2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第29讲怎么求直线与平面所成的角含解析

Page1第29讲 怎么求直线与平面所成的角一、知识与方法1直线与平面所成角的定义(线面角)平面的一条斜线和它在这个平面的射影所成的角叫作这条直线和平面所成的角.一条直线与平面平行或在平面内所成的角是弧度为0的角.线面角的范围是.2三垂线定理及其逆定理（1）三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直.(2)三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.3求线面角的方法概括地讲:求线面角,先找出角,再将其转化为求线线角.二、典型例题【例1】已知在正四棱柱中.,则与平面所成角的正弦值等于（）．A. B. C. D.【分析】本题求线面角的思路之一:根据线面角的定义,找出在平面上的射影,运用定义法求解,其难点是过点作平面的垂线,垂点的位置如何确定?需要根据线面、面面垂直的关系确定.那么是否可以不用找到垂足就可以求出线面角呢?思路之二是运用等体积法求出高线的长度,线面角的大小即可确定.思路之三是运用向量坐标法，由于题目给出的是正棱柱,建立空间直角坐标系很方便,解之不难,读者可以试试用向量法解.【解法一】(定义法)如图所示,连接交于点,由于可得平面,从而平面平面.过点作于点,根据面面垂直的性质定理,可得平面即为所求的线面角.不妨设,则.,故选.【解法二】(等体积法)连接交于点,由于,可得平面,得,过点作平面,则即为所求的线面角,由等体积法,得,则.设,则.故.故选.【例2】如图所示,在正方体中,点为线段的中点,设点在线段上,直线与平面所成角为,则的取值范围是（）A. B. C. D.【分析】由于点是线段上的动点,可以借助图形看当,点变化时在平面内斜线的射影的变化,从而发现射影角的变化.探究线面和面面关系其实是考查空间想象和逻辑推理能力,难点是能否正确通过面面垂直找到在平面上的射影.容易误认为点在,点处取得最小值,从而错选.当然由于本题的正方体背景,可建立空间直角坐标系.将问题定量化,降低思维难度,转化为函数问题求值域,运用向量坐标解决立体几何中的动态问题,实现对空间中距离和角的最值求解是好方法.【解法一】(立体几何方法)设正方体的棱长为,则,,由正方体的性质知平面与平面垂直.在平面上的射影在直线上,则,在从运动到过程中,当时,取得最大值1,其最小值可能在点或点取得,当在点时,;当在点时,,则的取值范围是,故选.【解法二】(向量坐标法)以为原点,分别以射线,为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系,如图所示,设,则,平面的法向量为,则，由可解得一个则令,则设时,.,即的取值范围是,故选.【例3】如图所示,已知三棱柱,平面平面分别是的中点.（1）证明:;（2）求直线与平面所成角的余弦值.【分析】本题的证明和解答总体而言有两个方向:一是在立体几何范围内求解;二是运用向量法求解.第(1)问,首先利用面面垂直的性质定理证明平面,再根据线面垂直的判定定理证明平面,然后根据线面垂直的性质定理得证;或建立空间直角坐标系,利用两直线的方向向量垂直证明结论.第(2)问,作出线面角的平面角,通过解三角形求解;或建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求解.【解法一】（立体几何方法）(1)【证明】如图所示.连接.是的中点,.又平面平面平面,平面平面,平面,则.又,故.平面,因此.(2)取中点.连接,则是平行四边形(如图所示).由于平面,故,平行四边形为矩形.由(1)得平面,则平面平面.在平面上的射影在直线上.连接交于,则是直线与平面所成的角(或其补角）.不妨设,则在中,.由于为的中点,故，因此,直线与平面所成角的余弦值是.【解法二】（向量方法)(1)【证明】连接是的中点,,又平面平面平面,平面平面平面如图所示,以点为原点,分别以射线为轴,轴的正半轴建立空间直角坐标系.不妨设,则,因此,.由,得.(2)设直线与平面所成角为.由(1)可得,设平面的法向量为,由取,故.因此,直线与平面所成的角的余弦值为.三、易错警示【例】如图所示,在多面体中,底面是边长为的菱形,,四边形是矩形,平面平面是的中点.(1)求直线与平面所成角的正弦值;(2)求二面角的大小.【错解】(1)如图所示,以为原点,所在直线分别为轴,轴轴建立空间直角坐标系.底面是边长为的菱形,,平面平面的法向量,设直线与平面所成角为.由,得直线与平面所成角的正弦值为(2)由(1)得,设平面的法向量为即令得由平面,得平面的法向量为,则二面角的大小为.【评析及正解】利用空间向量的坐标法求空间的角要注意解题过程的严密性,先证明后建系是许多问题都会面临的问题.上述解法末经证明垂直关系就直接建系,导致解答过程不严谨,在求空间角时,要准确了解两个向量的夹角与所求空间角的差异,不能直接将两向量的夹角认定为所求的角,要根据实际情况进行准确的转换.正确的解法如下：【解析】(1)设,取的中点,连接.四边形是矩形,分别为的中点,,又平面平面.由得两两垂直.以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴如图所示建立空间直角坐标系，底面是边长为2的菱形,.平面平面的法向量.设直线与平面所成角为,由,得直线与平面所成角的正弦值为.(2)由(1)得.设平面的法向量为，即令,得.由平面,得平面的法向量.则由图可知二面角为锐角,二面角的大小为.四、难题攻略【例】如图所示,在三棱锥中,为的中点.（1）证明:平面;（2）若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值.【分析】第（1）问，证明直线与平面垂直主要是通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直，而直线与直线垂直的证明通常可利用勾股定理、等腰三角形三线合一等知识来完成，本小题首先利用等腰三角形的性质可得，利用勾股定理证明，然后结合线面垂直的判定定理可证得结果，当然也可通过证明三角形全等来解决.第（2）问，处理空间直线与平面所成角、二面角问题可以运用立体几何的方法，也可以利用向量来解决，即根据（1）中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出点（含有参数）的坐标，根据已知条件求得此参数，然后求解。【解析】(1)【证法一】为的中点,且.连接为等腰直角三角形，且,由知.由知平面.【证法二】如图3-28所示，联结，由，得是以为直角顶点的直角三角形。又为AC的中点，有，可得.在中，为的中点，得，则.又平面平面ABC，，故有平面.（2）【解法－】如图3-29所示,取的中点,联结,则过作平面的垂线,垂足记为(垂足在平面内).连接,则即为二面角的平面角,即,得.连接，则为直线与平面所成的角，在中，.【解法二】由（1）知平面，可得平面平面，如图3-30所示，在平面内作，垂足为，则平面.在平面内作，垂足为，联结.则.故为二面角的平面角，即.设，则.在中，,在中,由,得,则设点到平面的距离为.由,得,解得,则与平面所成角的正弦值为.【解法三】如图3-31所示.以为坐标原点，的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.由已知得,取平面的一个法向量.设,则设平面的法向量为.由得可取4)。,由已知可得.,解得舍去,又。与平面所成角的正弦值为.五、强化训练1.如图所示,已知多面体均垂直于平面(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成的角的正弦值.【解析】（1）证法一（立体几何通法）：由得∴故.由得.由得.由，得，∴，故.因此平面.证法二(向量坐标法)：如图①所示，以的中点为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.由题意知各点坐标如下：.因此.由得，由得，∴平面.（2）【解法一】（立体几何通法）：如图②所示，过点作交直线于点，联结.由平面得平面平面.由得平面.∴是与平面所成的角.由得，∴，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.【解法二】（向量坐标法）：设直线与平面所成的角为.由（1）的解法二可知.设平面的法向量，由即可取.∴.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.【解法三】（等积求距）：设直线与平面所成的角为，由条件易得.∴，因此.于是得，易得.由，得，解得.故.【解法四】（补体法结合