与圆有关的位置关系（2022中考复习）

第24讲与圆有关的位置关系

------中考复习浏阳市金刚中学

吴文明1．(2018·长沙)如图，点A，B，D在☉O上，∠A＝20°，BC是☉O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB＝______度．小热身502.如图，AB是☉O的直径，PA切☉O于点A，PO交☉O于点C；连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于() A．20° B．25° C．30° D．40°B小热身3．(2020·湘西)如图，PA、PB为☉O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交☉O于点D.下列结论不一定成立的是() A．△BPA为等腰三角形

B．AB与PD相互垂直平分

C．点A、B都在以PO为直径的圆上

D．PC为△BPA的边AB上的中线B小热身4．(2020·永州)如图，已知PA，PB是☉O的两条切线，A，B为切点，线段OP交☉O于点M.给出下列四种说法：①PA＝PB;②OP⊥AB;③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4C小热身与圆有关的位置关系知识梳理直线与圆的位置关系三角形的外接圆与内切圆

典例训练(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∴∠ADC＋∠OCD＝180°.∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴DC为☉O的切线．

典例训练(1)解：∵AC为☉O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°.(2)证明：连接OF，OD.在Rt△CDE中，点F为斜边CE的中点，∴DF＝CF.在△DOF和△COF中，∴△DOF≌△COF(SSS)，∴∠ODF＝∠OCF＝90°，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线．(3)解：由圆周角定理可得∠ABD＝∠ACD.由(1)知∠ADC＝∠CDE＝90°.又AC⊥EC，∴∠CAD＝∠ECD，∴△ADC∽△CDE，解决与切线有关的线段问题时，常常构造直角三角形，然后利用勾股定理或直角三角形边角关系计算线段长度，有时也会根据圆中相等的角，得到相似三角形，根据相似三角形相关性质解决问题；而在求角度时，利用圆周角定理及其推论，三角形内角和、内外角关系等求解．方法小结1．(2020·衡阳)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F.(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若AD＝8，AE＝10，求BD的长．变式训练解：(1)BC与⊙O相切．理由：连接OD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC.∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴OD⊥BC.∵OD为半径，∴BC与⊙O相切.(2)连接DE.∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°.∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C.∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，2．(2020·娄底)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若AB＝5，BE＝4，求BD的长；(3)请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．(1)证明：连接OD.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BE.又BE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切．

(3)解：CE＝AB－BE.理由如下：过D作DH⊥AB于H.∵BD平分∠ABC，DE⊥BE.∴DH＝DE又BD=BD∴Rt△BED≌Rt△BHD(HL)，∴BE＝BH.∵A、B、C、D四点共圆，∴∠DCE＝∠A.又∠DHA＝∠DEC＝90°，DH＝DE，∴△ADH≌△CDE(AAS)，∴