三角形的中位线

23.4中位线华东师大版九年级数学上册学习目标：1.经历三角形中位线的性质定理形成过程.2.掌握三角形中位线的性质定理，并能利用它解决简单的问题.3.通过命题的教学了解常用的辅助线的作法，并能灵活运用它们解题，进一步训练说理的能力.学习重点：三角形中位线的性质定理.学习难点：三角形中位线的性质定理的应用.在23.3节中，我们曾得到如下结论：如图所示，在△ABC

中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC.新课导入ABCED在推理过程中，我们由DE∥BC推得

那么当点D

是AB

的中点时，点E

也是AC

的中点.ABCED现在换一个角度考虑，如果已知点D、E

分别是AB

与AC

的中点，那么是否可以推出DE∥BC？DE

与BC

之间又存在怎样的数量关系呢？ABCED推进新课如图，在△ABC

中，点D、E

分别是AB

与AC

的中点.根据画出的图形，可以猜想：猜想ABCEDDE∥BC

，且在△ABC

中，∵点D、E

分别是AB

与AC

的中点，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠ABC，∴DE∥BC

，且证明ABCEDABCEDFABCEDMN要证DE∥BC，可延长DE

到F，使EF=DE，于是本题就转化为证明DF=BC，DE∥BC，故只要证明四边形BCFD

为平行四边形.思考：本题还有其他的解法吗？我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.概括求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.已知：如图，在△ABC

中，AD=DB，BE=EC，AF=FC.求证：AE、DF

互相平分.例1证明连结DE、EF.∵AD=DB，BE=EC，∴DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）.同理可得EF∥BA.∴四边形ADEF

是平行四边形.∴AE、DF

互相平分.如图，在△ABC

中，D、E

分别是边BC、AB

的中点，AD、CE

相交于点G.求证：例2证明连结ED.∵D、E分别是边BC、AB

的中点，∴DE∥AC，（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），∴△ACG∽△DEG，拓展如果在例2的图中取AC

的中点F，假设BF

与AD

相交于点G′，如图，那么我们同理可得即两图中的G

与G′是重合的，由此我们可以得出什么结论？于是，我们有以下结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的.随堂演练1.如图，在□ABCD中，有E、F

分别是AD、BC上的点，且DE=CF，BE

和AF

的交点为M，CE

和DF

的交点为N.求证：MN∥AD，解：连结EF，证四边形ABFE

和四边形DCFE

均为平行四边形，得FM=AM，FN=DN.∴MN∥AD，2.如图，在四边形ABCD

中，对角线AC、BD交于点O，E、F

分别是AB、CD

的中点，且AC=BD.求证：OM=ON.解：取BC的中点G，连接EG、FG，∵BG=CG，BE=AE，

EG∥AC∴∠ONM=∠GEF，同理

∠OMN=∠GFE，∵AC=BD，∴GE=GF，∴∠GEF=∠GFE，∴∠ONM=∠OMN，∴OM=ON.课堂小结1.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.2.三角形中位线定理的应用.3.三角形重心的性质.课后作业1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.