第二章内积空间

第二章内积空间第一页，共五十四页，编辑于2023年，星期四第一节欧氏空间与酉空间在线性空间中，向量之间仅有加法与数乘两种代数运算，而无向量长度、向量夹角等度量概念。向量内积正是适应这种要求而引入的。内积空间是3维向量空间的自然推广，故称实内积空间为欧氏空间，称复内积空间为酉空间。第二页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定义在实线性空间V中，若任意两个向量按某种法则有实数与之对应，记作并满足公理，(2)(3)(4)时等式成立当且仅当则称实数为向量的内积，定义了内积的实线性空间叫做欧氏空间。一、欧氏空间第三页，共五十四页，编辑于2023年，星期四例1在向量空间Rn，设可以验证满足内积的定义，称之为Rn中的标准内积。例2在向量空间Rn，设定义定义可以验证也是Rn中的内积。说明（1）同一线性空间可定义不同的内积，从而形成不同的欧氏空间。（2）不论如何定义内积，不会改变线性空间的维数。第四页，共五十四页，编辑于2023年，星期四例4在实线性空间中，对于任意两个n阶矩阵A，B，定义例3在实线性空间C[a,b]中，对于任意两个连续函数，定义利用定积分的性质，可以验证是内积，C[a,b]是欧氏空间，但其维数无限。则是内积，向量空间是欧氏空间。第五页，共五十四页，编辑于2023年，星期四内积的性质对于欧氏空间的向量设为n维欧氏空间V的基，令矩阵A也常常称为度量矩阵（或Gram矩阵），因为许多与向量度量有关的量可以用A来描述。二、度量矩阵及性质第六页，共五十四页，编辑于2023年，星期四则（1）矩阵A为实对称正定矩阵；定理1：设A为n维欧氏空间V的基的度量矩阵，则定理2：设与为n维欧氏空间V的基，它们矩阵，则的度量矩阵为A和B，，C是到的过渡即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵的双线性函数来计算。（证明详见P26-27）第七页，共五十四页，编辑于2023年，星期四例5设欧氏空间中的内积为（1）求基1，x,x2的度量矩阵；（2）求与的内积。解：设基1，x,x2的度量矩阵为则第八页，共五十四页，编辑于2023年，星期四（2）求与的内积。方法一：利用定义，直接计算方法二：利用基的度量矩阵及向量在基下的坐标可求两个向量的内积。在基1，x,x2的坐标分别为则第九页，共五十四页，编辑于2023年，星期四三、酉空间定义在复线性空间V中，若任意两个向量按某种法则有复数与之对应，记作并满足公理，(2)(4)时等式成立当且仅当则称复数为向量的内积。定义了内积的复线性空间叫做酉空间。第十页，共五十四页，编辑于2023年，星期四对于酉空间的向量酉空间内积的性质第十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期四例7在向量空间Cn，设定义则Cn成为酉空间。说明：在有些教材上酉空间的定义与本教材有所不同，主要是定义中的（3），可采用：这样，在例（7）中的内积为：(3)第十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期四则（1）矩阵A为Hermite、正定矩阵；定理3：设A为n维酉空间V的基的度量矩阵，则定理4：设与为n维酉空间V的基，它们矩阵，则的度量矩阵为A和B，，C是到的过渡即同一酉空间不同基的度量矩阵是复相合矩阵。练习P381;2;3第十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期四第二节内积空间的度量主要内容：一、向量长度及性质二、向量的正交性三、标准正交基与与施密特正交化方法第十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定义向量长度（模或范数）为当时，称为单位向量称为的规范化单位向量一、向量长度及性质设V是酉（欧氏）空间，定义的距离为1、向量长度的定义：2、向量长度的性质时等式成立；当且仅当第十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期四因此Chauchy不等式成立。引理（Chauchy不等式）设V是酉（欧氏）空间，证明:由于对任意数t，成立即利用一元二次不等式的性质得即即两个向量线性相关时成立向量的长度满足(在欧氏空间中证明)说明：等号仅当第十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期四这就是著名的Schwarz不等式。结合不同的欧氏空间，可得Chauchy不等式的具体实例，如（1）（2）第十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期四两端开平方即得：设是内积空间的任意两个向量，则证明由内积的性质及Chauchy不等式得(在欧氏空间中）推论1（三角不等式）正因为Chauchy不等式成立，因此可定义两个向量的夹角第十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期四若则称向量是正交向量。设是欧氏空间的任意两个非0向量，定义的夹角为二、向量的正交性1、向量的夹角若则称向量是正交向量。设是酉空间的任意两个非0向量，定义的夹角为第十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期四（2）酉（欧氏空间）中的勾股定理：故证明由于是正交的，即设是欧氏空间的任意两个正交向量，则有说明（1）零向量与任意向量都正交；第二十页，共五十四页，编辑于2023年，星期四成立例3

欧氏空间的三角函数组是正交的事实上，可以验证对于上述不同的三角函数则称是正交向量组。酉空间中非零向量组如果两两正交，说明：勾股定理可以推广到正交向量组上去，即：若是正交向量组，则有2、正交向量组第二十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定理故

两两正交的非零向量组线性无关。证明设是两两正交的非零向量组是一组数，使线性无关从而则又说明：在n维内积空间中，两两正交的非零向量不能超过n个.

用与上式两端做内积得：第二十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期四例1在R4中求与都正交的单位向量解：设所求向量为则即此方程组的基础解系为单位化得为所求的向量第二十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期四三、标准正交基与与施密特正交化方法称为标准正交基。在n维内积空间中，若基满足例R3的标准正交基1、标准正交基及性质第二十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期四则有：性质：设为n维酉（欧氏空间）的标准正交基，向量设对于任意（3）若也是V的标准正交基，C是到的过渡矩阵，则容易证明：一组基为标准正交基的充分必要条件是它的度量矩阵为单位矩阵。见P31定理2.3.2第二十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期四例2

求在基下的坐标.解设在基底下坐标为第二十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期四2、施密特正交化方法则是正交向量组并且与等价。设是内积空间V中的一个线性无关向量组。令第二十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期四例3解先正交化把的基化成标准正交基第二十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期四单位化得一组标准正交基自学P30例2.2.2练习P395;7第二十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定义1定理A是正交矩阵（酉矩阵）的充要条件是A的列(行)向量组为正交单位向量组设A是n阶方阵,称A是正交矩阵（酉矩阵）.若第三节酉（正交）变换第三十页，共五十四页，编辑于2023年，星期四仅证明列向量组为正交单位向量组设则第三十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期四正交矩阵（酉矩阵）的性质（2）设A是正交矩阵（酉矩阵），则（3）正交矩阵（酉矩阵）的逆、乘积仍是正交矩阵（酉矩阵）。（1）第三十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定理2设A是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价：(1)T是正交变换；(2)T保持向量的长度不变，即对于任意的V,||T||=||||;(3)如果1,2,…,m是V的标准正交基,则T1,T2,…,Tm也是V的标准正交基；(4)T在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.定义2欧氏空间V的线性变换T称为正交变换，若对任意,V,均有(T,T)=(,)自学：P31定理2.3.4第三十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期四例1在里,把每一向量逆时针旋转一个角的的一个正交变换.线性变换是

例2对于每一向量,令关于x0y面的镜面反射与它对应.是的一个正交变换.第三十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期四R(i,j)是正交矩阵，通常称为Givens矩阵，在讨论矩阵分解时有重要应用。一般地，n维欧氏空间在平面旋转角度为的变换T在自然基下的变化矩阵为第三十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定义设是一个单位向量，令则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。性质设H是一个Householder矩阵，则Householder变换是酉变换。（1）H是Hermite矩阵，；（2）H是酉矩阵，；（3）H是对合矩阵，；（4）H是自逆矩阵（5）diag(I,H)也是一个Householder矩阵;（6）若则detH=-1。第三十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定义2：是欧氏空间V中的两个子空间，如果对恒有则称子空间为正交的,记作对给定向量定义1：则称向量与子空间正交，记作两两正交的子空间的和必是直和．第四节正交投影第三十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定义3：设W是欧氏空间V的子空间，记

定理1设W是欧氏空间V的一个有限维子空间，那么因而V的每一个向量ξ可以唯一写成这里第三十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期四设令证明当W={0}时，定理显然成立，这时

设由于W的维数有限，因而可以取到W的一个规范正交基第三十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期四那么而由于是W的基，所以ζ与W正交，这就证明了即剩下来只要证明这个和是直和。这是显然的，那么从而定理被证明。因为如果第四十页，共五十四页，编辑于2023年，星期四例1设则分析：根据子空间正交的定义，即证：证明（1）则存在使则因此即在（1）中以AH代替A即得（2）。第四十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定义4：设W是欧氏空间V的有限维非平凡子空间，为V到W的正交投影变换。可以证明，正交投影变换是线性变换。第四十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期四证明由于所以定理2设W是欧氏空间V的一个有限维子空间，是V的任意向量，是在W上的正交投影，那么对于W中任意向量，都有

由勾股定理第四十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期四定理：设P是n阶方阵，则P是正交投影矩阵的充分必要条件是P是幂等的Hermite矩阵，即P2=P,PH=P正交投影矩阵的求法：设为S的基，令则特别地，当S的基为标准正交基时，即从而（详见P35）第四十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期四解将x1,x2正交化、单位化得例设x1=(0,1,1)T，x2=(1,2,0)T,W=L(x1,x2)，求从R3沿到W的正交投影矩阵P，并求y=(1,2,3)T在W上的投影。第四十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期四第四十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期四第五节最小二乘问题1、问题的提出实系数线性方程组（1）

即任意都可能使

（2）

不等于零．可能无解，第四十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期四设法找实数组使（2）最小,

这样的为方程组（1）的最小二