高考数学易错题举例解析

高考数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。忽视等价性变形，导致错误。EQ\B\LC\{(\A\AL(x>0,y>0))EQ\B\LC\{(\A\AL(x+y>0,xy>0))，但EQ\B\LC\{(\A\AL(x>1,y>2))与EQ\B\LC\{(\A\AL(x+y>3,xy>2))不等价。【例1】已知f(x)=ax+EQ\F(x,b)，若求的范围。错误解法由条件得②×2－①①×2－②得+得错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的。当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。正确解法由题意有,解得：把和的范围代入得在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。●忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】(1)设是方程的两个实根，则的最小值是思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。原方程有两个实根，∴当时，的最小值是8；当时，的最小值是18。这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。(2)已知(x+2)2+EQ\F(y2,4)=1,求x2+y2的取值范围。错解由已知得y2=－4x2－16x－12，因此x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+，∴当x=－EQ\F(8,3)时，x2+y2有最大值EQ\F(28,3)，即x2+y2的取值范围是(－∞,EQ\F(28,3)]。分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2)2+EQ\F(y2,4)=1(x+2)2=1－EQ\F(y2,4)≤1－3≤x≤－1，从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴ x2+y2的取值范围是[1,EQ\F(28,3)]。注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。【例3】已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+EQ\F(1,a))2+(b+EQ\F(1,b))2的最小值。错解(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。事实上，原式=a2+b2+++4=(a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4=(1－2ab)(1+)+4，由ab≤()2=得：1－2ab≥1－=,且≥16，1+≥17，∴原式≥×17+4=(当且仅当a=b=时，等号成立)，∴(a+)2+(b+)2的最小值是EQ\F(25,2)。●不进行分类讨论，导致错误【例4】(1)已知数列的前项和，求错误解法错误分析显然，当时，。错误原因：没有注意公式成立的条件是。因此在运用时，必须检验时的情形。即：。(2)实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点。错误解法将圆与抛物线联立，消去，得①因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得，解之得错误分析（如图2－2－1；2－2－2）显然，当时，圆与抛物线有两个公共点。xyxyO图2－2－2xyO图2－2－1要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。当方程①有一正根、一负根时，得解之，得因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点。思考题：实数为何值时，圆与抛物线，有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。●以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。【例5】(1)设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.错误解法，。错误分析在错解中，由，时，应有。在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。正确解法若，则有但，即得与题设矛盾，故.又依题意,即因为，所以所以解得说明此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。(2)求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。错误解法设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为，消去得整理得直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。正确解法①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。②当所求直线斜率为零时，直线为y=1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。③一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得k=EQ\F(1,2),∴所求直线为综上，满足条件的直线为：《章节易错训练题》1、已知集合M={直线}，N={圆}，则M∩N中元素个数是A(集合元素的确定性)

(A) 0(B)0或1 (C)0或2 (D)0或1或22、已知A=EQ\B\BC\{(x\B\LC\|(x2+tx+1=0))，若A∩R*=，则实数t集合T=___。(空集)3、如果kx2+2kx－(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号)(A)－1≤k≤0(B)－1≤k<0(C)－1<k≤0(D)－1<k<04、命题＜3，命题＜0，若A是B的充分不必要条件，则的取值范围是C(等号)（A）（B）（C）（D）5、若不等式x2－logax<0在(0,EQ\F(1,2))内恒成立，则实数的取值范围是A(等号)(A)[EQ\F(1,16),1)(B)(1,+) (C)(EQ\F(1,16),1) (D)(EQ\F(1,2),1)∪(1,2)6、若不等式(－1)na<2+EQ\F((－1)n+1,n)对于任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是A(等号)

(A)[－2，EQ\F(3,2)) (B)(－2，EQ\F(3,2)) (C)[－3，EQ\F(3,2)) (D)(－3，EQ\F(3,2))7、已知定义在实数集上的函数满足：；当时，；对于任意的实数、都有。证明：为奇函数。(特殊与一般关系)8、已知函数f(x)=EQ\F(1－2x,x+1)，则函数的单调区间是_____。递减区间(－，－1)和(－1，+)（单调性、单调区间）9、函数y=EQ\R(log0.5(x2－1))的单调递增区间是________。[－EQ\R(2)，－1）（定义域）10、已知函数f(x)=EQ\B\LC\{(\A\AL(log2(x+2)x>0,\F(x,x－1)x≤0))，f(x)的反函数f－1(x)=。EQ\B\LC\{(\A\AL(2x－2x>1,EQ\F(x,x－1)0≤x<1))（漏反函数定义域即原函数值域）11、函数f(x)=logEQ\S\DO8(\F(1,2))(x2+ax+2)值域为R，则实数a的取值范围是D(正确使用△≥0和△<0)

(A)(－2EQ\R(2),2EQ\R(2)) (B)[－2EQ\R(2),2EQ\R(2)]

(C)(－,－2EQ\R(2))∪(2EQ\R(2),+) (D)(－,－2EQ\R(2)]∪[2EQ\R(2),+)12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值为B(隐含条件)（A）2 （B）EQ\F(3,4)（C）EQ\F(2,3)（D）013、函数y=的值域是________。(－∞,)∪(,1)∪(1,+∞)（定义域）14、函数y=sinx(1+tanxtanEQ\F(x,2))的最小正周期是C（定义域）

(A)EQ\F(,2) (B) (C)2 (D)315、已知f(x)是周期为2的奇函数，当x[0,1)时，f(x)=2x，则f(logEQ\S\DO8(\F(1,2))23)=D(对数运算)

(A)EQ\F(23,16) (B)EQ\F(16,23) (C)－EQ\F(16,23) (D)－EQ\F(23,16)16、已知函数在处取得极值。（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程。(2004天津)（求极值或最值推理判断不充分(建议列表)；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上。）17、已知tan(－EQ\F(,3))=－EQ\F(EQ\R(3),5)则tan=；EQ\F(sincos,3cos2－2sin2)=。EQ\F(EQ\R(3),2)、EQ\F(EQ\R(3),3)（化齐次式）18、若3sin2+2sin2－2sin=0，则cos2+cos2的最小值是__。EQ\F(14,9)(隐含条件)19、已知sin+cos=EQ\F(1,5)，(0，)，则cot=_______。－EQ\F(3,4)(隐含条件)20、在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a=2、、，则∠B=B(隐含条件)（A）（B）（C）（D）21、已知a>0,b>0,a+b=1，则(a+EQ\F(1,a))2+(b+EQ\F(1,b))2的最小值是_______。EQ\F(25,2)(三相等)22、已知x≠k(kZ)，函数y=sin2x+EQ\F(4,sin2x)的最小值是______。5（三相等）23、求的最小值。错解1错解2错误分析在解法1中，的充要条件是即这是自相矛盾的。在解法2中，的充要条件是这是不可能的。正确解法1其中，当正确解法2取正常数，易得其中“”取“＝”的充要条件是因此，当24、已知a1=1，an=an－1+2n－1(n≥2)，则an=________。2n－1(认清项数)25、已知－9、a1、a2、－1四个实数成等差数列，－9、b1、b2、b3、－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)=A(符号)

(A)－8(B)8 (C)－EQ\F(9,8) (D)EQ\F(9,8)26、已知{an}是等比数列，Sn是其前n项和，判断Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列吗？当q=－1，k为偶数时，Sk=0，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比数列；当q≠－1或q=－1且k为奇数时，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列。（忽视公比q=－1）27、已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：，f(an)－f(an－1)=k(an－an－1)(n=2,3,┄)，其中a为常数，k为非零常数。（1）令，证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）当时，求。(2004天津)（等比数列中的0和1，正确分类讨论）28、不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m+3)i+10成立的实数m的取值集合是________。{3}(隐含条件)29、i是虚数单位，eq\f((－1+i)(2+i),i3)的虚部为（）C(概念不清)

(A)－1 (B)－i (C)－3 (D)－3i30、实数，使方程至少有一个实根。错误解法方程至少有一个实根，或错误分析实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。正确解法设是方程的实数根，则由于都是实数，,解得31、和a=(3,－4)平行的单位向量是_________；和a=(3,－4)垂直的单位向量是_________。(EQ\F(3,5)，－EQ\F(4,5))或(－EQ\F(3,5)，EQ\F(4,5))；(EQ\F(4,5)，EQ\F(3,5))或(－EQ\F(4,5)，－EQ\F(3,5))(漏解)32、将函数y=4x－8的图象L按向量a平移到L/，L/的函数表达式为y=4x，则向量a=______。a=(h，4h+8)(其中hR)(漏解)33、已知||＝1，||＝，若//，求·。①若，共向，则·＝||•||＝，②若，异向，则·＝－||•||＝－。(漏解)34、在正三棱锥A－BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC=a，则正三棱锥A－BCD的体积为____________。EQ\F(EQ\R(2),24)a3(隐含条件)35、在直二面角－AB－的棱AB上取一点P，过P分别在、两个平面内作与棱成45°的斜线PC、PD，那么∠CPD的大小为D(漏解)(A)45 (B)60(C)120 (D)60或12036、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。(2004天津)(条件不充分(漏PA平面EDB，平面PDC，DE∩EF=E等)；运算错误，锐角钝角不分。)37、若方程EQ\F(x2,m)+y2=1表示椭圆，则m的范围是_______。(0，1)∪(1，+)(漏解)38、已知椭圆EQ\F(x2,m)+y2=1的离心率为EQ\F(\R(3),2)，则m的值为____。4或EQ\F(1,4)(漏解)39、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点B与两焦点F1、F2组成的三角形的周长为4+2EQ\R(3)且∠F1BF2=EQ\F(2,3)，则椭圆的方程是。EQ\F(x2,4)+y2=1或x2+EQ\F(y2,4)=1(漏解)40、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。(2004天津)(设方程时漏条件a>EQ\R(2)，误认短轴是b=2EQ\R(2)；要分析直线PQ斜率是否存在(有时也可以设为x=ky+b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑△>0，后韦达定理。)41、已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程。错解1故所求的双曲线方程为错解2由焦点知故所求的双曲线方程为错解分析这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。正解1设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知整理得正解2依题意，设双曲线的中心为,·P·C(3,0)yxO图3－2－1·P·C(3,0)yxO图3－2－1MN故所求双曲线方程为42、求与轴相切于右侧，并与⊙也相切的圆的圆心的轨迹方程。错误解法如图3－2－1所示，已知⊙C的方程为设点为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与轴相切于M点，与⊙C相切于N点。根据已知条件得，即，化简得错误分析本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y2=12x(x>0)和。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、