河南省商丘市闫集乡第三中学2021-2022学年高一数学理联考试题含解析

河南省商丘市闫集乡第三中学2021-2022学年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是(

)A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A【考点】分段函数的应用．【专题】压轴题；数形结合．【分析】将方程的问题转化成函数图象的问题，画出可得．【解答】解：关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0可化为（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+k=0（x≥1或x≤﹣1）（1）或（x2﹣1）2+（x2﹣1）+k=0（﹣1＜x＜1）（2）当k=﹣2时，方程（1）的解为±，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根当k=时，方程（1）有两个不同的实根±，方程（2）有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根当k=0时，方程（1）的解为﹣1，+1，±，方程（2）的解为x=0，原方程恰有5个不同的实根当k=时，方程（1）的解为±，±，方程（2）的解为±，±，即原方程恰有8个不同的实根故选A【点评】本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想．2.已知为锐角，且，则等于

A.

B.

C.

D.参考答案：D3.若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；数形结合法；直线与圆．【分析】曲线x=即x2+y2=1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，如图，数形结合求得当直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点时b的取值范围．【解答】解：曲线x=即x2+y2=1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，如图所示．当直线y=x+b经过点A（0，1）时，求得b=1，当直线y=x+b经过点B（1，0）时，求得b=﹣1，当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y=x+b的距离等于半径，可得=1，求得b=﹣，或b=（舍去）．故当直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点时b的取值范围是﹣1＜b≤1或b=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质．对于此类问题除了用联立方程转化为方程的根的问题之外，也可用数形结合的方法较为直观，属于基础题．4.依据“二分法”，函数f（x）=x5+x﹣3的实数解落在的区间是（）A．[0，1] B．[1，2] C．[2，3] D．[3，4]参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解．【分析】令f（x）=x5+x﹣3，判断函数的零点的方法是若f（a）?f（b）＜0，则零点在（a，b），进而把x=0，1，2，3，4代入可知f（1）＜0，f（2）＞0进而推断出函数的零点存在的区间．【解答】解：令f（x）=x5+x﹣3，把x=0，1，2，3，4代入若f（a）?f（b）＜0，则零点在（a，b）所以f（1）＜0，f（2）＞0满足所以在（1，2）故选B．5.已知平面上不重合的四点，，，满足，且，那么实数的值为

（

）

A.2

B.

C.

D.参考答案：B略6.“x≠－1”是“x2－1≠0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B解析：由x2－1≠0，得x≠1且x≠－1，因为“x≠－1”是x≠1且“x≠－1”的必要不充分条件，所以“x≠－1”是“x2－1≠0”的必要不充分条件，故选B.7.已知函数f(x)=（e为自然对数的底数），则方程2f(x)-l=0的实数根的个数为

(

)

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B8.已知数列{an}满足an=26﹣2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为（）A．11或12 B．12 C．13 D．12或13参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】令an=26﹣2n≥0解得n≤13所以数列的前12项大于0，第13项等于0，13项后面的小于0．所以数列的前12项与前13项最大．【解答】解：令an=26﹣2n≥0，解得n≤13，故数列的前12项大于0，第13项等于0，13项后面的均小于0．所以数列的前12项与前13项最大．故使其前n项和Sn取最大值的n的值为12或13故选D9.函数，的值域为（

）A．R B．[0,1] C．[2,5] D．[5,+∞)参考答案：C由题意得函数在区间上单调递增，∴，即，∴在的值域为．故选C．10.设向量,m是向量a在向量b向上的投影,则m的最大值是 （）A． B．4

(c)2 D．3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）给出下列命题：①存在实数α，使sinα?cosα=1；②存在实数α，使；③函数是偶函数；④是函数的一条对称轴方程；⑤若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ；其中正确命题的序号是

．参考答案：③④考点： 命题的真假判断与应用．专题： 计算题；综合题．分析： 由二倍角的正弦公式结合正弦的最大值为1，可得①不正确；利用辅助角公式，可得sinα+cosα的最大值为，小于，故②不正确；用诱导公式进行化简，结合余弦函数是R上的偶函数，得到③正确；根据y=Asin（ωx+?）图象对称轴的公式，可得④正确；通过举出反例，得到⑤不正确．由此得到正确答案．解答： 对于①，因为sinα?cosα=sin2α，故不存在实数α，使sinα?cosα=1，所以①不正确；对于②，因为≤，而，说明不存在实数α，使，所以②不正确；对于③，因为，而cosx是偶函数，所以函数是偶函数，故③正确；对于④，当时，函数的值为=﹣1为最小值，故是函数的一条对称轴方程，④正确；对于⑤，当α=、β=时，都是第一象限的角，且α＞β，但sinα=＜=sinβ，故⑤不正确．故答案为：③④点评： 本题以命题真假的判断为载体，考查了二倍角的正弦公式、三角函数的奇偶性和图象的对称轴等知识，属于中档题．12.具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①②③中满足“倒负”变换的函数有__________参考答案：①③13.定义：关于的不等式的解集叫的邻域．若的邻域为区间，则的最小值是_______．参考答案：14.在中，角所对的边分别为a，b，c，若，，，则角的大小为

．参考答案：略15.（3分）已知cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），则cos（α+）﹣sinα的值是

．参考答案：考点： 两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题： 计算题．分析： 利用诱导公式化简已知条件可得cos（﹣α）=＜，再由α∈（0，），可得﹣＜﹣α＜﹣，故sin（﹣α）=，要求的式子即sin（﹣α）﹣sinα，利用和差化积公式求出它的值．解答： ∵cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），∴cos（α﹣）=﹣cos（α﹣+π）=﹣cos（α﹣）=，cos（α﹣）=．∴cos（﹣α）=＜．再由α∈（0，），可得﹣α＞（舍去），或﹣＜﹣α＜﹣，∴sin（﹣α）=．cos（α+）﹣sinα=sin（﹣α）﹣sinα=2cossin=sin（﹣α）=．故答案为：．点评： 本题主要考查两角和差的余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，以及诱导公式、和差化积公式的应用，求出sin（﹣α）=，是解题的难点．16.函数y=的定义域是_______________.参考答案：略17.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得各点向右平行移动个单位长度，所得图象的函数解析式为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数是定义在(－1,1)上的奇函数.（I）求的值和实数的值；（Ⅱ）判断函数在(－1,1)上的单调性，并给出证明；（Ⅲ）若且求实数b的取值范围.参考答案：解：（I）因为是奇函数。所以：，即对定义域内的都成立..所以或（舍）.（Ⅱ）；设设，则.当时，在上是增函数.（Ⅲ）由得函数是奇函数由（Ⅱ）得在上是增函数的取值范围是19.函数f（x）=loga（3﹣ax）（a＞0，a≠1）（1）当a=2时，求函数f（x）的定义域；（2）是否存在实数a，使函数f（x）在[1，2]递减，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】（1）由题意可得，3﹣2x＞0，解不等式可求函数f（x）的定义域（2）假设存在满足条件的a，由a＞0且a≠1可知函数t=3﹣ax为单调递减的函数，则由复合函数的单调性可知，y=logat在定义域上单调递增，且t=3﹣ax＞0在[1，2]上恒成立，f（1）=1，从而可求a的范围【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=log2（3﹣2x）∴3﹣2x＞0解得即函数f（x）的定义域（﹣）（2）假设存在满足条件的a，∵a＞0且a≠1，令t=3﹣ax，则t=3﹣ax为单调递减的函数由复合函数的单调性可知，y=logat在定义域上单调递增，且t=3﹣ax＞0在[1，2]上恒成立∴a＞1且由题可得f（1）=1，3﹣2a＞0，∴loga（3﹣a）=1，2a＜3∴3﹣a=a，且a故a的值不存在20.某学校高三年级学生某次身体素质体能的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50,100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级ABCD

规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示(1)求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；(2)根据频率分布直方图，求成绩的中位数(精确到0.1)；(3)在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率．参考答案：（1），；合格等级的概率为；（2）中位数为73.9；（3）【分析】(1)由题意求出样本容量，再计算x、y的值，用频率估计概率值；(2)根据频率分布直方图，计算成绩的中位数即可；(3)由茎叶图中的数据，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】(1)由题意知，样本容量，，；因为成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的概率为，即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为；(2)根据频率分布直方图，计算成绩的中位数为；(3)由茎叶图知，A等级的学生有3人，D等级的学生有人，记A等级的学生为A、B、C，D等级的学生为d、e、f、g、h，从这8人中随机抽取2人，基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28个；至少有一名是A等级的基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18个；故所求的概率为．【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础