第三章扭转三

第三章扭转三第一页，共二十页，编辑于2023年，星期四§3―5等直圆杆扭转时的变形•刚度条件

上式说明：扭转角φ与Ｔ和l成正比，与GIp成反比。GIp称为扭转刚度。材料强度高（Ｇ大）、直径大，则扭转刚度越好。

二、单位长度扭转角工程上，对于扭转杆的刚度通常用相对扭转角沿杆长的变化率来度量，称为单位长度扭转角，用φ`来表示。显然有

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三、刚度条件等直圆杆在受扭转时，除需要满足强度条件外，有时还需满足刚度条件。有时扭转角过大，将会影响其正常工作，如机器的传动轴的扭转角过大会引起振动。故应用刚度条件加以限制。刚度条件通常是限制其单位长度扭转角的最大值不超过某一允许值[φ`]，即

上式为刚度条件。式中[φ`]的单位是。第三页，共二十页，编辑于2023年，星期四§3―5等直圆杆扭转时的变形•刚度条件第四页，共二十页，编辑于2023年，星期四§3―5等直圆杆扭转时的变形•刚度条件

例题3—5如下图所示的传动轴是由45号钢制成的空心圆截面轴，其内、外直径之比α=1/2。钢的许用应力[τ]为40MPa，切变模量G为80GPa。许可单位长度扭转角[φ`]为0.3。试按强度条件和刚度条件选择轴的直径。第五页，共二十页，编辑于2023年，星期四§3―5等直圆杆扭转时的变形•刚度条件解：（1）由扭转图可知Tmax=9.56kN•m。扭转截面系数和极惯性矩为

（2）按强度条件所需的外径为

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(3)按刚度条件所需的外径为

(4)空心轴外径取：D≧125.5mm，空心轴内径取：D≧62.75mm。§3―5等直圆杆扭转时的变形•刚度条件第七页，共二十页，编辑于2023年，星期四§3―6等直圆杆扭转时的应变能

下图a所示的扭转实验表明：当杆轴在线弹性范围内承受扭转时，截面B相对于截面A的相对扭转角φ与外力偶矩Me在加载过程中成正比例关系，如图b所示。第八页，共二十页，编辑于2023年，星期四§3―6等直圆杆扭转时的应变能

由功能原理：杆轴在扭转时的弹性变形过程中，积蓄在弹性体内应变能Vε在数值上等于外力所做的功W，即由上图b所示，外力所做的功为故积蓄在杆轴内有应变能为

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对于等直圆杆，由于在横截面内各点处的应力和应变都不相同，因此其应变能密度不是一个常量。

第十页，共二十页，编辑于2023年，星期四§3―6等直圆杆扭转时的应变能例题3—6

下图a为工程中常用来起缓冲、减振或控制作用的圆柱形密圈螺旋弹簧承受轴向压（拉）力作用。设弹簧的平均半径为R，簧杆的直径为d，弹簧的有效圈数（即除去两端与平面接触部分不计的圈数）为n，簧杆材料的切变模量为G。试在簧杆的斜度α小于，且簧圈的平均直径D比簧杆直径d大得多的情况下，推导弹簧的应力和变形计算公式。第十一页，共二十页，编辑于2023年，星期四§3―6等直圆杆扭转时的应变能解：（1）用截面法求簧杆截面的内力由平衡方程可得

（2）计算最大切应力簧杆横截面内的切应力是由剪力与扭矩所产生的切应力之和。因剪力所产生的切应力即，远小于扭矩所产生的切应力τmax。故近似地用最大扭转切应力来作为弹簧的最大切应力，即

第十二页，共二十页，编辑于2023年，星期四§3―6等直圆杆扭转时的应变能

（3）用能量法求变形计算公式试验表明，弹簧在弹性范围内，其伸缩量Δ与作用在弹簧上的轴向力P成正比，由此可得外力所做的功为

若只考虑簧杆扭转的作用，将弹簧看成为一根细长的等直圆杆受扭，其长度2πRn，极惯性矩Ip为簧杆横截面的极惯性矩。则其变形能为

第十三页，共二十页，编辑于2023年，星期四§3―6等直圆杆扭转时的应变能由功能原理，W=Vε，得若令式中k为弹簧的刚度系数，其单位为N/m，则弹簧的变形计算公式就是我们熟悉的形式第十四页，共二十页，编辑于2023年，星期四§3―7等直非圆杆自由扭转时

的应力和应变

在等直圆杆的扭转问题中，分析应力和应变的主要依据是平面假设：假设杆各个横截面如同刚性平面般绕杆的轴线转动。对于非等直圆杆，其横截面在扭转后不再符合平面假设。矩形截面杆，在受扭转后，事先在表面画上的直线变成了曲线。由此可知，杆横截面在变形后发生了翘曲而不再保持为平面。第十五页，共二十页，编辑于2023年，星期四§3―7非等直圆杆自由扭转时的应力和应变因此，等直圆杆在扭转时的计算公式不适用于非等直圆杆的扭转问题。这类问题只能用弹性力学方法求解。如上图所示的非等直圆杆在受扭时，其端面可以自由翘曲，称为自由扭转。这种扭转中其相邻横截面的翘曲程度完全相同，横截面上仍然只有切应力而无正应力。若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，称为约束扭转。这种扭转中因相邻横截面的翘曲程度不同而在横截面上产生附加的正应力。本节仅介绍矩形截面的等直杆在自由扭转时弹性力学解的结果。第十六页，共二十页，编辑于2023年，星期四§3―7等直非圆杆自由扭转时的应力和应变

矩形截面上切应力分布图第十七页，共二十页，编辑于2023年，星期四§3―7非等直圆杆自由扭转时的应力和应变

结论：（1）横截面上的最大切应力发生在长边中点，而短边上切应力的最大值也出现在短边中点处。（2）矩形横截面的顶点处的切应力必为零。（3）切应力的方向与扭矩T相同，并与周边相切。为了对矩形截面杆进行强度和刚度计算，有关计算公式如下：最大切应力第十八页，共二十页，编辑于2023年，星期四§3―7非等直圆杆自由扭转时的应力和应变

单位长度扭转角短边切应力最大值式中，Wt为矩形截面的扭转截面系数；It称为截面的当量极惯性矩，GIt称为矩形截面的扭转刚度。其计算公式为

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