初中数学沪科版八年级上册三角形中的边角关系命题与证明13．2命题与证明同课异构

中物理沪科版数学八年级上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.2.3三角形内角和定理的证明及推论1，2我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.

一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.情境引入思考：

除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?折叠法三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.还有其他的拼接方法吗？利用两直线平行，同旁内角互补剪拼法你能用数学的方法来证明这个结论吗？

之前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角，

现在我们通过作图来实现这种转化，这不是证明，

但是它却能给我们启发.

过点C作CE∥BA

已知：△ABC,如图.求证：∠A+∠B+∠C=180°.下面，就来证明三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.CBAED21证明：如图，延长BC到D，则∠A=∠1

∠B=∠2(两直线平行，内错角相等)∵B,C,D在同一条直线上(所作)∴∠1+∠2+∠ACB=180°

∴∠A+∠B+∠ACB=180°(两直线平行，同位角相等)

给出证明.分析：

辅助线通常画成虚线.

这里的CD，CE称为辅助线，(平角的定义)(等量代换)三角形的内角和的证明已知：△ABC,如图.求证：∠A+∠B+∠C=180°.CBA证明：过点A作DE∥BCDE则∠DAB=∠B(两直线平行,内错角相等)

∠EAC=∠C∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°

∴∠B+∠BAC+∠C=180°(平角的定义)(等量代换)三角形的内角和的证明已知：△ABC,如图.求证：∠A+∠B+∠C=180°.CBA证明：过点A作AD∥BC则∠DAB=∠B(两直线平行,内错角相等)∴∠B+∠BAC+∠C=180°D

∠DAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)(等量代换)三角形的内角和的证明已知：△ABC,如图.求证：∠A+∠B+∠C=180°.ABCDFE证明：

分别交AC，AB于点E，点F.点D是BC边上一点，过点D作DE∥AB，DF∥AC，∵DE∥AB

∴∠B=∠EDC，∠A=∠DEC

又∵

DF∥AC，∴∠C=∠FDC，∠EDF=∠DEC∴∠A=∠EDF∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°∴

∠C+∠A+∠B=180°三角形的内角和的证明

转化为一个平角或同旁内角互补等，思路总结CBAED21CBADECBADABCDFE这种转化思想是数学中的常用方法.为了证明三个角的和为180°,作辅助线归纳总结在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.

在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思考：多种方法证明的核心是什么？

借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角或同旁内角互补.三角形内角和定理的推论1、2

问题1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？∵

在Rt△ABC中∠A+∠B+∠C=180°且∠C=90°∠A+∠B=90°解：∴思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？直角三角形的两锐角互余.三角形内角和定理的推论1：ABC几何语言：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．总结归纳直角三角形的两锐角互余.三角形内角和定理的推论1：对应练习已知：如图,在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.求证：∠BAD＝∠C.证明：∵

AD⊥BC(已知)∴∠ADB＝90°

(垂直定义)∴

∠B＋∠BAD＝90°(直角三角形的两锐角互余)在Rt△ABC中∵∠BAC＝90°∴∠B＋∠C＝90°(直角三角形的两锐角互余)∴∠BAD＝∠C(同角的余角相等)(已知)三角形内角和定理的推论1、2

问题2：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？三角形内角和定理的推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.∵

在△ABC中∠A+∠B+∠C=180°且∠A+∠B=90°∠C=90°解：∴∴△ABC是直角三角形ABC几何语言：在△ABC中，

∵∠A+∠B=90°，

∴△ABC是直角三角形．有两个角互余的三角形是直角三角形.

总结归纳三角形内角和定理的推论2：对应练习1、如图，∠C=90°,∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ACBDE((12∴

△ADE是直角三角形.解：∴在Rt△ABC，∠2+∠A=90°∵∠1=∠2∴∠1+∠A=90°∵∠C=90°(直角三角形的两锐角互余)(已知)(已知)(等量代换)（有两个角互余的三角形是直角三角形）

2、如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C.求证：△ABD是直角三角形.证明：∵CE⊥AD∴∠CED=90°∴∠C+∠D=90°∵∠A=∠C∴∠A+∠D=90°∴△ABD是直角三角形

(已知)(已知