天津蓟县宋家营中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析

天津蓟县宋家营中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我国古代著名的“物不知数”问题：“今有物其数大于八，二二数之剩一，三三数之剩一，五五数之剩二，问物几何？”即“已知大于八的数，被二除余一，被三除余一，被五除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计了如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A由题意，判断框内应该判断a的值是否同时能被二除余一，被三除余一，

即判断是否为整数．

故选：A．

2.复数=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i参考答案：C【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2用﹣1代替即可．【解答】解：=﹣2+i故选C3.已知集合A={，B={0,2,6}，则A∩B=A.{2,6} B.{3,6} C.{0,2,6} D.{0,3,6}参考答案：A由题意得，所以。选A。

4.设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是

(A)2

(B)

(C)

(D)

参考答案：【知识点】分段函数的应用．B9B

解析：根据的函数，我们易得出其值域为：R，又∵时，值域为；时，其值域为R，∴可以看出的值域为上有两个解，要想，在上只有唯一的满足，必有（因为），所以：＞2，解得：x＞4，当x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，∴，，且a＞0，所以有：（2at﹣1）（at+1）＞0，解得：或者（舍去），∴，∴，故选：B【思路点拨】此题的突破口在于如何才会存在唯一的x满足条件，结合的值域范围或者图象，易知只有在的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当＞2时，才会存在一一对应．5.已知函数是定义在R上的增函数,函数的图像关于对称.若任意的,不等式恒成立,则当时,的取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：B略6.已知数列的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2

解析：若an，an+1，an+2（n∈N+）成等比数列，则an+12=anan+2成立，

当an=an+1=an+2=0时，满足an+12=anan+2成立，但an，an+1，an+2（n∈N+）成等比数列不成立，‘

故an，an+1，an+2（n∈N+）成等比数列是“an+12=anan+2”的充分不必要条件，故选：A【思路点拨】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．7.在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若．则角C等于（

）A． B． C． D．参考答案：A8.在四面体中，底面，，，点为的重心，若四面体的外接球的表面积为，则（

）A．

B．2

C．

D．参考答案：B9.直线（t为参数）被曲线所截的弦长为（）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略10.要得到函数的图象，可以把函数的图象（

）A.

向左平移个单位

B．向右平移个单位C.

向左平移个单位

D．向右平移个单位参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围是________．参考答案：(1,3)【分析】函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：由图象可知：实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.12.（5分）（2015?庆阳模拟）如图所示的是正方形的顶点A为圆心，边长为半径的画弧形成的图象，现向正方形内投掷一颗豆子（假设豆子不落在线上），则恰好落在阴影部分的概率为．参考答案：1﹣【考点】：几何概型．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：先令正方形的边长为a，则S正方形=a2，则扇形所在圆的半径也为a，则S扇形=a2，从而结合几何概型的计算公式即可求得恰好落在阴影部分的概率．解：令正方形的边长为a，则S正方形=a2，则扇形所在圆的半径也为a，则S扇形=a2，则豆子恰好落在阴影部分的概率为P=1﹣．故答案为：1﹣．【点评】：本小题主要考查扇形面积公式、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．关键是要求出阴影部分的面积及正方形的面积．属于基础题．13.=

。参考答案：6略14.若（mx+y）6展开式中x3y3的系数为﹣160，则m=．参考答案：﹣2【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得m3C63=﹣160，解得即可．【解答】解：∵（mx+y）6展开式中x3y3的系数为﹣160，∴m3C63=﹣160，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解展开式的指定项的系数，属于公式的基本应用．15.已知函数，对于任意且，均存在唯一的实数t，使得，且，若关于x的方程有4个不相等的实数根，则a的取值范围是

．参考答案：(－6,－3).16.曲线y=lnx在点（e，1）处的切线方程为．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】由y=lnx，知y′=，故曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的斜率k=，由此能求出曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程．【解答】解：∵y=lnx，∴y′=，∴曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的斜率k=，曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程为：y﹣1=（x﹣e），整理，得．故答案为：．【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．17.下列四个命题 ①“函数是奇函数”的充要条件是 ②“若”的否命题； ③在△ABC中，“A>30°”是“sinA”的充分不必要条件； ④“函数为奇函数”的充要条件是“” 其中真命题的序号是______________．（把真命题的序号都填上）参考答案：②略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

已知函数。（1）设a=1，讨论的单调性；（2）若对任意，，求实数a的取值范围。参考答案：（Ⅰ），，定义域为．．

……2分设，则．因为，，所以在上是减函数，又，于是，，；，，．所以的增区间为，减区间为．

……6分（Ⅱ）由已知，因为，所以．（1）当时，．不合题意．

……8分（2）当时，，由，可得．设，则，．．设，方程的判别式．若，，，，在上是增函数，又，所以，．

……10分若，，，，所以存在，使得，对任意，，，在上是减函数，又，所以，．不合题意．综上，实数的取值范围是．

……12分

19.某公司采用招考的方式引进人才，规定考生必须在B、C、D三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用．已知考生在每个测试点的测试结果只有合格与不合格两种，且在每个测试点的测试结果互不影响．若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点B、C、D测试合格的概率分别为，，，小王在上述三个测试点测试合格的概率都是．（Ⅰ）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由；（Ⅱ）假设小李选择测试点B、C进行测试，小王选择测试点B、D进行测试，记ξ为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设考生小李在B，C，D各测试点测试合格记为事件B、C、D，且各事件相互独立，已知．求出小李在（B、C），（B、D），（C、D）测试点测试参加面试的概率，由概率的大小得答案；（Ⅱ）记小李在测试点B、C合格为事件B、C，小王在测试点B、D合格为事件B1、D1，由题意得到，求出ξ的所有取值，然后利用相互独立事件和定理重复试验求得概率，列出分布列，然后由期望公式求期望．解答：解：（Ⅰ）设考生小李在B，C，D各测试点测试合格记为事件B、C、D，且各事件相互独立，由题意，．若选择在B、C测试点测试，则参加面试的概率，若选择在B、D测试点测试，则参加面试的概率，若选择在C、D测试点测试，则参加面试的概率．∵P2＞P1＞P3，∴小李在B、D测试点测试，参加面试的可能性大．（Ⅱ）记小李在测试点B、C合格为事件B、C，小王在测试点B、D合格为事件B1、D1，则，且ξ的所有取值为0，1，2，3，4．P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）=．ξ的分布列为：

ξ01234

P∴数学期望Eξ=．点评：本题考查了离散型随机变量的期望的应用，离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值，考查了相互独立事件和独立重复试验，是中档题．20.（13分）已知是公差不为零的等差数列,成等比数列.(1)求数列的通项;(2)求数列的前n项和。参考答案：（1）an＝n.

(2)Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.略21.北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能AlphaGo与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，AlphaGo获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在1：4．人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”．

非围棋迷围棋迷合计男301545女451055合计7525100（1）根据已知条件完成如图列联表，并据此资料判断你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记所抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）．附：，其中n=a+b+c+d．P（x2≥k0）0.050.010k03.746.63参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图求在抽取的100人中“围棋迷”有25人，填写2×2列联表，计算观测值，比较临界值即可得出结论；（2）由频率分布直方图计算频率，将频率视为概率，得出X～B（3，），计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望与方差．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而2×2列联表如下：

非围棋迷围棋迷合计男301545女451055合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得；因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关；（2）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为，由题意