高中数学苏教版1相似三角形的进一步认识平行线分线段成比例定理【区一等奖】

选修4－1几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识理解相似三角形的判定和性质定理/了解直角三角形的射影定理【命题预测】 利用三角形的定义和性质、平行切割定理、射影定理证明三角形的相似或求线段的长度、角的度数及线段的比．【应试对策】1．比例线段的学习，需按由特殊到一般进行合情推理．平行线等分线段时，比值为1，从这一特殊现象中，得到当比值不为1时的一般的结论．平行线分线段的定理和推论，我们可以由平面推广到空间，将平行线改为平行平面，也可以探究相应的命题是否成立．2．相似三角形的判断要考虑六个元素，即三组对应角是否相等，三组对应边是否成比例，从而发现出一些判断方法，在高中阶段要掌握其定理的严格证明．同时，相似是全等的一般化，可以结合三角形的全等学习相似问题．三角形相似的特殊情形是对直角三角形相似的研究．3．三角形相似的几个判定定理可简述为：角角、边角边、边边边．可对比全等，由全等的判定与性质等结论，猜想相似的判定与性质，并严格证明其猜想，结合图形，写出数学式，即把图形语言、符号语言、文字语言三者紧密结合．【知识拓展】证相似三角形的思路证两个三角形相似，在已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找等角的两边对应成比例．1．平行截割定理

(1)平行线等分线段定理及其推论 ①定理：如果一组

在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等． ②推论：经过梯形一腰的中点而

于底边的直线平分另一腰．

(2)平行截割定理及其推论 ①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段

． ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边

．平行线平行成比例成比例(3)三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的

。(4)梯形的中位线定理梯形的中位线平行于

，并且等于

。比两底两底和的一半2．相似三角形

(1)相似三角形的判定 ①判定定理

a．

对应相等的两个三角形相似．

b．两边

且夹角相等的两个三角形相似．

c．三边

的两个三角形相似． ②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与

相似． ③直角三角形相似的特殊判定 斜边与一条

对应成比例的两个直角三角形相似．两角对应成比例对应成比例原三角形直角边(2)相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于

，面积比等于相似比的平方．(3)直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上

与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上

的

．相似比射影射影乘积1．l1∥l2∥l3，BC＝3，＝2，则AB＝________.

解析：∵l1∥l2∥l3，∴，即＝2，解得AB＝6.

答案：62．已知，如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，AD∶AB＝1∶3.若DE＝2，则BC＝________.

解析：∵DE∥BC，∴，即，解得BC＝6.

答案：63．如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，且BC＝5，CD＝3，则AD________.

解析：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∴由勾股定理得BD＝＝4， 由射影定理得BC2＝BD·BA，即52＝4×BA. ∴BA＝，因此AD＝AB－DB＝.

答案：4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，那么与△ABC相似的三角形的个数为________． 解析：与△ABC相似的三角形有△DBE，△CBD，△CDE，△ACD，共4个． 答案：45．(江苏南京)已知如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，BC2＝BD·AB，则∠ACB＝________.

解析：在△ABC与△CBD中，由BC2＝BD·AB，得，且∠B＝∠B，所以△ABC∽△CBD.则∠ACB＝∠CDB＝90°.

答案：90°【例1】已知，中，DE＝BF，求证：.

思路点拨：由于条件中有平行线，考虑平行截割定理及推论，利用相等线段和等比性质，证明线段成比例． 证明：∵ABCD为平行四边形，∴FD∥BC，BE∥DQ，一个问题中如果出现两条或多条直线互相平行时，常考虑平行线截割定理．即，即，又∵DE＝BF，

▱ABCD变式1：在△ABC中，D在BC上，且∠BAD＝∠DAC，AB＝2，AC＝3，则BD∶DC＝________.

解析：BD∶DC＝AB∶AC＝2∶3.

答案：2∶3(1)定义法：就是对应边成比例，对应角相等．(2)最常用的是判定定理1、2、3.应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似．(3)对于直角三角形，除以上方法外，还有其特殊的方法：两直角边对应成比例，两直角三角形相似；一条直角边和斜边对应成比例，两直角三角形相似；斜边上的高分成的两直角三角形与原三角形相似．【例2】已知：如图所示，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP.

思路点拨：由已知∠D＝∠C＝90°，很难找出第二个角对应相等，根据条件应再寻找对应线段的比相等，从而问题容易解决． 证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，

又∵BC＝2DQ，

在△ADQ和△QCP中，

∠C＝∠D＝90°，∴△ADQ∽△QCP.变式2：如图，已知，AD、CE是△ABC的两条高，H是AD与CE的交点， 求证△CDH∽△ADB.

证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BAD＝∠BCE，又∠B＝∠B， ∴△CDH∽△ADB.(1)相似三角形的对应边成比例，对应角相等．(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长比都等于相似比，而面积比等于相似比的平方．(3)相似三角形外接圆的直径、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．利用这些关系可以进行各种证明和求值．

【例3】已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC， 点D是垂足． 求证：BC2＝2CD·AC.

思路点拨：(1)等腰三角形中基本辅助线为底边上的高．

(2)因无法联系射影定理和平行截割定理，故考虑运用相似三角形． 证明：过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴CE＝BE＝

BC，由BD⊥AC，AE⊥BC，得∠AEC＝∠BDC＝90°，又∵∠C＝∠C，∴△AEC∽△BDC. .即BC2＝2CD·AC.变式3：(江苏省高考名校联考信息优化卷)如图所示，在正方形ABCD中，O是AC与BD的交点，∠DAC的平分线AP交CD于点P，∠BDC的平分线DQ交AC于点Q.

求证：

证明：在△BQC和△DQC中，BC＝DC，CQ＝CQ，∠BCQ＝∠DCQ，所以△BQC≌△DQC，即BQ＝DQ.因为AP为∠DAC的平分线，DQ是∠BDC的平分线，所以∠QDC＝∠PAC，又∠DCQ＝∠ACP，所以△QDC∽△PAC，即，又AC＝BD，BQ＝DQ，所以

.1．在计算与证明过程中，可以使用如下定理作为推理的依据：

(1)平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．

(2)三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．

(3)经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰．

(4)梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．

(5)若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行．

(6)斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．【规律方法总结】

2．在计算与证明过程中，要重视辅助线的添加与面积法的应用.【例4】(2009·江苏卷)如图所示，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.

分析：根据两个三角形全等可以知道∠ACB＝∠ADB，故可得A，B，C，D四点共圆，要证明AB和CD平行就要证明这两条直线和第三条直线相交时的同位角或内错角相等，很显然由已知的两三角形全等可得∠DBA＝∠CAB，再由A，B，C，D四点共圆可得

所对的圆周角∠CAB＝∠CDB，即得∠DBA＝∠CDB，问题就解决了．【高考真题】规范解答：由△ABC≌△BAD，得∠ACB＝∠BDA，故A，B，C，D四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB.再由△ABC≌△BAD，得∠CAB＝∠DBA，因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.【命题探究】以考生非常熟悉的一个平面图形，设计为考查三角形全等的性质、圆内接四边形的判断与性质、两直线平行的判断等基础知识，考查逻辑推理论证能力，是一道不可多得的“小巧灵活”的试题．【知识链接】证明四点共圆常用的方法一是利用圆内接四边形的判定定理，去证明四点组成的四边形的对角互补；二是证明四点到某一点的距离都相等．【全解密】【技巧点拨】通过四点共圆就可以在圆上使用圆周角定理，实现角的相等的转化，把分散的条件集中起来，这是进行几何推理证明的一个重要技巧．【误点警示】解本题可能出现的问题是：逻辑思维混乱，不能根据已知条件寻找实现问题转化的突破点，导致不能解答本题．几何证明是逻辑推理，每一步推理的条件都要充分，即必须有充足的理由才能得到推理的结论，一定要注意推理的严谨性.

如图，已知▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E，F，证明：AF·AD＝AG·BF.分析：要证明等式AF·AD＝AG·BF，可先转化为，显然，AF，BF两线段是△