2023年新高二暑假讲义12讲第4讲 空间向量的应用（原卷版）

16/162023年新高二暑假讲义第4讲空间向量的应用新课标要求①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。知识梳理1．空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个向量确定，这个向量叫做直线的方向向量．2．若直线l垂直于平面α，取直线l的方向向量a，则a⊥α，则a叫做平面α的法向量．3.(1)线线垂直：设直线l，m的方向向量分别为a，b，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0.(2)线面垂直：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R.(3)面面垂直：若平面α的法向量为u，平面β的法向量为ν，则α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0.4．设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|).5．设直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).6．设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cosθ|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).名师导学知识点1直线的方向向量与平面的法向量【例1-1】（焦作期末）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为

A. B. C. D.【例1-2】（广州期末）设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则

A. B. C.或 D.或【变式训练1-1】（沙坪坝区校级模拟）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是

A. B.

C. D.【变式训练1-2】（东阳市模拟）已知，，分别是平面，，的法向量，则，，三个平面中互相垂直的有

A.3对 B.2对 C.1对 D.0对知识点2用空间向量研究直线、平面的平行关系【例2-1】（浙江模拟）已知在正四棱柱中，，，点E为的中点，点F为的中点．求证：．【例2-2】（柯城区校级模拟）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，点E是PD的中点．

求证：平面AEC．【例2-3】（金华期末）如图，已知棱长为4的正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点，求证：平面平面EFBD．

【变式训练2-1】（宿迁期末）如图，在长方体中，，，，点P在棱上，且，点S在棱上，且，点Q、R分别是棱、AE的中点．求证：．【变式训练2-2】（朝阳区期末）已知正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，求证：平面ADE；平面平面F.知识点3用空间向量研究直线、平面的垂直关系【例3-1】（扬州期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，M为PC的中点．求证：【例3-2】（上城区校级模拟）如图所示，在正方体中，E，F分别是，DC的中点，求证：平面F.【例3-3】（点军区校级月考）如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD，，，M为EC的中点，求证：平面平面CDE．【变式训练3-1】（三明模拟）已知空间四边形ABCD中，，，求证：．【变式训练3-2】（镇海区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形且，，底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上．F在何处时，平面PBC？【变式训练3-3】（未央区校级月考）在四面体ABCD中，平面BCD，，，，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面平面ABC．知识点4用空间向量研究空间中的距离问题【例4-1】（海淀区校级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E，F分别为AB，BC的中点．

求点D到平面PEF的距离；求直线AC到平面PEF的距离．【变式训练4-1】（房山区期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，．

求点D到平面PBC的距离；求点A到平面PBC的距离．知识点5用空间向量研究空间中的夹角问题【例5-1】（宝山区校级期末）如图，ABCD为矩形，AB＝2，AD＝4，PA⊥面ABCD，PA＝3，求异面直线PB与AC所成角的余弦值．【例5-2】（常州期末）已知在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长与底面边长相等，求AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值．【例5-3】（漳州三模）已知，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝eq\r(2).求二面角A－PB－C的余弦值．【变式训练5-1】（沭阳县期中）如图，在正四棱柱中，，，点M是BC的中点．

求异面直线与DM所成角的余弦值求直线与平面所成角的正弦值求平面与平面ABCD所成角的正弦值．名师导练A组-[应知应会]1.（杨浦区校级期中）若直线l的方向向量为0，，平面的法向量为0，，则A. B. C. D.l与斜交2.（安徽模拟）已知，，，则向量与向量的夹角为

A. B. C. D.3.（闵行区校级模拟）已知四边形ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，则SC与平面ABCD所成的角的余弦值为A. B. C. D.4.（贵阳模拟）在正方体中，棱长为a，M，N分别为和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是A.垂直 B.相交 C.平行 D.不能确定5.（温州期末）如图，在长方体中，，E为CD的中点，点P在棱上，且平面，则AP的长为A.

B.

C.1

D.与AB的长有关6.（鼓楼区校级模拟）二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，，则该二面角的大小为A. B. C. D.7.（和平区校级二模）如图所示，在正方体中，点P是棱AB上的动点点可以运动到端点A和B，设在运动过程中，平面与平面所成的最小角为，则

A.

B.

C.

D.8.（多选）（东阳市模拟）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，2，，2，，下列结论正确的有

A. B.

C.是平面ABCD的一个法向量 D.9.（江苏模拟）已知，，若，，且平面ABC，则y，等于________．10.（南通模拟）已知正三棱柱的各条棱长都相等，M是侧棱的中点，则向量与所成角的大小是

．11.（清江浦区校级模拟）在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，且，G为的重心，则PG与底面ABCD所成角的正弦值为

．12.（沭阳县期中）在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧棱底面ABCD，，E为PD的中点，点N在面PAC内，且平面PAC，则点N到AB的距离为__________13.（滨海新区模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD，，则二面角的余弦值为________．

14.（浦东新区校级月考）如图，在正方体中，E为的中点，求异面直线CE与BD所成的角．15.（江宁区校级月考）如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，，，F为PD的中点．

求证：；

求证：平面PEC．

16.（临泉县校级月考）正方体中，E，F分别是，CD的中点．

求证：平面平面；

在AE上求一点M，使得平面DAE．17.（兴宁区校级期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，且，平面ABCD．

求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；在棱PD上是否存在一点E使得？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．18.（沙坪坝区校级期末）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．

求二面角的大小．在线段上是否存在一点E，使得平面平面若存在，求出AE的长若不存在，说明理由．B组-[素养提升]1.（齐