2023年新高二暑假讲义12讲第1讲 空间向量及其运算含解析

、2023新高二暑假讲义12讲第1讲空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。3.掌握空间向量的线性运算。4.掌握空间向量的数量积。知识梳理1.空间向量的概念与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，空间向量用字母...表示.2.几个常见的向量零向量长度为0的向量叫做零向量单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记做共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。我们规定：零向量与任意向量平行.相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量3.向量的线性运算交换律：；结合律：；分配律：.4.共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量.5.空间向量的数量积零向量与任意向量的数量积为0.名师导学知识点1空间向量的有关概念【例1-1】（咸阳期末）已知是空间的一个单位向量，则的相反向量的模为

A.1 B.2 C.3 D.4【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个知识点2空间向量的线性运算【例2-1】（泰安期末）如图所示，在长方体中，O为AC的中点．化简：________；用，，表示，则________．【例2-2】（河西区期末）在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.

C. D.【变式训练2-1】（东湖区校级一模）在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则A. B. C. D.【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．；．知识点3共面向量【例3-1】（珠海期末）已知A，B，C三点不共线，点M满足．，，三个向量是否共面点M是否在平面ABC内【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．

求证：向量，，共面．知识点4空间向量的数量积【例4-1】（溧阳市期末）已知长方体中，，，E为侧面的中心，F为的中点试计算：

．【变式训练4-1】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：

．名师导练A组-[应知应会]1.（台江区校级期末）长方体中，若，，，则等于

A. B.

C. D.2.（秦皇岛期末）若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则的值为

A. B. C. D.03.（定远县期末）给出下列几个命题：向量，，共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若，则存在唯一的实数，使．其中真命题的个数为

A.0 B.1 C.2 D.34.（葫芦岛期末）在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是A.； B.

；

C. D.5.（多选）（点军区校级月考）已知为正方体，下列说法中正确的是A． B． C．向量与向量的夹角是 D．正方体的体积为6.（都匀市校级期中）空间的任意三个向量，，，它们一定是________向量填“共面”或“不共面”．7.（池州模拟）给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量，，满足，则；在正方体中，必有；若空间向量，，满足，，则．其中不正确的命题的序号为________．8．（未央区校级期末）为空间中任意一点，，，三点不共线，且，若，，，四点共面，则实数．9．（天津期末）在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为．10.（三明期中）如图所示，在正六棱柱中

化简，并在图中标出表示化简结果的向量化简，并在图中标出表示化简结果的向量．11.（都匀市校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面求证：．

12．（西夏区校级月考）如图所示，平行六面体中，、分别在和上，且，（1）求证：、、、四点共面；（2）若，求的值．B组-[素养提升]1.（多选）（三明期中）定义空间两个向量的一种运算，，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有A． B． C． D．若，，，，则第1讲空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。3.掌握空间向量的线性运算。4.掌握空间向量的数量积。知识梳理1.空间向量的概念与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，空间向量用字母...表示.2.几个常见的向量零向量长度为0的向量叫做零向量单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记做共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。我们规定：零向量与任意向量平行.相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量3.向量的线性运算交换律：；结合律：；分配律：.4.共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量.5.空间向量的数量积零向量与任意向量的数量积为0.名师导学知识点1空间向量的有关概念【例1-1】（咸阳期末）已知是空间的一个单位向量，则的相反向量的模为

A.1 B.2 C.3 D.4【分析】本题考查了向量的基础知识，根据向量模的概念求解即可；

【解答】解：因为是空间的一个单位向量，所以的相反向量的模，

故选A．【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【分析】本题考查了相等向量及其平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

利用相等向量及其平行六面体的性质即可得出．【解答】解：如图所示，

与向量的相等的向量有以下3个：

故选C．知识点2空间向量的线性运算【例2-1】（泰安期末）如图所示，在长方体中，O为AC的中点．化简：________；用，，表示，则________．【分析】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．

利用化简即可；

将分解为，继而进行正交分解即可．

【解答】解：．．【例2-2】（河西区期末）在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.

C. D.【分析】本题考查空间向量的加减运算，属于基础题．

若D为BC的中点，则，根据向量的减法法则即可得到答案．

【解答】解：依题意得，

故选A．

【变式训练2-1】（东湖区校级一模）在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则A. B. C. D.【分析】本题考查了空间向量的加减运算及数乘运算，属于基础题．

根据题意，将进行转化，即可得解．

【解答】解：．【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．；．【解析】解：．．向量，如图所示．知识点3共面向量【例3-1】（珠海期末）已知A，B，C三点不共线，点M满足．，，三个向量是否共面点M是否在平面ABC内【解析】解

，，，向量，，共面．由知向量，，共面，又它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内．【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．

求证：向量，，共面．【解析】证明：因为M在BD上，且，所以．同理．所以．又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．知识点4空间向量的数量积【例4-1】（溧阳市期末）已知长方体中，，，E为侧面的中心，F为的中点试计算：

．【解析】解：如图，设，，，则，，．．．．【变式训练4-1】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：

．【解析】解

，．．，．，，．名师导练A组-[应知应会]1.（台江区校级期末）长方体中，若，，，则等于

A. B.

C. D.【分析】本题考查空间向量的运算，属基础题．

根据空间向量的运算法则求解即可．

【解答】解：，故选C．

2.（秦皇岛期末）若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则的值为

A. B. C. D.0【分析】本题主要考查了空间向量的运算、向量的数量积、向量垂直的判定，属于中档题．

先求出向量的数量积，由它们的数量积为0判断，所以向量的夹角为，由此得出结论．

【解答】解：

，

空间四边形OABC的四个面为等边三角形，

，，

，，，故选D．

3.（定远县期末）给出下列几个命题：向量，，共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若，则存在唯一的实数，使．其中真命题的个数为

A.0 B.1 C.2 D.3【分析】

本题主要考查命题的真假判断与应用，比较基础．

利用向量共面的条件判断．利用零向量的性质判断．利用向量共线的定理进行判断．【解答】

解：假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；

真命题．这是关于零向量的方向的规定；

假命题．当，则有无数多个使之成立．故选B．4.（葫芦岛期末）在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是A.； B.

；

C. D.【分析】本题考查空间向量基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

利用空间向量基本定理，进行验证，对于C，可得，，为共面向量，从而可得M、A、B、C四点共面．

【解答】解：对于A，，无法判断M、A、B、C四点共面；

对于B，，、A、B、C四点不共面；

C中，由，得，则，，为共面向量，即M、A、B、C四点共面；

对于D，，，系数和不为1，、A、B、C四点不共面．故选C．

5.（多选）（点军区校级月考）已知为正方体，下列说法中正确的是A． B． C．向量与向量的夹角是 D．正方体的体积为【分析】本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．【解答】解：由向量的加法得到：，，，所以正确；，，，故正确；是等边三角形，，又，异面直线与所成的夹角为，但是向量与向量的夹角是，故不正确；，，故，因此不正确．故选：．6.（都匀市校级期中）空间的任意三个向量，，，它们一定是________向量填“共面”或“不共面”．【分析】正确理解共面向量定理是解题的关键．

由于可用向量，线性表示，即可判断出空间中的三个向量，，是否是共面向量．

【解答】解：可用向量，线性表示，

由空间中共面向量定理可知，空间中的三个向量，，一定是共面向量．7.（池州模拟）给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量，，满足，则；在正方体中，必有；若空间向量，，满足，，则．其中不正确的命题的序号为________．【分析】本题考查的知识点是空间相等的定义，难度不大，属于基础题．根据相向相等的定义，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】

解：若两个空间向量相等，则它们方向相同，长度相等，但起点不一定相同，终点也不一定相同，故错误；若空间向量，，满足，但方向不相同，则，故错误；

在正方体中，与方向相同，长度相等，故，故正确；

若空间向量，，满足，，则，故正确；

故答案为．

8．（未央区校级期末）为空间中任意一点，，，三点不共线，且，若，，，四点共面，则实数．【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．【解答】解：由题意得，，且，，，四点共面，，故答案为：．9．（天津期末）在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为．【分析】如图所示，由正四面体的性质可得：，可得：．由是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，由正四面体的性质可得：，可得：．是棱中点，，．故答案为：．10.（三明期中）如图所示，在正六棱柱中

化简，并在图中标出表示化简结果的向量化简，并在图中标出表示化简结果的向量．【解析】解：

．，

在图中表示如下：

．在图中表示如下：11.（都匀市校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面求证：．

【解析】证明：

由底面ABCD为平行四边形，，，知，则．由底面ABCD，知，则．又，所以，即．12．（西夏区校级月考）如图所示，平行六面体中，、分别在和上，且，（1）求证：、、、四点共面；（2）若，求的值．【分析】（1）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出．（2）利用向量三角形法则、向量共线定