2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题05三角函数含解析

专题05三角函数

一、选择题局部

1.（2021•新高考全国I卷・T4）以下区间中，函数/（x）=7sin》一£单调递增的区间是（）

k6J

【答案】A.

【解析】因为函数y=sinx的单调递增区间为（2k兀-y,2k兀+•，仕eZ）,

对于函数/(x)=7sin由2k兀<x---<2k兀H—(%eZ),

262V'

解得2k兀一/<x<2k兀+胃-«eZ),

取Z=0,

那么（0仁卜（一《告），（3）卜（一（彳）’A选项满足条件，B不满足条件;

取左=1,可得函数/（力的一个单调递增区间为

CD选项均不满

足条件.

2.(2021•新高考全国I卷・T6)假设tan6»=-2,那么Sm"°+『n2")=()

sin夕+cos。

【答案】C.

【解析】将式子进行齐次化处理得：

_sin/sind+cos。)_tan26^4-tan6^_4-2_2

sin24-cos21+tan201+45

(兀、cosa

3.(2021•高考全国甲卷•理T9)假设ee0,彳，tan2a=；；~；—,那么tana=()

I2J2-sina

A后R石「逐V15

A.---D.C.---nD.----

15533

【答案】A.

广、.八七八,sm2a2smacosa-=人人小•1

【解析】由二倍角公式可rz得rtan2a=---------=------------—,再结合可求得sina=一，利Xll

cos2a1—2sin^a4

用同角三角函数根本关系即可求解.

csin2a2sinacosacosa

tan2a=---------=-------------——=-----------,

cos勿l-2sin^a2-sina

vae0,—,二.cosawO,「♦------；—=--------,解得sin。=一，

I2)l-2sirra2-sina4

r-—V15sina>/15

cosa=vl-sin~a=-----，/.tana=--------=------♦

4cosa15

应选A.

xX

4.(2021•高考全国乙卷•文T4)函数/(x)=sin§+c吟的最小正周期和最大值分别是()

A.3兀和0B.3兀和2C.6兀和01).6兀和2

【答案】C.

【解析】由题，/'(x)=、/Dsin(g+?),所以/(%)的最小正周期为，=4一=6"，最大值

为0.应选C.

TT57T

5.(2021•高考全国乙卷•文T6)cos?——cos2—=().

1212

A.-B.—C.—D.立

2322

【答案】D.

271257r77C7T7T।771.2乃

【解析】由题意，cos---cos--=cos---cos-=cos---sin--

1.414L4\乙L4JL4L乙

=cos—=.应选D.

62

6.(2021•浙江卷・T8)a,户,/是互不相同的锐角，那么在sinacos/?,sin/7cos7，sinycosa

三个值中，大于二的个数的最大值是0.

2

A.0B.1C.2D.3

【答案】C.

•22

【解析】法1：由根本不等式有sinacos/3<.一广P

Em.c,sin?尸+cos2y.sin2/+cos2a

H理sinpcosy<----二^-----」，sin/cosa<------------

3

故sinacos夕+sin尸cosy+sin/cosa-~f

故sincrcos/?,sinpcos/,sin/cosa不可能均大于­.

71717C

1lf(Za=—,,=/=—,

634

那么sinacos/?=；<g,sin/7cos/=^^>；,sinycosa=^->；，

故三式中大于二的个数的最大值为2,

2

应选：C.

法2：不妨设a<。<丫，那么cosa>cosy?>cosy,sinavsin/7vsin》,

由排列不等式可得：

sinacos/y+sic尸cosy4-sinycosa<sinacos/+sin/?cos/?4-sin/cosa,

13

而sinacos/4-sin/?cos/?+sin/cosa=sin(/+a)+—sin2/?<—

故sinacos/?,sincosy,sin/cosa不可能均大于’.

口71c冗n

取二二一,p=—,/=—

634

那么sinacos/3=；<g,sin/?cos/=>；,sinycosa=~^~>g，

故三式中大于二的个数的最大值为2,

2

应选C.

7.(2021•江西上饶三模•理T11.)函数/(x)=sincox(sina)x+cosa)x)(a)>0)在区间(0,it)

上恰有2个最大值点，那么3的取值范围是()

「

“f1119mrU19iJI191nf1119,

A.蜜’三也际，T)C.[T，T]D,(t.T1

【答案】A

【解析】f(x)=sina>x(sinwx+coswx)=sin23x+sin3xcos3x='。号蛆差电壬二

V2.兀一1

242

兀7TJT

*.*x6[0,it),「.2u)x----6(----»2G)7T---),

444

•.•函数/(X)在区间(0,TT)上恰有2个最大值点，

.5兀兀一9兀

>.---V2O)TI---.1-v19

242

•••3的取值范围是（耳,当

O8,

TT

8.（2021•安徽马鞍山三模•理T8.）函数yW§cos（3x+0）（3>0,|《^）的局部图

象如图，点A的坐标为（0,y）,那么年的值为（

71,71兀兀

BD

A-T-土飞"C~-1"

66

【答案】

由题意得x=0时产Fcos<p=,,得cos（p=返,

【解析】

22

TTTT

因为l<p|V-7「所以，

Z0

K

由“五点法〃画图知，应取叩=-二

0

TT

9.（2021•安徽马鞍山三模•文T9.）函数f（x）=Asin（3X？）（A>0,a）>0）,假设函数/

JT

（幻图象上相邻两对称轴之间的距离为〒，那么以下关于函数/5）的表达，正确的选

项是（）

TTjr

A.关于点（--,0）对称B.关于x二.对称

C.在（勺JT，勺IT）上单调递减D.在（-今JT，TT上单调递增

020lo

【答案】D.

TF

【解析】函数f（x）=Asin（3x?）（4>0,3>0）,假设函数/（外图象上相邻两对

]LQTT]L

称轴之间的距离为-3，所以T=---，故3=3,所以/（无）=Asin（3的■——）,

OOO

ITJTITTT

对于A：当时，f（―）=4sin（―-K—）W0,故A错误；

121234

ITJTTT

对于8：当工=:丁时，f=Asin（7T-k—）=

OoO

对于C：当（-~）时，3x+«1€一，—）»在该区间内先增后减，故c

□2oO0

7TTTTTTEJT

错误；对于o：当xE（耳，=）时，3X4E（/，勺），故函数在该区间上单

调递增，故。正确.

10.（2021•江苏盐城三模・T4）将函数的图象向左平移京个单位，得到函数g（x）的图象，假设xw

（0,⑼时，函数g（x）的图象在於）的上方，那么实数，"的最大值为

兀c2兀-5兀一兀

A-3B-TC.不D.不

【答案】C.

【考点】三角函数的图象与性质应用

【解析】由题意可知，g（x）=sin（%+5）,令sin/=sin（5+机解得;x+；x+*=E,所

7T

以x=E一%,代工,那么当xG（0,，"）时，假设要函数g（x）的图象在火x）的上方，那么，"Wx

=E—5，当无=0时，,"W",故答案选C.

11.（2021•河南郑州三模•理T8）数列90｝的通项公式是口=/（吟）,其中/（x）-sin（o）x+（p）

6

jr

（3>0,|隼|<二"）的局部图象如下图，Sn为数列｛如｝的前"项和，那么52021的值为（

A.-IB.0C.—D.

22

【答案】D.

【解析】由fix）的图像可得斗=/-2=亭，即有r=死

46124

—r/口2兀「/兀、,7T、

可得0）=一丁=2,又/=sin（2X~^+（p）=1,

7TJT兀

可得=2/CTT+--,kWZ,即有'（p=2/CTT+-—,k£Z,

623

由于|（p|<3,可得k=。,<p==,那么/（x）=sin（2x+3）,〃=/（耳二）=sin”兀：兀,

23363

因为。1+02+。3+。4+。5+。6=^^+0+（-+0+^^=0,

2222

所以$2021=336（。1+。2+。3+。4+。5+。6）+。1+。2+。3+。4+。5=0-=-

22

/、4cos（3x+。）

12.（2021•河南开封三模•理T7文T8）函数f（x）=-------前-----（a）>0,0<（p<n）的局部

图象如下图，那么卷=（〕

12

A.4B.IC.2D.三

2K

【答案】C.

【解析】由/(0)=0得：4cos(p=0,又OVcpViT,

jrjr

A(p=—,由图象可知，y=4cos(u)x+—)的周期为2,

2兀co—

:.T=八=2,/.a)=n,•,•-r-—71=2.

3(t)——

2

13.(2021•河南开封三模•文理T5)sin20二叵,那么cos2a=()

sinQ2

A.-B.-C.—D.0

844

【答案】B.

【解析】因为sin2a=&=2sina*os。，所以8sa=Y2,

sind2sina4

1Q

那么cos2a=2cos2a-1=2X—-1=--.

84

14.(2021•安徽宿州三模•理TIL)函数/(x)=sinx,函数g(x)的图象可以由函数/(x)

IT

的图象先向右平移二二个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的

3(3>0)得到.假设函数2g(x)=1在(0,n)上恰有3个零点，那么3的取值范

3

围是()

A.已，31B.q,3]C.祟芸D.31

O

【答案】8.

【解析】把函数/(x)=sinx的图象先向右平移2个单位长度，可得y=sin(x-2)的

66

图象；再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的3(3>0),得到y=sin

Cu

JT

(a)x--)=g[x)的图象.・・,函数2g(x)=1在(0,IT)上恰有3个零点，

6

TT1TTTTTT

即当xG(0,TT)时，sin(<DX-)=7；恰有3个解.结合a)x---e(-am--—),

62666

JTTT57T.,7

可得2n+-^-Vuni——^2TI+——，求得KVOJWB.

6663

15.(2021.•安徽宿州三模•文T10.)函数/(x)=sina)xcosa)x+^cos2a)x-^sin2a)x(a)>0)的

IT

最小正周期为-或，将其图像向左平移<p(<p>0)个单位长度后，得函数g(x)的图像,

假设函数g(x)为奇函数，那么⑴的最小值为()

K3兀5兀7兀

A.—B.三丁c.-5—D.

16161616

【答案】B.

【解析】f(x)=sinoi)xcosa)x+-^-cos2(jox-^-sin2cox,

11,兀、2兀兀

=­sin2o)x+—cos2a)x=--sin(2OJX+——J,T—.'.bi—2,

2224232

.,*/(x)=YRsin(23X+2)的图像向左平移<p(<p>0)个单位长度后，函数y=g(x)

24

的解析式为g(x)=Y0sin(4*+4年+卫-),,函数g(x)为奇函数，

24

冗3冗

..4(p+——=knkGZ,,・(p--kez,v<p>o,:.(p

fmin16

TTJT

16.(2021•河南焦作三模•理T10)假设函数/(x)=sin(a)x+—)(3>0)在上

o

71

单调，且在(0,—)上存在极值点，那么3的取值范围是()

O

11177

A.(—,2]B.[—,2]C.,—]D.[0,—]

32266

【答案】B.

TTTT1QTTTT

【解析】•・•函数/⑴=sin(s+-^)(3>0)在n)上单调，-7-,

TT

・・・0V3・2.且在(0,干)上存在极值点，

、[//八兀、q兀/兀3TT+7TG)TT+7TTT1

当xW(0,——)时，cox+——G,--------------),..--------------

3333322

那么3的取值范围为号2].

JTJT

17.(2021•河北张家口三模可12)函数f(x)=|si吃x|+sin-^(x-l)，那么以下结论正确的

选项是()

A.函数f(x)是偶函数

B.函数/(x)的最小正周期为2

C.函数/(x)在区间(1,2)存在最小值

D.方程/(x)=1在区间(-2,6)内所有根的和为10

【答案】AD.

JTTTJT兀

【解析】f(x)=|sin-^-xl+sin—(x-8)=Isirr^-：

TT

Af(-x)=|sinr^-(-x)|-cos^-(-x)-|sinr^-x-cos-7-x=f(x)，所以/(x)是偶函

6

数；B.因为/(0)=-l,/(0)杂(2),选项8错误;

7,/八/•/八八八L/八八、

C・当x€[1,■—x€兀)'(x)=sin-z--x-cos-r"x=v2sin(_z_x~)•

4NN4N3

因为—"E("~^~，—)'所以，(X)在区间⑵微~)'在区间("^92),所以f

J)在区间(6,不存在最小值；D.因为/(x)=/(x+4),当属(-2,6)时，

'JI'II'JITT,TT~

”-x£(一兀，0)f(x)=-sinr^-x-cos-^-x=^/2sin(-yx-^^)•因为

1i11QTT*JI

7.£(—~同理，可得f(x)在(。.因为/(0)=-2,/(-2)=f

2.14o

(2)=1,5)内有5个根.

又f(4-x);Isirr^-(4-x)|-cos^~(3-x)=|sinr^-x|-cos-^~x=f(x)

所以f(x)的图象关于直线x=8对称，所以方程/(x)=1在区间(-2,6)内所有根的

和为10.

18.(2021•河北张家口三模・T5)为了得到函数f(x)=sir4x+cos与的图象，可以将函数

OO

g(x)=V2cos^-x()

QJTIT

A.向右平移为单位长度B.向右平移」;个单位长度

44

C.向左平移4个单位长度D.向左平移2个单位长度

44

【答案】A

【解析】Vf(x)=sinJx+cos_1_x=V^cos("1_x-^_)=V§cos^"(x-??-).

...将函数gGhJIcosl'x的图象向右平移号

,可得了(X)的图象.

19.(2021•山东聊城三模・T10.)将函数y=sin2x+V3cos2x+1的图象向右平移看个单位长

度，再将所有点的横坐标缩短到原来的：，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，那么下面对函

数g(x)的表达中正确的选项是0.

A.函效g(x)的最小正周期为强.函数g(x)图象关于点(一卷,0)对称C.函数g(x)在区间［讨］内

单调递增D.函数g(x)图象关于直线％="对称

【答案】A,D.

【考点】三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的单调性，函

数y二Asin(u)x+(j))的图象变换.

【解析】由题意可得：函数y=sin2x+代cos2x+1=2sin(2x+；)+1,将其向右平移方个

单位可得y=2sin(2x-*+$+1=2sin(2x+^)+1,再将所有点的横坐标缩短到原来的［

倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图像，可得g(%)=2sin(4%+B)+1,

故可得函数g(x)的周期T=f=弓，A符合题意；令X=_j可得g()=0,故(一三,0)不

是函数g(x)的一个对称中心，B不符合题意；当工£覃自，可得4%+浮年，等卜由正弦函

数性质，可得函数g(x)=2sin(4x+-)+1在x6£勺不单调,C不正确；由g(二)=2sin-4-1=

6u42"122

3,可得是函数的对称轴，D符合题意；

故答案为：AD.

【分析】根据正弦型函数图像变换可得9(刈=25也(4%+§+1由周期公式可得人正确。B有

正弦函数对称性可得B错误。C由正弦函数周期性得C错误。D由正弦函数对称性得D正确。

20.(2021•四川内江三模•理T9.)函数/［x)=2sin(3x+(p)的局部图象如下图，函数图象与

y轴的交点为(0,-、后)，那么/(2021TT)=()

A.-«B.-乎C.堂D.M

【答案】A

【解析】根据函数/(x)=2sin(3X+(p)的局部图象，可得2sincp=-遮，

结合五点法作图，可.得---1~=与，故/(x)=2sin(3x-,

12723

f(2021IT)=2sin(4042n--)=一

21.(2021•重庆名校联盟三模・T10.)定义在实数集R的函数/(x)=Acos(o)/(p)A>0,o)

KK

>0,0<(p<n)的图象的一个最高点为(-不［3),与之相邻的一个对称中心为(―,

120

0),将/(幻的图象向右平移多1T个单位长度得到函数g5)的图象，那么()

6

A.f(x)的振幅为3B.f(x)的频率为IT

c.g(x)的单调递增区间为［-哈，H

JT

D.g(x)在［0,5］上只有一个零点

【答案】AD.

【解析】函数/(x)=AcosA>0,a)>0,0<(p<n)的图象的一个最高点为(-

TT-11TTTITTT

-777，3),与之相邻的一个对称中心为(二一，0)，所以c七77=/，所以3=2,

12646124

1LJL1LJLJI

当工=一^时，f(-7-)=3sin(U5-丑P)=°，解得年二一二;-，故/(x)=3sin(2x-—•).

66333

f(x)的图象向右平移=T二T个单位长度得到函数g(幻=3sin(2x-JOJ-l)的图象，

b3

故函数的振幅为3,函数的周期为m频率为士，故A周期，8错误；

当xE［-票，备］时，2乂片二£［吃］，一］，故函数在该区间上单调递减，故

JL/O/N

C错误，对于O：当x€［0,亏1时，，只存在x=w，g(―)=0,故。正确.

/OO

22.(2。21・安徽蚌埠三模.文加.)圆仁(亮)2+4叠p2go),假设抛物线氏卡

4

=2px与圆。的交点为4,B,且sinNA8C==那么p=()

5

A.6B.4C.3D.2

【答案】D.

22

【解析】设A(2，那么B(E_,-yo),由圆C：5+1)2+炉=孕2(

2P2P4.4y

2

>0),得圆心C(-1，0),半径r=号，所以。。=1+为_，因为NA8C=/6AC,

4242p

所以sinZ^fi(?=sinZgA(?=—^―=4+2p,所以cosNBAC=WAD迎

5AC显5而一曳’

T

4二4~^^

~5=5p

即1T解得yo=3,p=2.

3y0

5~5p

V

23.(2021•安徽蚌埠三模•文Til.)在曲线y=2sin”-x与y=2cos”-x的所有公共点中，任意

两点间的最小距离为()

A.2yB.2A/^C.2D.1

【答案】A.

\III1I1I1I

【解析】令2sin/-x=2cos—^-元，整理得tan?x=l，故x=k兀(依Z),

所以当k=0时,x="^"，当k=l时，％=5"，所以：当元=£时，y=即A,

当工="|"时,产即8=y,-后)，所以|A5|=J亚2:2网.

24.(2021•上海嘉定三模・T15.)曲线y=(sinx+cosx)?和直线丫得在y轴右侧的交点按横坐

标从小到大依次记为那么等于().

Pi,P2,P3,…,|P2P4|

A.7TB.271c.3nD.4H

【答案】A

【解析】由得，y=(sinx+cosx)2=l+sin2x,令y=l+sin2x卷，BPsin2x=-y»

.兀a5兀7T_p,5兀

那么2x=2k兀-k，^2x=2kH-^—,kez,BunP=kH-,或x=k兀-为，依z，

bbINxLN

・n,11兀1、n,23兀1s+(rIDDI—

..P2(1F'万)'PdF-'5)'故"l=m

25.(2021•辽宁朝阳三模・T10.)函数f(x)=tanx-sinxcosx,那么()

A.f(x)的最小正周期为nB./(x)的图象关于y轴对称

K

C.f(x)的图象关于(-丁，0)对称D.f[x)的图象关于(n,0)对称

【答案】ACD.

【解析】函数/(x)=taai--siiucosx,对于A：由于函数y=tanx的最小正周期为m函数

y=sinxcosx=/sin2x的最小正周期为口，故函数/行)的最小正周期为口，故A正确；对

于3：由于/(-x)=tan(-x)-sin(-x)cos1-x)=-(tanx-sirucosx)=-f(x),

TT

故函数的图象不关于y轴对称，故B错误；对于C：由于函数y=tan_t的图象关于胃，0)

ITJT

对称，函数y=sinxcosx的图象也关于(―,0)对称，故函数/(幻的图象关于(亏，

0)对称，故C正确；对于D：函数满足/(IT)=0,故。正确.

26.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T6.)将函数/5)=cos(2x+：)的图象向左平移;

44

个单位长度，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变)，得到函数)，=g

5)的图象，那么()

A.y=g(幻的图象关于点(4，0)对称

4

TT

B.y=g(幻的图象关于直线x=-丁对称

4

C.g5）的最小正周期为n

IT兀

D.g（x）在［二一，f］单调递减

63

【答案】A.

【解析】将函数/⑴=cos⑵+；TT）的图象向左平移IT;个单位长度，得：y=cos［25+；1T）

444

JT兀

+—］=-sin（2x+丁），再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

44

兀27T

得：g（x）=-sin（x+-—）,对于A：g（三一）="sirnr=O,故A正确，

44

7T一

对于8：g（——）=-sinO=OW±l,故3错误，对于C：g（幻的最小正周期是T=2ir,

4

故C错误，对于£＞：当3］时，令£=》+冬日笺-，%T，y=-sinr在［笑

0o41/1/12

詈］上不单调，故。错误.

KK

27.（2021•四川泸州三模•理T9.）/（幻=2sin（cox）［3＞0）满足f（丁+尤）+f（--x）

44

=0,那么3的取值不可能是（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】B.

TT11JI

【解析】因为/（丁+幻V（―-X）=0,所以/（X）关于（丁，0）对称，

444

JT

所以一匕r,依Z,所以3=4左，ZeZ,当4=1时，3=4,选项A满足题意:

4

当女=2时，3=8,选项。满足题意；当&=3时，3=12,选项£＞满足题意；

故3的取值不可能是6.

28.（2021•四川泸州三模•理T10.）函数y=sinx-2的图象大致是（）

X

【答案】B.

11TT

【解析】函数尸sinx----是奇函数，排除。，函数y'=cosx+—y,xe(0,—)时，yf

XX”2

JT9

>0,函数是增函数，排除4,并且元=丁时，y=l-^r>0,排除C.

29.(2021•江苏常数三模・T9.)如图是函数/(x)=Asin(3X+(p)(A>0,3>0)的局部图象,

那么()

A.函数y=/(x)的最小正周期为IT

B.直线X©•冗是函数y=/(x)图象的一条对称轴

0

C.点■兀，0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心

TT

D.函数y=f(x~丁)为奇函数

6

【答案】ACD.

1冗7rl

【解析】由图象可知，—T=(--)=>—H,即7=TT,故A选项正确，由公式可知

TZO3

97T9TETTTTJT

=-zr-=2>图象过最高点(下不，2)，故A=2,：f(-弁)=2sin(2X7不+@)=2,

1儿ININ1N

兀兀兀7T

+=~y+2k^,k€Z，即5=^-+2k兀，•'•/M=2sin(2x-^~+2k^)，

,/f(器)=2sin(2冗+2k冗)=(；.乂月匕不是/(x)的对称轴，故8选项错误，

66

••.(器，0)是函数/(X)图象的一个对称中心，故C选项正确，

0

/冗、n

y=f(x--)=sin[r2(zx­K]=2sin2x,

b6

令g(x)=2sin2x，Vg(-x)=2sin(-2x)=-2sin2x=-g(x),X9(0)=0,

・・・g(x)为奇函数，故。选项正确.

30.(2021•湖南三模・T12.)函数/5)=2asina)xcosa)x-2cos2oox+l(a)>0,«>0),假设了

(幻的最小正周期为m且对任意的xER,/(x)2八超)恒成立，以下说法正确的有(

7T广

A.o)=2B.假设刈=-丁，那么。=匾

6

TE

C.假设/(皿-一或)=2,那么

D.假设g⑴=/(%)-2|/5)|在5。-4，xo-0)上单调递减，那么348c军

424

【答案】BCD.

【解析1f(x)=24/sincoxcosa)x-2cos2a)x+1=asin2co文-cos2o)x=^]+&2「(2cox-cp),

因为75)的最小正周期为m故3=1,4错误；因为对任意的nWR,f(x)2/(xo)恒

TT11JI

成立，所以/(即)为函数/⑴的最小值，假设冲=-丁，那么-F--(p=—+2k冗，

632

依Z,所以(p=3—2k兀，依z,所以。(^中二返二了旦万，解得“=«,B正确;

62Vl+a”

jr,

因为/(初)为函数/(外的最小值，所以/(刈丁)为函数/(幻的最大值，即41+a2

oJC冗

=2,所以a=«,C正确；xE(xo----,xo-时，>0,g(幻=-f(x),

因为『(X)在(次-工+，X0-