2023学年完整公开课版矩形判定

矩形的判定两组对边分别平行一个角是直角四边形平行四边形矩形复习思考看图说定义1填表想证法2平行四边形的判定方法：定义法证两组对边分别平行证边法证角法证对角线法OABCD证一组对边平行且相等证两组对边分别相等证两组对角分别相等证对角线互相平分怎样判定一个四边形是矩形呢？

矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？动脑筋ABCD探究（一）

如图2-46，四边形ABCD的四个角都是直角.由于“同旁内角互补，两直线平行”，因此AB∥DC，AD∥BC，从而四边形ABCD是平行四边形.所以□ABCD是矩形.由此得到四个角是直角的四边形是矩形.1图2-46ABCD三个角是直角的四边形是矩形.

三个角是直角的四边形，根据四边形的内角和等于360°，容易知道另一个角也是直角，由此得到：2

这两个四边形两个角是直角，但都不是矩形.所以，必须有三个角是直角的四边形才是矩形.

两个角是直角的四边形，根据四边形的内角和等于360°，则另外两个角的和为180°，这样的四边形中你能想到不是矩形的吗？3动脑筋探究（二）

从“矩形的两条对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出画出一个长度为4cm的矩形吗？这样的矩形有多少个？1

对于是不是矩形，我们可以这样做：

①画图:过点O画两条线段AC，BD，使得OA=OC=2cm，OB=OD=2cm.连接AB，BC，CD，DA.图2-47ABCDO

②量一量:量所画的四边形ABCD是否有三个角为直角（可用三角尺的直角比一比）.你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？2图2-47ABCDO

如图2-47，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形,又已知其对角线相等.上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？△ABC≌△DCB(SSS)∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴

.∠ABC+∠DCB=180°,∴∠ABC＝

.∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）在□ABCD中，∵AB=DC，BC=CB，AC=DB，∴

.下面我们来证明：90°ABCDO由此得到：对角线相等的平行四边形是矩形.3这样的矩形可以画多少个？

可以这样想：把对角线绕点O旋转到不同的位置，就能得到形状不同的矩形，因此，这样的矩形有无数个.O对角线相等的四边形是矩形吗？议一议

等腰梯形的对角线也相等，因此对角线相等的四边形不一定是矩形.

如图2-48，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O.（1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样的三角形？（2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么□ABCD是矩形吗？

图2-48ABCDO例2(2)∵△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，解

(1)

∵□ABCD是矩形，

∴AC与DB相等且互相平分.∴△OBC是等腰三角形.∴AC=2OC=2OB=BD.∴□ABCD是矩形.图2-48ABCDO∴1.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，求证：四边形ABCD是矩形.ABCD练习证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∴四边形ABCD是矩形.

(三个角是直角的四边形是矩形.)2.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，AC=4，求□ABCD的面积.解

∵

OA==2，AB=2，∴△OAB是等腰三角形.∴△OAB是等边三角形.又∠AOB=60°，∴

OA=OB=2，

∴AC=BD=4.∴□ABCD是矩形.ABCDO在Rt△ABC中，AB=2，AC=4，根据勾股定理，得BC²=AC²-AB²=4²-2²=12