2021-2022学年山东省青岛市黄岛区第四中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2021-2022学年山东省青岛市黄岛区第四中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1）处的切线斜率为1，则的最小值是（）A．10 B．9 C．18 D．10参考答案：C【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，可得f′（1）=2a+b=1，再用“1”的代换，展开后利用基本不等式，即可求最小值．【解答】解：由f（x）=ax2+bx，得f′（x）=2ax+b，又f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为1，所以f′（1）=2a+b=1，即．则=?（2a+b）=10++≥10+2=18．当且仅当时，“=”成立．所以的最小值是18．故选：C．2.《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200π B．50π C．100π D．π参考答案：B【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径：=5该三棱锥的外接球的表面积为：=50π，故选B．3.在平行四边形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，E为CD的中点．若=3，则AB的长为（）A． B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用平行四边形中的向量相等，结合已知数量积等式，得到关于AB的方程解之即可．【解答】解：因为平行四边形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，E为CD的中点．设AB=x，由=3，得到==x+4﹣﹣x=3，解得x=2；故选C．【点评】本题考查了平面向量的平行四边形法则以及三角形法则的运用和数量积公式的运用；用到了方程思想．4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为

A.90π

B.63π

C.42π

D.36π参考答案：B由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为，故选B.5.过点且与双曲线只有一个交点的直线有A.1条

B.2条

C.3条

D.4条参考答案：D6.某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内填A．k>4

B．k>5

C．k>6 D．k>7参考答案：A7.三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为

(A)

(B)

(C)

3

(D)12参考答案：C8.若向量满足，则在方向上投影的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B考点：向量模等有关概念及投影的定义．【易错点晴】本题考查的是向量的在向量的方向上投影的最大值问题,解答时充分依据题设条件，建立了关于向量的模的方程,再借助“向量的在向量的方向上投影”的定义，构建关于向量的模为变量的目标函数，然后借助基本不等式求出其最大值为.9.定积分ex)dx的值为

（

）[(A)e+2

(B)e+1

(C)e

(D)

e-1参考答案：C10.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0.3）内是增函数的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.当时，的最小值为，则实数的值为

.参考答案：412.已知是偶函数，当时，，且当时，

恒成立，则的最大值是

．参考答案：

略13.设x，y满足约束条件，则的取值范围是．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣4，﹣3），联立，解得B（1，2），化为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣分别过A、B时，z有最小值和最大值分别为﹣5、．∴的取值范围是：．故答案为：．14.若函数的最小正周期是π，则实数=__________．参考答案：±2函数f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+）最小正周期是,即所以±2故答案为±2

15.若，则参考答案：016.设单调函数的定义域为D，值域为A，如果单调函数使得函数的值域也是A，则称函数是函数的一个“保值域函数”．已知定义域为的函数，函数与互为反函数，且是的一个“保值域函数”，是的一个“保值域函数”，则__________．参考答案：1【分析】根据反函数性质以及“保值域函数”定义可得的值域等于的定义域，再根据对应区间单调性分类讨论值域取法，最后根据对应关系确定a,b，解得结果.【详解】根据“保值域函数”的定义可知；如果函数是函数的一个“保值域函数”，那么的值域就等于的定义域．所以，的值域等于的定义域；的值域等于的定义域．因为函数与互为反函数，所以的定义域等于的值域．因此的值域等于的定义域．函数，所以在是单调递减，在是单调递增．（1）当时，，消元得到，解得，舍去；（2）当时，，整理可得，解得，故【点睛】本题属于定义题，有点难．需要在审题过程中把题干上给的定义读懂，理解透彻，灵活运用，对学生能力要求高．本题需要注意两点：（1）复合函数中内涵数的值域等于外函数的定义域，所以能够得出的值域就等于的定义域；（2）互为反函数的两个函数，一个函数定义域等域另一个的值域，这个性质是解本题的关键．本题易错的是遗忘了定义中对函数单调的要求．17.已知，则函数的最大值是____．参考答案：13三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数f（x）=2lnx+．（I）当函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y﹣4x+1=0垂直时，求实数m的值；（Ⅱ）若x≥1时，f（x）≥1恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案：（Ⅰ）9；（Ⅱ）[2，+∞）

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用（Ⅰ）∵f′（x）=﹣，∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k=f′（1）=2﹣，∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y﹣4x+1=0垂直，∴2﹣=﹣，∴m=9；

（Ⅱ）依题意不等式2lnx+≥1在x≥1时恒成立，即m≥x+1﹣2（x+1）lnx在x≥1时恒成立．令g（x）=x+1﹣2（x+1）lnx（x≥1），则g′（x）=1﹣[2lnx+]=﹣，∴x≥1时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在[1，+∞）时为减函数，∴g（x）≤g（1）=2，∴m≥2即实数m的取值范围是[2，+∞）．【思路点拨】（Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得到所求m的值；（Ⅱ）不等式2lnx+≥1在x≥1时恒成立，即m≥x+1﹣2（x+1）lnx在x≥1时恒成立．令g（x）=x+1﹣2（x+1）lnx（x≥1），求出导数，求得单调区间，即可得到最大值，令m不小于最大值即可．

19.已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间.参考答案：【考点】三角函数的求值，图象及其性质。解析： ＝120.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）若b＝，C＝120°，求△ABC的面积S;（2）若b：c＝2：3，求.参考答案：21.（满分12分） 已知圆O：，点P在直线上的动点。 （1）若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长； （2）若点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点（1，0）。参考答案：根据题意，设P（4，t）。 （I）设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD， 由题意可知，即， 解得，所以点P坐标为， 在Rt△POC中，易得∠POC=60°，所以∠DOC=120° 所以两切线所夹劣弧长为 （II）设，Q（1，0），依题意，直线PA经过点A（-2，0），P（4，）， 可以设，和圆联立，得到 代入消元得到， 因为直线AP经过点A，M（），所以是方程的两个根， 所以有，，代入直线方程，得 同理，设，联立方程有 代入消元得到， 因为直线BP经过点B（2，0），N（），所以是方程的两个根， ， 代入得到 若，则，此时 显然M，Q，N三点在直线上，即直线经过定点Q（1，0） 若，则，， 所以有，所以，所以M，N，Q三点共线，即直线MN经过定点Q（1，0）。综上所述，直线MN经过定点Q（1，0）22.

已知函数（）

（1）若，用“五点法”在给定的坐标系