高中数学北师大版(2022)必修立体几何初步4平行关系直线与平面平行直线与平面平行

4.1直线与平面平行课标阐释

1.理解直线与平面平行的性质定理的含义,并能用图形语言、文字语言、符号语言进行描述.(几何直观、数学抽象)2.理解直线与平面平行的判定定理的含义,并能用图形语言、文字语言、符号语言进行描述.(几何直观、数学抽象)3.能运用直线与平面平行的性质定理和直线与平面平行的判定定理证明一些空间中相关的平行问题.(逻辑推理)思维脉络

激趣诱思知识点拨懂得欣赏门之景的人,是胸中有丘壑、富有艺术情趣的人.善于把握自己心灵之门又能叩开他人心门的人是睿智的,其生命是丰富多彩的.一生始终为自己寻找一道道门,努力越过一道道槛的人,是真正热爱生活的人.同学们,请你打开你的智慧之门思考一道与门有关的话题:观察开门与关门时,门的两边是什么位置关系?当门绕着一边转动时,门转动的一边与门框所在的平面是什么位置关系?为什么?激趣诱思知识点拨一、直线与平面平行的性质定理

文字语言一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行符号语言l∥α,l⊂β,α∩β=a⇒l∥a图形语言

激趣诱思知识点拨名师点析正确理解线面平行的性质定理(1)直线与平面平行的性质定理中有三个条件:①直线l和平面α平行,即l∥α;②平面α,β相交,即α∩β=a;③直线l在平面β内,即l⊂β.这三个条件缺一不可.(2)线面平行的性质定理可以作为证明线线平行的一种方法.(3)在应用线面平行的性质定理时,往往会出现这样的易错点:“a∥β,b⊂β,所以a∥b”,所以在应用时要谨慎.(4)线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用:先通过线线平行找出线面平行,再通过线面平行推出线线平行.其关系可用以下关系链表示:激趣诱思知识点拨微判断判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)若直线a与平面α不平行,则a与α相交.(

)(2)若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a∥b.(

)(3)若直线l不平行于平面α,则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.(

)答案(1)×

(2)×

(3)×激趣诱思知识点拨微练习如图所示,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则(

)A.MN∥PDB.MN∥PAC.MN∥ADD.以上均有可能解析由于MN∥平面PAD,而平面PAC经过直线MN且与平面PAD相交于直线PA,由线面平行的性质定理得MN∥PA.故选B.答案B激趣诱思知识点拨二、直线与平面平行的判定定理

文字语言如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行,那么该直线与此平面平行符号语言⇒l∥α图形语言

激趣诱思知识点拨名师点析1.线面平行的判定定理的条件可概括为“面外一条直线,面内一条直线,两直线平行”.该定理的作用是判定或证明直线与平面平行.2.线面平行的判定定理要注意和线面平行的定义区分,定义是从有无公共点的角度描述的,而判定定理是借助线线平行刻画线面平行,将原问题进行了降维处理,两者都能进行线面平行的证明,但大多条件下用判定定理进行线面平行的证明.微思考如果直线a与平面α内的一条直线b平行,直线a与平面α一定平行吗?提示不一定,直线a可能在平面α内.激趣诱思知识点拨微判断判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)若直线l与平面α内的无数条直线不平行,则直线与平面α不平行.(

)(2)若直线l与平面α内的无数条直线平行,则直线与平面α平行.(

)答案(1)×

(2)×激趣诱思知识点拨微练习能保证直线a与平面α平行的条件是(

)A.b⊂α,a∥bB.b⊂α,c∥α,a∥b,a∥cC.b⊂α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BDD.a⊄α,b⊂α,a∥b答案D探究一探究二探究三当堂检测直线与平面平行的性质及其应用例1如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.证明因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB⊂平面ABC,所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理,可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟

(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤(2)运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究若本例中添加条件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四边形MNPQ的面积.解由例1知,四边形MNPQ是平行四边形,因为AB⊥CD,所以PQ⊥QM,所以四边形MNPQ是矩形.因为BP∶PD=1∶1,所以PQ=5,QM=4,所以四边形MNPQ的面积为5×4=20.探究一探究二探究三当堂检测直线与平面平行的判定例2(1)如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α的位置关系是(

)A.相交 B.b∥αC.b⊂α D.b∥α或b⊂α(2)如图所示,已知直棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,F为棱AA1的中点,M为线段BD1的中点,求证:MF∥平面ABCD.探究一探究二探究三当堂检测(1)解析由a∥b且a∥α,知b∥α或b⊂α.答案D(2)证明(证法一)连接AC,BD交于点O,再连接OM,如图所示,则OM∥D1D,且OM=D1D.因为AF=A1A,AA1∥DD1,且AA1=DD1,所以OM∥AF,且OM=AF,所以四边形MOAF是平行四边形,所以MF∥OA.又OA⊂平面ABCD,MF⊄平面ABCD,所以MF∥平面ABCD.探究一探究二探究三当堂检测(证法二)如图所示,连接D1F并延长交DA的延长线于点E,连接BE,在△D1DE中,因为AF∥DD1,且AF=DD1,所以F是D1E的中点,所以FM是△BED1的中位线,所以FM∥BE.因为BE⊂平面ABCD,MF⊄平面ABCD,所以MF∥平面ABCD.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟

1.证明线面平行的关键是证明线线平行,通常利用平行四边形、中位线、平行公理等来证明,辅助线要根据题中所给点的位置关系来确定.2.直线与平面平行的判定定理的应用步骤其中,在平面α内的直线是关键,它要么是已经存在,需要被发现或找到,要么是在图形中还未出现,需要作出.探究一探究二探究三当堂检测变式训练(2020山东学业考试)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AB,PC中点,求证:EF∥面PAD.探究一探究二探究三当堂检测证明取PD的中点G,连接FG,AG.因为PF=CF,PG=DG,所以FG∥CD,且FG=CD.又因为四边形ABCD是平行四边形,且E是AB的中点.所以AE∥CD,且AE=CD.所以FG∥AE,且FG=AE,所以四边形EFGA是平行四边形,所以EF∥AG.又因为EF⊄平面PAD,AG⊂平面PAD,所以EF∥平面PAD.探究一探究二探究三当堂检测线面平行性质定理与判定定理的综合应用例3求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么该直线与相交平面的交线平行.解已知:a,l是直线,α,β是平面.a∥α,a∥β,且α∩β=l.求证:a∥l.证明:如图,在平面α内任取一点A,且使A∉l.因为a∥α,所以A∉a.故点A和直线a确定一个平面γ,探究一探究二探究三当堂检测设γ∩α=m.同理,在平面β内任取一点B,且使B∉l,则点B和直线a确定平面δ,设δ∩β=n.因为a∥α,a⊂γ,γ∩α=m,所以a∥m.同理a∥n,则m∥n.又m⊄β,n⊂β,所以m∥β.因为m⊂α,α∩β=l,所以m∥l.又a∥m,所以a∥l.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟

利用线面平行的判定和性质定理,可以完成线线平行与线面平行的相互转化.转化思想是一种重要数学思想.该转化过程可概括为:探究一探究二探究三当堂检测延伸探究若本例中条件改为“α∩β=l,γ∩β=m,γ∩α=n,且l∥m”,试判断直线l,m,n的位置关系,并说明你的理由.解三条直线l,m,n相互平行,证明如下.如图,因为l∥m,m⊂γ,l⊄γ,所以l∥γ.又l⊂α,α∩γ=n,所以l∥n.又l∥m,所以m∥n,即直线l,m,n相互平行.探究一探究二探究三当堂检测1.平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于点D,E,且AD∶DB=AE∶EC,如图所示,则BC与α的位置关系是(

)A.平行 B.相交C.异面 D.BC⊂α解析在△ABC中,因为AD∶DB=AE∶EC,所以BC∥DE.因为BC⊄α,DE⊂α,所以BC∥α.答案A探究一探究二探究三当堂检测2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC平行的平面是

;与BC1平行的平面是

;与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是

.

解析观察图形,根据判定定理可知,与BC平行的平面是平面A1B1C1D1与平面ADD1A1;与BC1平行的平面是平面ADD1A1.答案平面A1B1C1D1与平面ADD1A1

平面ADD1A1

DC探究一探究二探究三当堂检测3.如图所示,在空间四边形ABCD中,