贵州省“阳光校园·空中黔课”阶段性检测2024届高二数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

贵州省“阳光校园·空中黔课”阶段性检测2024届高二数学第一学期期末学业质量监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（）A B.C. D.2．已知为偶函数，且，则___________.3．已知点是抛物线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（）A. B.C. D.4．已知两个向量，若，则的值为（）A. B.C.2 D.85．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）A. B.C. D.6．在区间内随机取一个数则该数满足的概率为（）A. B.C. D.7．在单调递减的等比数列中，若，，则（）A.9 B.3C. D.8．函数在区间（0，e）上的极小值为（）A.－e B.1－eC.－1 D.19．在等比数列{}中，，，则=（）A.9 B.12C.±9 D.±1210．与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为（）A. B.C. D.11．命题，，则是（）A.， B.，C.， D.，12．已知椭圆的离心率为，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．等差数列，的前项和分别为，，且，则______.14．已知直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____15．已知点F是抛物线的焦点，点，点P为抛物线上的任意一点，则的最小值为_________.16．设是数列的前项和，且，则_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前n项和为,且,,数列满足，.(1)求和的通项公式；(2)求数列{}的前n项和.18．（12分）已知在等差数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）若的前n项和为，且，，求数列的前n项和19．（12分）如图，在三棱锥中，，平面，，分别为棱，的中点.（1）求证：；（2）若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积.20．（12分）已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由21．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m，交椭圆于A，B两个不同点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.22．（10分）已知函数，为自然对数的底数.（1）当时，证明，，；（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】根据得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到，设，进而作，得出，由此求出结果【题目详解】因为，所以，即所以，由双曲线的定义，知，设，则，易得，如图，作，为垂足，则，所以，即，即双曲线的离心率为.故选：B2、8【解题分析】由已知条件中的偶函数即可计算出结果，【题目详解】为偶函数，且，.故答案为：83、C【解题分析】分析可知圆的圆心为抛物线的焦点，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值.【题目详解】设点的坐标为，有，由圆的圆心坐标为，是抛物线的焦点坐标，有，由圆的几何性质可得，又由，可得的最小值为故选：C.4、B【解题分析】直接利用空间向量垂直的坐标运算计算即可.【题目详解】因为，所以，即，解得.故选：B5、A【解题分析】设七巧板正方形边长为4，求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率公式计算作答.【题目详解】设七巧板正方形边长为4，则大阴影等腰三角形底边长为4，底边上的高为2，可得小正方形对角线长为2，小正方形边长为，小阴影等腰直角三角形腰长为，小白色等腰直角三角形底边长为2，则左上角阴影等腰直角三角形腰长为2，因此，图中阴影部分面积，而七巧板正方形面积，于是得七巧板中白色部分面积为，所以在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为.故选：A6、C【解题分析】求解不等式，利用几何概型的概率计算公式即可容易求得.【题目详解】求解不等式可得：，由几何概型的概率计算公式可得：在区间内随机取一个数则该数满足的概率为.故选：.7、A【解题分析】利用等比数列的通项公式可得，结合条件即求.【题目详解】设等比数列的公比为，则由，，得，解得或，又单调递减，故，.故选：A.8、D【解题分析】求导判断函数的单调性即可求解【题目详解】的定义域为(0，＋∞)，，令，得x＝1，当x∈(0，1)时，，单调递减，当x∈(1，e)时，，单调递增，故在x＝1处取得极小值.故选：D.9、D【解题分析】根据题意，设等比数列的公比为，由等比数列的性质求出，再求出【题目详解】根据题意，设等比数列的公比为，若，，则，变形可得，则，故选：10、C【解题分析】由直线平行及直线所过的点，应用点斜式写出直线方程即可.【题目详解】与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为，整理得故选：C11、D【解题分析】根据特称命题的否定为全称命题，即可得到答案.【题目详解】因为命题，，所以，.故选：D12、D【解题分析】由离心率及椭圆参数关系可得，进而可得.【题目详解】因为，则，所以.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】取，代入计算得到答案.【题目详解】，当时故答案为【题目点拨】本题考查了前项和和通项的关系，取是解题的关键.14、【解题分析】联立直线得，由无公共点得，进而得，即可求出离心率的取值范围.【题目详解】联立直线与双曲线可得，整理得，显然，由方程无解可得，即，则，，又离心率大于1，故离心率的取值范围是.故答案为：.15、3【解题分析】根据抛物线的定义可求最小值.【题目详解】如图，过作抛物线准线的垂线，垂足为，连接，则，当且仅当共线时等号成立，故的最小值为3，故答案为：3.16、【解题分析】根据题意可知，再利用裂项相消法，即可求出结果.【题目详解】因为，所以.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；；（2）【解题分析】（1）求数列的通项公式主要利用求解，分情况求解后要验证是否满足的通项公式，将求得的代入整理即可得到的通项公式；（2）整理数列的通项公式得，依据特点采用错位相减法求和试题解析：（1）∵，∴当时，.当时，.∵时，满足上式，∴.又∵，∴，解得：.故，，.（2）∵，，∴①②由①-②得：∴，.考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和【方法点睛】求数列的通项公式主要利用，分情况求解后，验证的值是否满足关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中，根据特点采用错位相减法求和18、（1）；（2）.【解题分析】(1)根据给定条件求出数列的公差即可求解作答.(2)由已知条件求出数列的通项，再利用错位相减法计算作答.【小问1详解】等差数列中，，解得，则公差，所以数列的通项公式为：.【小问2详解】的前n项和为，，，则当时，，于是得，即，而，即，，因此，数列是首项为2，公比为2的等比数列，，由(1)知，，则，因此，，，所以数列的前n项和.19、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质即证；（2）利用坐标法，结合条件可求，然后利用体积公式即求.【小问1详解】，是的中点，，平面，平面，，又，平面，平面，；【小问2详解】，，，取的中点，连接，则，平面，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得，∵二面角的大小为，，解得，，则三棱锥的体积.20、（1）证明见解析（2）能为平行四边形；斜率为4－或4＋【解题分析】（1）设两点坐标，由点差法证明（2）求出两点坐标，由平行四边形的几何性质判断【小问1详解】设的斜率为,，两式相减可得，即故【小问2详解】由（1）得的直线为，直线方程为联立，解得联立解得若四边形OAPB为平行四边形，则对角线互相平分为中点，解得，经检验，均符合题意故四边形OAPB能为平行四边形，此时斜率为4－或4＋21、（Ⅰ）；（Ⅱ）且；（Ⅲ）证明见解析.【解题分析】（Ⅰ）设出椭圆方程，根据题意得出关于的方程组，从而求得椭圆的方程；（Ⅱ）根据题意设出直线方程，并与椭圆方程联立消元，根据直线与椭圆方程有两个不同交点，利用即可求出m取值范围；（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，根据题意把所证问题转化为证明k1+k2=0即可.【题目详解】（1）设椭圆方程为，由题意可得，解得，∴椭圆方程为；（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，，所以设直线的方程为，由消元，得∵直线l与椭圆交于A，B两个不同点，所以，解得，所以m的取值范围为.（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可，设，由（Ⅱ）可知，则，由，而，，故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.22、（1）证明见解析：（2）【解题分析】(1)代入,求导分析函数单调性,再的最小值即可证明.(2),若函数在上存在两个极值点,则在上有根.再分,与,利用函数的零点存在定理讨论导函数的零点即可.【题目详解】(1)证明：当时,,则,当时,,则,