河南省洛阳市东方高级中学2021年高三数学文月考试卷含解析

河南省洛阳市东方高级中学2021年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.(

)A． B． C． D．参考答案：B略2.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常数），若f（x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0）?f（1）≤0；②g（0）?g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由f（x）在（0，1）上单调递减，可得g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，则3x2+2ax+b=0有两个不等的实根根，进而判断三个命题的真假，可得答案．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c在（0，1）上单调递减，但f（0），f（1）的符号不能确定，故①f（0）?f（1）≤0不一定正确；由f′（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，即g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，故g（0）≤0，且g（1）≤0，故②g（0）?g（1）≥0一定正确；由g（0）≤0，且g（1）≤0得b≤0，3+2a+b≤0，令Z=a2﹣3b，则b=（a2﹣Z），当b=（a2﹣Z）过（﹣，0）点时，Z取最小值故③正确；故选：B3.已知函数①y=x?sinx②y=x?cosx，③y=x?|cosx|，④y=x?2x的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是（）A．①④②③ B．①④③② C．④①②③③④②①参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性和函数值得特点即可判断．【解答】解：①y=xsinx是偶函数，其图象关于y轴对称；②y=xcosx是奇函数，其图象关于原点对称；③y=x|cosx|是奇函数，其图象关于原点对称．且当x＞0时，y≥0；④y=x2x为非奇非偶函数，且当x＞0时，y＞0；当x＜0时，y＜0；故选A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和函数值特点，属于基础题4.若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是(

)A．a2＞ab＞b2 B．ac2＜bc2 C． D．参考答案：A【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】利用不等式的基本性质可知A正确；B若c=0，则ac2=bc2，错；C利用不等式的性质“同号、取倒，反向”可知其错；D作差，因式分解即可说明其错．【解答】解：A、∵a＜b＜0，∴a2＞ab，且ab＞b2，∴a2＞ab＞b2，故A正确；B、若c=0，则ac2=bc2，故不正确；C、∵a＜b＜0，∴＞0，∴，故错；D、∵a＜b＜0，∴＜0，∴，故错；故答案为A．【点评】本小题主要考查不等关系与不等式、不等式的基本性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力及分类讨论思想．属于基础题．5.在函数的图象上有点列，若数列是等差数列，数列是等比数列，则函数的解析式可以为 () A．

B．C．

D．参考答案：D对于函数上的点列(xn，yn)，有yn＝，由于{xn}是等差数列，所以xn+1－xn＝d，因此＝，这是一个与n无关的常数，故{yn}是等比数列．故选D.6.函数在区间[0，4]上的零点个数是A．4B．5 C．6 D．7参考答案：C7.已知直线l1与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，且AB中点M的横坐标为b，过M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由A，B代入双曲线方程，作差整理可得k==，化简得a2=bc，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（b，yM），由A，B代入双曲线方程，作差整理可得k==，化简得a2=bc，即a4=（c2﹣a2）c2，有e4﹣e2﹣1=0，得e=．故选B．8.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（

）A．14

B．

C．

D．参考答案：C根据题意知原图是一个直三棱柱，躺在平面上，上下底面是等腰直角三角形，则表面积由五个面构成，表面积为：故答案为：C.

9.已知命题；命题若，则，下列命题为真命题的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.（5分）已知函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，则不等式f（x+3）＜0的解集为（

）

A．（﹣∞，﹣3）B．（4，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣4）参考答案：D【考点】：函数奇偶性的性质．函数的性质及应用．【分析】：对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，可得函数f（x）在R上单调递增．由函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，可得f（﹣1）=0，即可解出．解：∵对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，∴函数f（x）在R上单调递增．∵函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=0，∴不等式f（x+3）＜0=f（﹣1）化为x+3＜﹣1，解得x＜﹣4，∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）．故选：D．【点评】：本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时，有如下方法：先改写第k项：，由此得：，，…，，相加得：1×2+2×3+…+n(n+1)＝.类比上述方法，请你计算“1×3+2×4+…+n(n+2)”，其结果写成关于n的一次因式的积的形式为：

．参考答案：12.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为

.参考答案：13.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．今有抛物线（），如图，一平行x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行x轴方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为

．参考答案：14.理：已知△的顶点、、，则△的内角的大小是

.（结果用反三角函数值表示）参考答案：15.已知△ABC中，，，，若线段BA的延长线上存在点D，使，则CD=

．参考答案：

16.不等式|2x﹣1|+|2x+9|＞10的解集为

．参考答案：

【考点】绝对值不等式的解法．【分析】将绝对值不等式去掉，在每一段上解不等式，再求它们的并集即可．【解答】解：当x≥时，4x+8＞10，解得x＞；当﹣，﹣10＞10，解得无解；当x≤﹣时，﹣4x﹣8＞10，解得x＜﹣；综上所述不等式的解集为．故答案为．17.对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.从装有2只红球,2只白球和1只黑球的袋中逐一取球,已知每只球被抽取的可能性相同．（Ⅰ）若抽取后又放回,抽取3次,求恰好抽到2次为红球的概率;（Ⅱ）若抽取后不放回,设抽完红球所需的次数为,求的分布列及期望．（Ⅰ）；（Ⅱ）。参考答案：解:（Ⅰ）抽取一次抽到红球的概率为--------------2分所以抽取3次恰好抽到2次为红球的概率为-----------4分（Ⅱ）-------------------5分,,,．-------------9分的分布列为

所以---------------------------12分本题考查排列组和、离散型随机变量的分布列问题，同时考查利用概率分析、解决问题的能力．在取球试验中注意是否有放回（1）抽取后又放回，每次取球可看作独立重复试验，利用独立重复试验求解即可．（2）抽取后不放回，ξ所有可能的取值为2，3，4，5，分别求出其概率即可．19.(本题满分14分)已知抛物线：过点，直线交于，两点，过点且平行于轴的直线分别与直线和轴相交于点，．(1)求的值；(2)是否存在定点，当直线过点时，△与△的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。参考答案：（1）因为在抛物线C上，所以1=2p·，得p=1．

……3分（2）假设存在定点Q，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为y=kx+b．联立得，当时，有．

……6分所以()()= (*)由题意知，，因为△PAM与△PBN的面积相等，所以，即，也即

……10分根据(*)式，得()2=1，解得或．所求的定点Q即为点A，即l过Q(0,0)或Q(2,2)时，满足条件．

……14分

20.（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交线段B1C于点F．以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面BED；（Ⅱ）求A1B与平面BDE所成角的正弦值的大小参考答案：（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角；向量语言表述线面的垂直、平行关系．G10G11解析：（Ⅰ）D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）设E（0，2，t），则．∵BE⊥B1C，∴．∴t=1．∴E（0，2，1），．∵，∴且，∴且，∴平面BDE．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，∵，∴，∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为．【思路点拨】（I）由已知中，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，我们易求出正四棱柱中各顶点的坐标，设E（0，2，t），根据BE⊥B1C，我们易由它们的方向向量数量积为0，构造关于t的方程，求出t值，然后根据向量数量为0，向量垂直，对应的线段也垂直，可证得直线A1C与BE，BD均垂直，再由线面垂直的判定定理得到A1C⊥平面BED；（Ⅱ）由（1）中结论，我们可得是平面BDE的一个法向量，再求出直线A1B的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到A1B与平面BDE所成角的正弦值的大小．（本小题满分12分）现有4人去旅游，旅游地点有A、B两个地方可以选择．但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里琨，掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的则去B地．

（I）求这4个人中恰好有1个人去B地的概率；

（Ⅱ）求这4个人中去A地的人数大于去B地的人数的概率；

（Ⅲ）用X、Y分别表示这4个人中去A、B两地的人数，记求随机变量亭的分布列与数学期望．【答案】（1）;（2）;(3)见解析

【解析】【知识点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．K4K5K6解析：（1）依题意，这4个人中，每个人去A地旅游的概率为，去B地的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去A地旅游”为事件Ai（i=0，1，2，3，4）∴．（2分）这4个人中恰有1人去A地游戏的概率为．（4分）（2）设“这4个人中去A地的人数大于去B地的人数”为事件B，则B=A3∪A4，∴．（8分）（3）ξ的所有可能取值为0，3，4，，，，（10分）∴ξ的分布列是ξ034P．（12分）【思路点拨】（1）依题意，这4个人中，每个人去A地旅游的概率为，去B地的人数的概率为，由此能求出这4个人中恰有1人去A地游戏的概率．（2）设“这4个人中去A地的人数大于去B地的人数”为事件B，则B=A3∪A4，由此能求出这4个人中去A地的人数大于去B地的人数的概率．（3）ξ的所有可能取值为0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．21.对于集合，，,.集合A中的元素个数记为.规定：若集合满足，则称集合A具有性质T．（I）已知集合，，写出，的值；（II）已知集合，为等比数列，，且公比为，证明：具有性质T；（III）已知A，B均有性质T，且，求的最小值.参考答案：（I）；（II）见解析；（III）.【分析】(Ⅰ)分别求得A+A，B+B，然后可得，的值；(Ⅱ)将原问题进行等价变形，然后利用反证法证明题中的结论即可；(Ⅲ)原问题等价于任意两个元素之和均不相同，且任意两个不同元素之差的绝对值均不相