高中数学北师大版选择性数列3等比数列等比数列等比数列的概念及通项公式(44张)

数学北师大版第一章数列§3等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案世界杂交水稻之父———袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代时大约可以得到这个新品种的种子多少粒？从1979年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩，增产稻谷3500亿公斤．年增稻谷可养活6000万人口．西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻”，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝．1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第____________项起，每一项与它的前一项的比都等于____________常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比．公比通常用字母____________表示____________.2．等比数列的通项公式：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则通项公式是：an＝________________________.2

同一个q

(q≠0)

a1qn－1(a1≠0，q≠0)等比

G2＝ab

指数

5．等比数列的增减性(1)当____________或0<q<1，a1<0时，等比数列{an}是递增数列．(2)当q>1，a1<0或____________，a1>0时，等比数列{an}是递减数列．(3)当____________时，等比数列{an}是常数列．(4)当____________时，等比数列{an}是摆动数列．q>1，a1>00<q<1q＝1q<01．下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b2＝ac，则a，b，c成等比数列；③2b＝a＋c，则a，b，c成等差数列；④任意两项都有等比中项．正确的有(

)A．0个 B．1个C．2个 D．3个[解析]

公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确，②中只有a，b，c都不为0才正确，④也需要看首项是正还是负，∴只有③正确．B2．(2019·全国卷Ⅲ理，5)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(

)A．16 B．8C．4

D．2CD4．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝____________.－2n或(－2)n

±1互动探究学案命题方向1

⇨等比数列的通项公式及应用

在等比数列{an}中，(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q；(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.例题1[分析]

『规律总结』等比数列的通项公式an＝a1·qn－1中有四个量a1，q，n，an，一般已知其中的三个可求得第四个，我们将这类问题归结为公式的正用、逆用、变形使用问题．当然对于等比数列来说，可能有时计算起来方法不当，会非常烦琐，所以方法的选取非常重要．一般来说，涉及列出方程组的问题，大多采用两式相比，消掉首项a1.D命题方向2

⇨等比数列的判定例题2〔跟踪练习2〕如果数列{an}的前n项和Sn满足对任意的n∈N＋，都有Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．命题方向3

⇨等比中项的应用

等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．例题3〔跟踪练习3〕若a,2a＋2,3a＋3成等比数列，求实数a的值．[解析]

因为a,2a＋2,3a＋3成等比数列，所以(2a＋2)2＝a(3a＋3)．解得a＝－1或a＝－4.因为当a＝－1时，2a＋2,3a＋3均为0，故应舍去．故a的值为－4.命题方向4

⇨等比数列的应用题

某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值．(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？[分析]

根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决．例题4[解析]

(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.∴第n年车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元．(2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×(0.9)5－1＝8.857.∴用满4年时卖掉时，他大概能得8.857万元．『规律总结』常见等比数列应用题模型的求解方法(1)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值y＝N(1＋p)n.(2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋r)n.(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋nr)．〔跟踪练习4〕容积为aL(a>1)的容器盛满酒精后倒出1L，然后加满水，再倒出1L混合溶液后又用水加满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于10%?命题方向5

⇨构造等比数列的技巧例题5〔跟踪练习5〕在数列{