第三章 函数逼近与计算

第三章函数逼近与计算第一页，共八十七页，编辑于2023年，星期四*2第三章函数逼近与计算数值分析（NumericalAnalysis）第二页，共八十七页，编辑于2023年，星期四一、问题的提出称为逼近的误差或余项。

如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题？§1引言用简单函数

近似地代替函数

近似代替又称为逼近，

称为被逼近函数，

两者之差

，是计算数学中最基本的概念和方法之一。称为逼近函数，函数*3第三页，共八十七页，编辑于2023年，星期四二、函数逼近问题的一般提法对于函数类中给定的函数，要求在另一类较简单且便于计算的函数类

中寻找一个函数

，使

与

之差在某种度量意义下最小。注：本章中所研究的函数类通常为区间上的连续函数，记作。函数类通常是代数多项式、分式有理函数或三角多项式。*4第四页，共八十七页，编辑于2023年，星期四区间[a,b]上的所有实连续函数组成一个空间，记作C[a,b]函数范数概念是n维欧氏空间中向量范数概念的推广，在数值分析中起着重要作用.三、常用的度量标准1.连续函数空间和函数范数第五页，共八十七页，编辑于2023年，星期四6则称是(或)上的一个向量范数(或模).如果向量(或)的某个实值函数，满足条件：(向量范数)当且仅当（正定条件）（三角不等式）第六页，共八十七页，编辑于2023年，星期四7几种常用的向量范数.1.向量的-范数(最大范数)：2.向量的1-范数：3.向量的2-范数也称为向量的欧氏范数.4.向量的-范数其中

.第七页，共八十七页，编辑于2023年，星期四8函数的范数，记为(函数范数)当且仅当（正定条件）（三角不等式）满足条件：为任意实数第八页，共八十七页，编辑于2023年，星期四几种常用的函数范数.1.函数的-范数(最大范数)

2.函数的2-范数第九页，共八十七页，编辑于2023年，星期四的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近。2.一致逼近若以函数f(x)和P(x)的最大误差作为度量误差f(x)-

P(x)

“大小”的标准，在这种意义下*10第十页，共八十七页，编辑于2023年，星期四3.平方逼近采用作为度量误差“大小”标准的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。*11第十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期四§2最佳一致逼近一、最佳一致逼近的概念设函数

是区间

对于任意，如果存在多项式

，使得不等式则称多项式

在区间

上一致逼近(或均匀逼近)于函数

。上的连续函数，给定的成立，*12存在吗?存在！定理3.1作保障！第十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期四所谓最佳一致逼近问题就是对给定区间

上的连续函数

，要求一个代数多项式

,使得

其中，

是次数不大于n的多项式集合。称为最佳一致逼近多项式*13第十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期四二、最佳一致逼近多项式的存在性【定理1】（维尔斯特拉斯（Weierstrass）定理）

若f(x)是区间[a,b]上的连续函数，则对于任意

>0，总存在多项式P(x)，使对一切a≤x≤b有*14第十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期四上的最佳一致逼近在能否在所有次数不超过n的代数多项式中找到一个是次数不大于n的多项式集合空间中的最佳一致逼近问题。

意义下:，使得其中，这就是三、*15第十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期四§3最佳一致逼近多项式一、最佳一致逼近多项式的存在性

【定理2】（Borel定理)

在

中都存在对

的最佳一致逼近多项式,记为

的n次最佳一致逼近多项式。称为简称最佳逼近多项式。,使得

成立.对任意的

*16第十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期四二、相关概念1、偏差上的偏差。则称为与在注：，集合，记作

，它有下界0。显然，若的全体组成一个*17第十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期四2、最小偏差则称

若记集合的下确界为为

在上的最小偏差。*18第十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期四3、偏差点设

若在

上有则称是的偏差点。若若则称则称为“正”偏差点。为“负”偏差点。*19偏差点总是存在的吗?第十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期四4、交错点组若在上存在使得这样的点组称为Chebyshev交错点组。*20个点第二十页，共八十七页，编辑于2023年，星期四三、上最佳一致逼近的特征【引理3.1】若是的最佳逼近多项式，则同时存在正、负偏差点。*21画图证明！第二十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期四*22第二十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期四【定理3】（Chebyshev定理）在区间至少有个轮流为“正”、“负”的偏差点。即有个点使*23是的最佳逼近多项式的充要条件是只证充分性！第二十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期四【推论1】【推论2】*24若,则在中存在惟一的最佳逼近多项式若,则其最佳逼近多项式就是一个Lagrange插值多项式。反证法！第二十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期四四、最佳一次逼近多项式1、推导过程设，且在内不变号，要求在上的最佳一次一致逼近多项式由定理3，在上恰好有3个点构成的交错且区间端点属于这个交错点组，点组，设另一个交错点为则*25第二十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期四解得即即*26第二十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期四2、几何意义*27第二十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期四？3、举例求在上的最佳一次逼近多项式。解：由可算出故解得*28第二十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期四由得于是得的最佳一次逼近多项式为故误差限为(*)在（*）式中若令，则可得一个求根的公式29第二十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期四§4最佳平方逼近一、内积空间1、权函数的定义设

(x)定义在区间[a,b]上，如果具有下列性质：(1)对任意x

[a,b]，

(x)≥0；非负函数(2)积分存在，(n=0,1,2,…)；(3)对非负的连续函数g(x)，

若

则在(a,b)上g(x)0。称满足上述条件的

(x)为[a,b]上的权函数。

第三十页，共八十七页，编辑于2023年，星期四内积：设，

(x)定义在区间[a,b]的权函数，积分*312、内积的定义和性质称为函数在[a,b]上的内积。第三十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期四内积满足下列四条公理：（1）（2）32c为常数;（3）（4）当且仅当时，满足内积定义的函数空间称为内积空间。

连续函数空间C[a,b]上定义了内积就形成了一个内积空间回忆向量内积的定义，比较向量内积和函数内积的异同！第三十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期四3、Euclid范数及其性质Euclid范数的定义设称为的Euclid范数。则称量*33第三十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期四Euclid范数性质（定理4）对于任何下列结论成立：（Cauchy-Schwarz不等式）(三角不等式)(平行四边形定律)*34①②③第三十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期四二、相关概念1、距离

线性赋范空间中两元素之间的距离为连续函数空间中，与的距离定义为因此，中两点与之间的距离即为也称为2-范数意义下的距离*35第三十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期四2、正交连续函数空间中，设则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权

(x)正交。

进一步，设在[a,b]上给定函数族，若满足条件则称函数族是[a,b]上带权

(x)的正交函数族。若*36第三十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期四特别地，当Ak1时，则称该函数族为标准正交函数族。

若上述定义中的函数族为多项式函数族，则称之为[a,b]上带权

(x)的正交多项式族。并称是上带权(x)的次正交多项式。*37【例】三角函数族1，cosx,sinx,cos2x,

sin2x,…就是区间

上的正交函数族（权）第三十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期四三、内积空间上的最佳平方逼近1．函数族的线性关系【定义】设函数在区间

上连续，如果关系式当且仅当时才成立，函数在上是线性无关的，否则称线性相关。则称*38第三十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期四

是任意实数，则并称是生成集合的一个基底。的全体是

的一个子集，记为设是上线性无关的连续函数,*39第三十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期四连续函数在上线性无关的

充分必要条件是它们的克莱姆(Gram)行列式【定理5】其中*40第四十页，共八十七页，编辑于2023年，星期四广义多项式

设函数族{，…}线性无关，则其有限项的线性组合称为广义多项式。*41第四十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期四四、函数的最佳平方逼近1.对于给定的函数要求函数使若这样的存在，中的最佳平方逼近函数。则称为在子集特别地，若是多项式，则称为在上的次最佳平方逼近多项式。*42第四十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期四求最佳平方逼近函数的问题可归结为求它的系数，使多元函数取得极小值。由于是关于的二次函数，故利用多元函数取得极值的必要条件，可得：*43第四十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期四

(k=0,1,2,…,n)得方程组：*44第四十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期四如采用函数内积记号方程组可以简写为：*45第四十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期四写成矩阵形式为法方程组！

*46第四十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期四由于0,1,…,n线性无关，故Gn

0，于是上述方程组存在唯一解。从而得到函数f(x)在中，如果存在最佳平方逼近函数，则必是*47S*(x)一定是f(x)的最佳平方逼近函数吗？为什么？平方误差为？取k=xk,(x)=1,f(x)[0,1],求f(x)在[0,1]上的最佳平方逼近多项式S*(x)第四十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期四3、举例求在中的一次最佳平方逼近多项式。这是上的最佳平方逼近问题，。解：取记因为且同样可求得*48第四十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期四所以，关于的法方程组为解得即为中对的最佳平方逼近函数。*49第四十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期四1、正交化手续

一般来说，当权函数及区间给定以后，可以由线性无关的幂函数族利用正交化方法构造出正交多项式族*50§5正交多项式第五十页，共八十七页，编辑于2023年，星期四2、正交多项式的性质(1)是最高次项系数为1的次多项式.(2)任一次多项式均可表示为的线性组合.(3)当时,且与任一次数小于的多项式正交.*51第五十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期四(4)递推性其中其中*52第五十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期四且都在区间内.(5)设是在上带权项式序列,的正交多则的个根都是单重实根,*53第五十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期四Legendre(勒让德)多项式(1)定义

多项式称为n次勒让德多项式(1814年Rodrigul（罗德利克）)。*543、常用的正交多项式区间为[-1,1],权函数时，由正交化得到的多项式称为勒让德多项式。第五十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期四*55因为是2n次多项式，求n阶导数后得：这样首项xn的系数是所以最高项系数为1的勒让德多项式是第五十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期四(2)性质性质1

正交性勒让德多项式序列是[-1,1]上带权的正交多项式序列。即：*56第五十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期四

性质2奇偶性当n为偶数时，为偶函数；当n为奇数时，

为奇函数。*57性质3在区间(-1,1)内有n个不同的实零点第五十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期四性质4递推关系相邻的三个勒让德多项式具有如下递推关系式：*58根据递推公式，可依次计算P2(x),P3(x),…第五十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期四性质5在所有首项系数为1的

次多项式中，多项式在上与零的平方误差最小。勒让德证明：设是任意一个最高项系数为1的次多项式，它可表示为于是当且仅当时等号才成立，即当时平方误差最小。*59第五十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期四第一类切比雪夫多项式(1)定义*60区间为[-1,1],权函数时，由

正交化得到的多项式称为切比雪夫多项式（第一类）。令，则故Tn(x)

为关于的次代数多项式。第六十页，共八十七页，编辑于2023年，星期四(2)性质性质1正交性切比雪夫多项式序列{Tn(x)}是在区间[-1,1]上带权

的正交多项式序列。且*61第六十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期四

性质2递推关系相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式：由此可得：Tn(x)的最高项系数是2n-1,且第六十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期四

性质3

在区间[-1,1]上有

个不同的零点*63

性质4

只含x的偶次幂，只含x的齐奇次幂第六十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期四性质5多项式在上与零的偏差最小。*64定理3.7在区间上所有首项系数为1的

次多项式中，与零的偏差最小，为。分析与最佳一致逼近多项式的关系！

切比雪夫定理【例】利用定理3.7求在[-1,1]上的最佳二次逼近多项式（自己看！）第六十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期四其他常用的正交多项式(1)第二类Chebyshev(切比雪夫)多项式第二类切比雪夫多项式的表达式为：*65区间为[-1,1],权函数时，由

正交化得到的多项式称为切比雪夫多项式（第二类）。第六十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期四②相邻的三项具有递推关系式：第二类切比雪夫多项式的性质：①是区间[-1,1]上带权的正交多项式序列。*66第六十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期四(2)拉盖尔(Laguerre)多项式*67拉盖尔多项式的表达式为：区间为,权函数时，由

正交化得到的多项式称为拉盖尔多项式。第六十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期四①是在区间[0,+∞)上带权

的正交多项式序列。

②相邻的三项具有递推关系式：

拉盖尔多项式的性质：*68第六十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期四(3)埃尔米特(Hermite)多项式为埃尔米特多项式。*69区间为,权函数时，由

正交化得到的多项式称为埃尔米特多项式。埃尔米特多项式的表达式为：第六十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期四的正交多项式序列。①是区间(-,+)上带权②相邻的三项具有递推关系式：埃尔米特多项式的性质：*70第七十页，共八十七页，编辑于2023年，星期四§6函数按正交多项式展开设为，其中上带权的正交多项式，给定若为在上的次最佳平方逼近多项式，则由正交多项式的性质得：即*71第七十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期四若f(x)在C[a,b]上按正交多项式展开，则*72上式右端的级数称为广义Fourier级数，系数广义Fourier系数取函数按Legendre多项式展开的最佳平方逼近多项式，则其中平方误差为：第七十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期四【例】求在上的三次最佳平方逼近多项式。解：先计算即*73又：第七十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期四所以得所以有均方误差为最大误差为*74第七十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期四*75实验一

实验名称：插值算法编程与计算实验目的：学会Lagrange插值，Newton插值，Hermite插值和分段插值

讨论插值的龙格现象，掌握分段插值的方法学会Matlab提供的插值函数第七十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期四*76实验任务：

按照题目要求完成实验内容写出相应的MATLAB程序给出实验结果对实验结果进行分析和讨论写出相应的实验报告实验步骤：编写Lagrange插值函数并调用函数进行计算，与教材计算结果进行比较

分别用Lagrange插值，分段线性插值和样条插值考察龙格现象，并绘图说明第七十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期四§7曲线拟合的最小二乘法1.问题的提出已知测量数据：要求简单函数，使得总体上尽可能小。称为“残差”77你有办法吗？第七十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期四注：使尽可能小的度量准则:常见做法：使