()

⑷当〃为大于1的奇数时,缶对任意aeR都有意义.()

(5)当〃为大于1的偶数时，缶只有时才有意义.()

答案：(1)X(2)义(3)7(4)7(5)7

2.在①4(-4)2"；②1(-4)2"-i；③§7；④4得(〃GN,aGR)各式

中，一定有意义的是(填序号).

解析：(-4)2">0,故①有意义；(一4)2"+1<0,故②无意义；③显然有意义；

4,—

当。<0时，/<o,此时，下无意义，故④不一定有意义.

答案：①③

3.当x<0时，x+y/j^+~^~=.

答案：1

题型一n次方根的概念

［例1］(1)16的平方根为,-27的5次方根为

(2)已知/=6,则x=；

(3)若勺三有意义，则实数x的取值范围是.

［解析］⑴•.•(±4)2=16,

A16的平方根为±4.-27的5次方根为R一27.

(2)Vx7=6,：.x=y［6.

(3)要使"，有意义，

则需X—220,即x»2.

因此实数x的取值范围是［2,+8).

［答案］(1)±4^27⑵或(3)［2,十8)

判断关于〃次方根的注意点

(1)"的奇偶性决定了〃次方根的个数；

(2)〃为奇数时，。的正负决定着〃次方根的符号.

题型二利用根式的性质化简与求值

［例2］化简与求值：

q_______

(1)7(-5)3；

4,-------

(2)y/(—9)2；

(3)14a2—4。+1(“耳)；

(4)q——2x+1—«x2+6x+9(xW-3).

3_______

［解］(1)y/(-5)3=-5.

(2)yj(—9)2=^/81=^/35=3.

⑶*弓：.l~2a^Q,

当4a2—4a+1=yj(2<a—1)2=yj(1—2a)2=%L2a.

(4)'."W-3,Ax-1<0,x+3WO,

.W—2x+l-1/+6x+9=N(x—l)2-1(x+3)2=|X-1|_|A+3|=

一(x—l)+(x+3)=4.

根式化简与求值的思路及注意点

(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进

行化简；

(2)注意点：①正确区分(缶)"与缶②运算时注意变式、整体代换，以及

平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论.

第二课时分数指数塞、无理数指数募

知识点指数累及其运算性质

1.分数指数塞的意义

正分数m

规定：薪=随(">0,，"，nGN*,且〃>1)

指数累

负分数一如11

规定：a/?—"-=（6f>0,m,〃£N,且〃>1）

分数指数基版

指数基J

0的分数0的正分数指数事等于。，0的负分数指数惠没有

指数累意义

2.有理数指数鬲的运算性质

(1)""=金(。>0,r,.vGQ)；

(2)(a，)s=Q(a>0,r,sWQ)；

(3)(abY=a'b'(a>Q,b>0,r£Q).

3.无理数指数累

无理数指数累，(a>0,a为无理数)是一个确定的实数.有理数指数幕的运

算性质对于无理数指数幕同样适用.

m

1.分数指数嘉不可理解为9个。相乘，它是根式的一种写法.

2.正数的负分数指数森总表示正数，而不是负数.

3.把根式海化成分数指数嘉的形式时，不要轻易对?进行约分.

为什么分数指数基的底数规定。〉0?

m_m

提示：①当a<0时，若〃为偶数，机为奇数，则a〃无意义；

②当。=0时，无意义.

1.判断正误.（正确的画"，错误的画“义”）

2

（l）VP=x3（x>0）.（）

m

⑵分数指数累可以理解为:个。相乘.（）

（3）0的任何指数幕都等于0.（）

（4）化简式子［（一小）2］一I的结果是小.（）

答案：⑴X（2）X⑶X（4）X

2.下列运算中正确的是（）

A.。2〃3=〃6B.（一屋）3=（-〃3）2

C.（y［a-l）°=\D.（一/）5=一/°

答案：D

5_4

3.将下列根式与分数指数累进行互化病=；«­3=

答案：匹5

题型一根式与分数指数鬲的互化

1

［例1］（链接教科书第106页例3）用根式或分数指数幕表示下列各式：a5,

3___

a4(a>0),j^(a>。)，NT^(a>0).

3436

［解］a5=y/a;。4=^/^(4>0);y［^,=a3=a2;

Iin3

中~~2=<22(a>0);yjcr\fci=a*a2=\a2=a4(a>0).

al

根式与分数指数器互化的规律

（1）根指数工分数指数的分母，被开方数（式）的指数乜分数指数的分

子;

(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数基的形式，然后利用有

理数指数幕的运算性质解题.

题型二指数器的运算

[例2](链接教科书第106页例2、例4)计算下列各式:

(1)国0+2-2*(232-O.O105；

0_4

(2)0.0643—(一，+[(-2)3]3+16-0-75；

⑶出5.b>())

O.r2(a3b-3)2

[解]⑴原式=i+R骸-(忐)5=1+/-告=居.

51127

(2)原式=0.4-i—1+(—2)-44-2-3=2—1+而+W=布.

12332

42•42--7—7士44

(3)原式=-1nn•al•a•b-•/?2=^a°/7°=旅.

指数器运算的解题通法

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；

(2)先乘除后加减，负指数霖化成正指数福的倒数；

(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先

化成假分数；

(4)若是根式，应化为分数指数森，并尽可能用霖的形式表示，运用指数糯的

运算性质来解答；

(5)运算结果不能同时含有根式和分数指数得，也不能既有分母又含有负指数

嘉，形式力求统一.

题型三条件求值问题

A1I-

[例3](链接教科书第110页习题8题)已知«2+a—2=\5,求下列各式的

值:

22

⑴O+Q-।；(2)a+a~.

1

［解］⑴将。2+a/=小r两边平方，

得。+。-1+2=5,即a+a-i=3.

(2)将。+底|=3两边平方，得屋+/2+2=9,

即/+。-2=7.

［母题探究］

(变设问)在本例条件下，a2-a-2=.

解析：令y=a2-a~2,两边平方，得y2=a44-a-4—2=(a2+o-2)2—4=72—4

=45,,'.y=±3y/5,即a2-a~2=±3y［5.

答案：±3小

解决条件求值问题的一般方法

对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值.但有时

字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知

条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.利用

“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0,b>0)：

1111

(1)a±2a2b2+b=(。2±b2)2；

XX11

(2)a—b—(al+b2)(a2—b2)；

331111

(3)。2+/?2=(々2+h2)(a—a2b2+h)；

331111

(4)。2—bl—(Q2—h2)(a+Q2〃2+b).

4.2指数函数

4.2.1指数函数的概念

知识点一指数函数的概念

一般地，函数y=^(a>0,且aWl)叫做指数函数，其中x是自变量,定义域

是0

对指数函数概念的再理解

/只有一个自变量

-X

万、

底数大于0且不等于1

系数为1

为什么指数函数的底数。>0,且aWl?

提示：①如果。=0,当x>0时，优恒等于0,没有研究的必要；当xWO时，

ax无意义.

②如果a<0,例如y=(一4尸，这时对于x=；,；该函数无意义.

③如果。=1,则是一个常量，没有研究的价值.

为了避免上述各种情况，所以规定。>0,且

1.判断正误.(正确的画“，错误的画“义”)

(l)y=f是指数函数.()

(2)指数函数旷=〃中，。可以为负数.()

(3)y=2、一1是指数函数.()

答案：(1)X(2)X(3)X

2.若函数大幻是指数函数，且五2)=2,则yu)=.

解析：设危)=斓。〉0,。左1),..7(2)=2,二屋=2,."=也，即人幻=(&)+

答案：(啦尸

知识点二指数型函数模型

形如a为非零常数，«>0,且。#1)的函数为指数型函数模型.

某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%,若初始溶液

含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少;.

(1)写出杂质含量y与过滤次数〃的函数关系式；

(2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过

滤几次才能使产品达到市场要求？

2，22

解：⑴过滤1次后的杂质含量为赤XI—彳=赤乂,；

X\.J\J\J/1J

过滤2次后的杂质含量为Too

2

过滤3次后的杂质含量为

100

2/2甲

过滤〃次后的杂质含量为丽(〃£N)

故y与〃的函数关系式为(〃£N').

1,2、7641

⑵由⑴知当"=7时，尸而X团=豆布〒加5，

।(2)8)28j

当〃=8时，=164~(P5<i000,所以至少应过滤8次才能使产品

达到市场要求.

题型一指数函数的概念

［例1］(1)下列函数中是指数函数的是(填序号).

①y=2.(也尸;②了=2厂|；③尸仔).

(2)若函数y=(女+2)h+2一伙a>0,且a#1)是指数函数，则％=,h

［解析］(1)①中指数式(也尸的系数不为1,故不是指数函数：②中y=2x-'

=g・2，，指数式2、的系数不为1,故不是指数函数；③是指数函数.

女+2=1女=—1

(2)根据指数函数的定义，得<‘解得('

〔2一。=0,［b=2.

［答案］⑴③(2)-12

判断一个函数是指数函数的方法

(1)看形式：判断其解析式是否符合y=a'<a〉O,且aWl)这一结构特征；

(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不

具备，该函数就不是指数函数.

题型二求指数函数的解析式或函数值

［例2］(链接教科书第114页例1)若函数«r)是指数函数，且/2)=9,则/(尤)

［解析］由题意设/(x)=d'<a〉O且&W1),因为火2)=4=9,所以”=3,所以

段)=3，.

［答案］3、

1.求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式,

然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指

数函数的概念是解决这类问题的关键.

2.求指数函数的函数值的关键是求指数函数的解析式.

题型三指数函数型的实际应用

［例3］(链接教科书第114页例2)某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，

由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到

5%.

若经过九年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y=/U)的表达式，并

求此函数的定义域.

［解］现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200+

200X5%=200(1+5%).

经过2年后木材蓄积量为：200(1+5%)+200(1+5%)X5%=200X(14-5%)2.

...经过x年后木材蓄积量为200(1+5%)*.

：.y=fix)=200(1+5%上函数的定义域为xeN*.

指数函数在实际问题中的应用

(1)利用数学方法解决实际问题时，应准确读懂题意，从实际问题中提取出模

型转化为数学问题；

(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N,平均增长率为p,

则对于经过时间x后的总量y可以用y=N(l+p)•'来表示，这是非常有用的函数

模型.

4.2.2指数函数的图象和性质

第一课时指数函数的图象和性质

知识点指数函数的图象和性质

1.在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？

提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象

2.指数函数>=户3>0,aWl）的图象与底数a有什么关系？

提示：底数。与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.当«>1

时，指数函数的图象是“上升”的；当0<。<1时，指数函数的图象是“下降”

1.判断正误.（正确的画“，错误的画“义”）

⑴指数函数的图象都在x轴的上方.（）

（2）若指数函数y=r是减函数，则0<a<l.（）

（3）函数y=3,的图象在函数y=2'图象的上方.（）

答案：（1”（2）V（3）X

2.函数y=2i的图象是（）

答案：B

3.函数y=a'（a〉O且aWl）在R上是增函数，则a的取值范围是

答案：（1,+°°）

4.函数,外外=2'+3的值域为.

答案：（3,+°°）

题型一指数型函数的定义域和值域

［例1］求下列函数的定义域和值域:

-⑶fl

⑴y=2x；⑵尸耳；⑶尸

［解］(l)：x满足xWO,.•.定义域为{x|xW0}.

1-

『-I.

1

...y=2l的值域为{y\y>0,且yW1}.

(2)定义域为R.

•••心。」<也翳跳=

...此函数的值域为“，+°°).

(3)由题意知1—Q)20,

.•心T)°

・》0,

・••定义域为{x巾20,x£R}.

W0,.咱21.

.•.0忘1-徽<1,

...OWy<l,.•.此函数的值域为［0,1).

函数y=〃X)定义域、值域的求法

(1)定义域：形如y=〃x)形式的函数的定义域是使得作)有意义的龙的取值集

合；

(2)值域：①换元，令f=/(x)；

②求r=/(x)的定义域XW。；

③求f=/(x)的值域eM；

④利用y="的单调性求y=J,的值域.

［注意］(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的

交集;

(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论.

题型二指数型函数图象

［例2］(1)函数1的图象如图所示，其中a,。为常数，则下列结论

正确的是()

A.a>\,b<0

C.0<a<l,b>0D.0<a<l,b<0

(2)在平面直角坐标系中，若直线与函数兀1)=|2'—1］的图象只有一个交

点，则实数机的取值范围是.

［解析］(1)从曲线的变化趋势，可以得到函数/U)为减函数，从而有

从曲线位置看，是由函数y=a'(OVaVl)的图象向左平移|一切个单位长度得到，

所以一/?>0,即8V0.

(2)画出函数义x)=|2*—1］的图象,如图所示.

若直线y=m与函数兀0=|2，一1|的图象只有1个交点，则"221或"2=0,

即实数〃？的取值范围是{棚m21或〃2=0}.

［答案］(1)D(2){加依21或加=0}

处理函数图象问题的策略

(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定

点时，只要令指数为0,求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点；

(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)；

(3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走

势

指数函数图象变换问题探究

为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数«%)=2,为例，借

助几何画板画出了下面4组函数的图象：

⑴尸危一1);(2)y=*x|)+l；(3)y=-/U)；(4»=心)一1|.

［问题探究］

1.请分别写出这4组函数的解析式.

提示：(1»=於-1)=2厂1;

⑵尸川田)+1=2恒+1;

(3)＞-=-/(x)=-2-'';

(4)y=m-H=|2'-l|.

2.已知函数y=*x)的图象，怎样利用图象变换的方法分别得到函数y=

/(壮a)(a〉O),y=«x)土伙/?＞0),y=—/(尤)，y=/(|x|),y=(/(x)|的图象，试写出变换过

程.

提示：(1)函数)=八壮。)(。＞0)的图象，可由y=/(x)的图象向左(+)或向右(一)

平移。个单位长度得到.

(2)函数)=加)±仇。＞0)的图象，可由＞=/&)的图象向上(+)或向下(一)平移b

个单位长度得到.

(3)将函数y=/(x)的图象关于x轴对称，便得到函数y=—/(x)的图象.

(4)保留函数y=/U)(x2())的部分图象，再将其沿y轴翻折到左侧，便得到函

数y=Alx|)的图象.

(5)保留函数y=/(x)在x轴上方的图象，并将y=«x)在x轴下方的图象沿x轴

翻折到上方，便得到函数)=次刈的图象.

［迁移应用］

解：（1）、（2）、（3）中的函数的图象分别如图①②③所示:

第二课时指数函数及其性质的应用

题型一指数式的大小比较

［例1］（链接教科书第117页例3）比较下列各组数的大小:

（1）1.5"和I©2；

⑵（磊与嘉

（3）1.5°3和0.81?.

［解］(1)'.•函数y=lS在R上是增函数，2.5V3.2,A1.525<1,532.

⑵指数函数y=（由与的图象（如图），［,

由图知颉嘉_

⑶由指数函数的性质知1.5°3>1.5。=1,IX=-|

而O.812VO.8°=1,

.•.1.5（,-3>0.8L2.

比较指数鬲大小的3种类型及处理方法

［例2］(链接教科书第119页T3)求解下列不等式：

⑴已知3后同，求实数x的取值范围；

(2)若a~5x>ax+\a>0且aWl),求x的取值范围.

n\—0.5/n—0.5

［解］(1)因为《J=305,所以由可得：3'230-5,因为y=3'

为增函数，故x20.5.

(2)①当0V&V1时，函数y=a*是减函数，则由。-k>r+7可得—5xVx+7,

7

解得x>一工.

O

②当时，函数)二优是增函数，则由qf>优+7可得—5X>X+7,解得

77

综上，当0V&V1时，》>一不当。>1时，xV—4.

1.指数型不等式的解法

(1)指数型不等式环°>/必。>0,且aWl)的解法：

当。>1时，>U)>g(x);

当0<a<l时，兀r)Vg(x).

(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边

的底数进行统一，此时常用到以下结论：1=。°3>0,且&W1),，'=伫丫3>0,

且a#l）等.

2.指数方程的求解方法

(1)同底法：形如小)=次伙。＞0,且aWl)的方程，化为«r)=g(x)求解；

(2)换元法：形如a2-'+/?-av+c=0(a＞0,且aWl)的方程，用换元法求解，求

解时应特别注意炉＞0.

题型三指数型函数的单调性

小%2—2x

［例引判断的单调性，并求其值域.

［解］令"=/—2%,则原函数变为)=(，.

—2X=(X—1)2—1在(-8,1］上递减，在(1,+8)上递增，又

在(一8,+8)上递减，

/［、f—2x

在(-8,1］上递增，在(1,+8)上递减.

U=X2—2X=(X—I)?—12—1,

...原函数的值域为(0,3］.

函数y=〃X)3＞0,。于1)的单调性的处理技巧

(1)关于指数型函数丫=/°(。＞0,且“W1)的单调性由以下两点所决定，一是

底数还是OVaVl；二是/U)的单调性，它由两个函数y=a",复合

而成；

(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y=

.*“)，u=(p(x),通过考查义“)和0(x)的单调性,求出y=/“(x))的单调区间.

题型三指数函数性质的综合应用

［例4］已知定义在R上的函数_/(%)=4+已7是奇函数，

(1)求。的值；

(2)判断式x)的单调性(不需要写出理由)；

(3)若对任意的zeR,不等式_/(P一2。+大2户一与<0恒成立，求实数k的取值

范围.

［解］的定义域为R,且.*x)为奇函数，

.,,穴0)=0,即a+；=0,；.a=一

(2)由(1)知人x)=—g+*p

故;(x)在R上为减函数.

(3)二/5)为奇函数,

*P-20+犬2产一%)<0可化为_/(产一2。勺也一2户).

由(2)知/(x)在R上单调递减，

/.Z2—2t>k~2t1,

即3尸一2f—Z>0对于一切/WR恒成立，

AJ=4+12K0,得kb；,

...攵的取值范围是(一8,一").

解决指数函数性质综合应用问题的注意点

(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理

化等变形技巧；

⑵解答函数问题注意应在函数定义域内进行；

(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.

4.3对数

4.3.1对数的概念

知识点一对数的概念

1.定义

一般地，如果出=N(a>0,且。#1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作

x=log“N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

2.常用对数与自然对数

常用对数)~(Jg^)~(以10为底)

仅见的口

20M自然对数)——(lnN)_(以e为底)

对数与指数的关系

指数式与对数式的互化(其中。>0,且a#l)：

指数|——|对数

a*=Nox=log°N

底数底数

(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；

(2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键.

1.式子lOgmN中，底数机的范围是什么？

提示：m>0且/

2.对数式logJV是不是log«与N的乘积？

提示：不是，log“N是一个整体，是求源指数的一种运算，其运算结果是一

个实数.

1.判断正误.(正确的画“，错误的画“义”)

(1)对数式logs2与log23的意义一样.()

(2)(—2>=—8可化为log(_2)(—8)=3.()

(3)对数运算的实质是求基指数.()

答案：⑴义(2)X(3)V

2.若/=M(a〉o,且。工1),则其对数式为

答案：log“M=2

3.把对数式log“49=2写成指数式为.

答案：a2=49

知识点二对数的基本性质

1.负数和。没有对数:

2.logal=Q(a>0,且aWl)；

3.log“a=l(a>0,且aWl).

2x—1

1.10g3=—=0,则％=.

答案：3

2.ln(lg10)=.

答案：0

题型一指数式与对数式的互化

［例1］(链接教科书第122页例1)将下列指数式化为对数式，对数式化为指

数式：

(1)3-2=/；⑵0=16；

(3)logj_27=-3;(4)logVr64=-6.

3

［解］(1)：32=/，.•.log3t=-2.

⑵••£)2=16,/.10gll6=-2.

(3)Vlogl27=-3,.咱3=27.

⑷〈log厂64=—6,/.(A/X)-6=64.

yjx

指数式与对数式互化的方法

(1)指数式化为对数式：将指数式的嘉作为真数，指数作为对数，底数不变,

写出对数式；

(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为福，对数作为指数，底数不变,

写出指数式.

题型二对数的计算

［例2］(链接教科书第123页例2)求下列各式中的x的值：

(l)10g64X=—|；(2)log.v8=6；(3)lg100=x

_2_2］

［解］(l)x=(64)-3=(43)-3=42=讳.

1111

(2)x6=8,所以x=(九6)d=8d=(23)d=2，=qi

(3)10'=100=IO2,于是x=2.

利用指数式与对数式的互化求变量值的策略

(1)已知底数与指数，用指数式求得；

(2)已知指数与森，用指数式求底数；

(3)已知底数与嘉，利用对数式表示指数.

题型三对数的性质

［例3］求下列各式中x的值：

(l)lOg2(log5X)=0;

(2)10g3(lgX)=l；

(3)10g3(10g4(10g5X»=0.

［解］(l)Vlog2(log5X)=0,

log5X=1,.,.x=5i=5.

(2)Vlog3(lgx)=l,.\lgx=3,

.\x=103=l000.

⑶由log3(log4(log5X))=0可得log4(logsx)=1,故log5X=4,/.x=54=625.

［母题探究］

(变条件)本例(3)中若将“10g3(10g4(10g5X))=。"改为“10g3(10g4(10g5X))=l"，

又如何求解X呢？

解：由Iog3(log4(log5x))=1可得，Iog4(log5%)=3,则10g5X=43=64,所以X

=564.

利用对数的基本性质求以下］2类问题的解法

(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求log“(log")的值，先求log"

的值,再求log«(log6c)的值；

(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求

解.

4.3.2对数的运算

知识点一对数的运算性质

若。>0,且aWl,M>0,N>Q,那么

(l)log“(MN)=logaM~HogW；

M

(2)log，w=logaMTogJV；

(3)log"M"=GR).

1.判断正误.(正确的画“J”，错误的画“X”)

⑴积、商的对数可以化为对数的和、差.()

(2)log«(肛)=log«x•log“y.()

2

(3)log2(-5)=21og2(-5).()

答案：(1)V(2)X(3)X

2.Iog84+logs2=.

解析：log84+logs2=log8(4X2)=logs8=1.

答案：1

3.logslO—log52=.

解析：Iog510—Iog52=log5¥=log55=1.

答案：1

知识点二换底公式

1.换底公式

log疝=黄9(。>°，且a#l;c>0,且cWl；h>0).

2.几个常用推论

n

(1)log<jH/?=logrt/?(«>0,a#l,b>Q,〃W0)；

n

(2)logo,„&,,=~log«Z?(a>0,aWl,b>Q,加工0,〃WR)；

(3)logn/?,log/)«=l(a>0,aWl；b>0,8W1).

10g49_

l-log43—

log49

解析:=log9=2.

log433

答案：2

2.Iog29•log32=.

1cle1^9至221g3

斛析：10g29•log32=lg2•1g3=1g3=2.

答案：2

题型一对数式的运算

［例1］（链接教科书第124页例3）求下列各式的值:

96

(l)log2(4X2)；

(2)lg^/l000；

7

(3)lgl4—21药+lg7—lgl8；

2

(4)lg52+,g8+lg5・lg20+(lg2)2.

9696

［解］(1)log2(4X2)=log24+log22=91og24+61og22=9X2+6X1=24.

(2)lg^/l000=1g10007=ylg1000="x3=5.

7

(3)lg14-21g^+lg7-lg18=lg(2X7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32X2)=lg2

+lg7-21g7+21g3+lg7-21g3—1g2=0.

(4)原式=21g5+21g2+lg5(21g2+lg5)+(lg2)2=21g10+(lg5+lg2)2=2+

(1g10)2=2+1=3.

对数式化简与求值的基本原则和方法

（1）基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选

哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行；

（2）两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数;

②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）.

题型二对数换底公式的应用

［例2］（链接教科书第126页练习3题）计算:

(l)log29,10g34；

oJog5&Xkjg79

I3/—

10g5gX10g7避

［解］（1）由换底公式可得,

,n4k91^421g3浮=4

log29-log34=lg2-lg3=lg2

(2)原式="g"1°巳9=k)gi啦Xlog赤9

10S53Iog7赤3

2

1g也、.，lg9萍21g33

——X

4lg43-lg3|lg22,

利用换底公式求值的思想与注意点

（思想I"化异为同”思想在求值或恒等变形中起重要作用）

，针对具体问题选择恰当的底数）

（注春点卜-（换底公式与对数的运算性质结合使用）

，换底公式可以正用、逆用，还可以变形用）

题型三对数式的实际应用

［例3］分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级来描

述声音的大小：把一很小的声压「0=2X10-帕作为参考声压，把所要测量的声

压P与参考声压Po的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级.声压级是

听力学中最重要的参数之一，单位是分贝（dB）.分贝值在60以下为无害区，说

明声音环境优良，60〜110为过渡区，110以上为有害区.

（1）试列出分贝y与声压P的函数关系式；

（2）某地声压P=0.002帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？

P

［解］⑴由已知得y=201g瓦（其中Po=2XlO-5）.

⑵当P=0.002时，

（（5=201g

J=201g2Xl（r1°2=40（分贝）・

由已知条件知40分贝小于60分贝，

所以此地为噪音无害区，声音环境优良.

解决对数应用题的一般步骤

4.4对数函数

4.4.1对数函数的概念

知识点对数函数的概念

一般地，函数v=log,Ma>0,且aWl)叫做对数函数,其中人是自变量，定义

域是(0,+8).

对数函数的解析式有何特征？

提示：在对数函数的定义表达式y=log“x(a>0,且aWl)中，log«x前边的系

数必须是1,自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数.

1.判断正误.(正确的画“，错误的画“义”)

(1)对数函数的定义域为R.()

(2)y=log2x2与log、3都不是对数函数.()

答案：⑴X(2)7

2.函数/U)=log2(x—1)的定义域是()

A.［1,+°°)B.(1,+00)

C.(一8,1)D.(一8,1］

答案：B

3.若函数y(x)=(a—l)k)g(“+i/是对数函数，则实数.

答案：2

题型一对数函数的概念

［例1