高中数学北师大版角恒等变换2两角和与差的三角函数公式积化和差与和差化积公式 省赛获奖

2.4积化和差与和差化积公式课标阐释

1.熟记积化和差与和差化积公式.(数学抽象)2.能运用积化和差与和差化积公式求解数学问题.(数学运算)思维脉络

激趣诱思知识点拨和差化积公式最早出现在法国数学家韦达(1540~1603)写的三角学著作《标准数学》中,他还发现了我们熟知的韦达定理.韦达不仅是代数学家,而且也是三角学家,更难得的是他能用三角知识求解代数方程.同学们,我们要向韦达学习,好好学习三角函数知识,理解它们的逻辑脉络,达到综合贯通的目的.激趣诱思知识点拨一、三角函数的积化和差公式由两角和与差的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,两式相加可得cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ,所以cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)].两式相减可得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ,所以sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].激趣诱思知识点拨同理由两角和与差的正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,名师点析积化和差公式可以将两个三角函数的积化为另两个三角函数的和或差乘常数的形式.激趣诱思知识点拨微思考积化和差与和差化积公式中的α,β的取值范围是什么?提示α∈R,β∈R.微练习把2sin10°cos8°化成和或差的形式为(

)A.sin18°-sin2°B.sin18°+cos2°C.sin18°+sin2°D.cos18°+cos2°解析2sin

10°cos

8°=sin(10°+8°)+sin(10°-8°)=sin

18°+sin

2°.答案C激趣诱思知识点拨二、三角函数的和差化积公式所以由积化和差公式得出的下面4个式子sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ;sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ;cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ;cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ,激趣诱思知识点拨微练习把sin15°+sin5°化成积的形式为(

)A.sin5°sin15°B.2cos10°cos5°C.2sin10°sin5°D.2sin10°cos5°=2sin

10°cos

5°.答案D探究一探究二当堂检测积化和差公式的运用例1把下列各式化成和或差的形式.(1)2sin64°cos10°;(2)sin80°cos132°;探究一探究二当堂检测反思感悟

积化和差公式可以把某些三角函数的积化为和或差的形式.需要注意三角函数名称的变化规律.探究一探究二当堂检测答案D探究一探究二当堂检测和差化积公式的运用例2把下列各式化成积的形式.(1)cos3x+cosx;(2)cos40°-cos52°;(3)sin15°+sin35°;(4)sin6x-sin2x.探究一探究二当堂检测探究一探究二当堂检测变式训练2把下列各式化成积的形式.(1)cos8+cos2;(2)cos100°-cos20°;(3)sin40°+sin150°;(4)sin(x+2)-sinx.探究一探究二当堂检测探究一探究二当堂检测答案B探究一探究二当堂检测2.2cos(α-45°)sin(α+45°)=(

)A.1-cosα B.1+cosαC.1-sin2α D.1+sin2α解析2cos(α-45°)sin(α+45°)=sin

[(α-45°)+(