福建省泉州市南安第三中学高三数学文联考试题含解析

福建省泉州市南安第三中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线的方程为，，．有四个命题：①若，则点、一定在直线的同侧；②若，则点、一定在直线的两侧；③若，则点、一定在直线的两侧；④若，则点到直线的距离大于点到直线的距离．上述命题中，全部真命题的序号是……（

）A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①②③④参考答案：B①若,则或，所以点、一定在直线的同侧所以①正确。②若，则或，所以点、一定在直线的异侧，所以②正确。③若，则，当，也成立，但此时，点、在直线上，所以③错误。④若，则，即，则点到直线的距离为，点到直线的距离，所以，所以④正确。所以全部正确的是①②④，选B.2.已知函数的图象如图所示，则函数的图像可能是（

）

参考答案：C略3.函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是(

) A．f（x）=x+sinx B． C．f（x）=xcosx D．参考答案：C考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的图象的奇偶性、定义域、验证函数的表达式，排除部分选项，利用图象过（，0），排除选项，得到结果．解答： 解：依题意函数是奇函数，排除D，函数图象过原点，排除B，图象过（，0）显然A不正确，C正确；故选C点评：本题是基础题，考查函数的图象特征，函数的性质，考查学生的视图能力，常考题型．4.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是

（

）A．

B．

C．D．参考答案：C略5.已知函数（）．（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；（2）当时，是否存在正实数，当（是自然对数底数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；参考答案：（1）最大值是，最小值为；（2）.试题分析：（1）先求出导函数，在求出的单调区间，进而求得极大值与极小值，比较端点值可得最大值与最小值；（2）当时，分三种情况讨论函数的单调性，进而求出函数的最小值（用表示），令其等于即可求出的值.1故函数在最大值是，又，故，故函数在上的最小值为．（2）（ⅰ）（ⅱ）考点：1、利用函数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的极值及最值.6.若数列的前n项的和，那么这个数列的通项公式为（

）A.

B.C.

D.参考答案：D略7.椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．8.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个参考答案：B【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，即可得到各顶点的坐标，利用两点间的距离公式即可得出．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），∴=（﹣3，﹣3，3），设P（x，y，z），∵=（﹣1，﹣1，1），∴=（2，2，1）．∴|PA|=|PC|=|PB1|==，|PD|=|PA1|=|PC1|=，|PB|=，|PD1|==．故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，共4个．故选：B．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系及两点间的距离公式是解题的关键．9.已知双曲线满足条件：（1）焦点为；（2）离心率为，求得双曲线的方程为．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线的方程仍为，则下列四个条件中，符合添加的条件共有（

）①双曲线上的任意点都满足；②双曲线的—条准线为③双曲线上的点到左焦点的距离与到右准线的距离比为④双曲线的渐近线方程为A．1个

B．2个

C．3个 D．4个参考答案：答案：B10.函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：B【考点】三角函数的最值．【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得y=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣）2+，由?[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是方程的两个虚根，且，则实数的值为

参考答案：12.设，则的最大值为

.参考答案：13.已知平行四边形中，，，则平行四边形的面积为

．参考答案：14.函数的导函数的部分图像如图所示，其中，P为图像与y轴的交点，A，C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.若时，点P的坐标为，则______.参考答案：3【分析】对原函数求导，得到导函数解析式，利用点在图像上，代入求出结果【详解】，当时，点的坐标为时解得故答案为3【点睛】本题主要考查了三角函数的图象，需要先运用求导法则求出导函数，然后再计算，较为基础15.若，则的取值范围是____________

参考答案：16.命题“?x＞0，x2+x﹣2＞0”的否定是

．参考答案：?x＞0，x2+x﹣2≤0【考点】命题的否定．【专题】计算题；转化思想；简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“?x＞0，x2+x﹣2＞0”的否定是：?x＞0，x2+x﹣2≤0．故答案为：?x＞0，x2+x﹣2≤0．【点评】本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．17.设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣2a，若f（x）为R上的“2011型增函数”，则实数a的取值范围是

．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可以得到再由定义存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．对所给的问题分自变量全为正，全为负，一正一负三类讨论，求出参数所满足的共同范围即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣2a，∴又f（x）为R上的“2011型增函数”，当x＞0时，由定义有|x+2011﹣a|﹣2a＞|x﹣a|﹣2a，即|x+2011﹣a|＞|x﹣a|，其几何意义为到点a小于到点a﹣2011的距离，由于x＞0故可知a+a﹣2011＜0得a＜当x＜0时，分两类研究，若x+2011＜0，则有﹣|x+2011+a|+2a＞﹣|x+a|+2a，即|x+a|＞|x+2011+a|，其几何意义表示到点﹣a的距离小于到点﹣a﹣2011的距离，由于x＜0，故可得﹣a﹣a﹣2011＞0，得a＜；若x+2011＞0，则有|x+2011﹣a|﹣2a＞﹣|x+a|+2a，即|x+a|+|x+2011﹣a|＞4a，其几何意义表示到到点﹣a的距离与到点a﹣2011的距离的和大于4a，当a≤0时，显然成立，当a＞0时，由于|x+a|+|x+2011+a|≥|﹣a﹣a+2011|=|2a﹣2011|，故有|2a﹣2011|＞4a，必有2011﹣2a＞4a，解得

综上，对x∈R都成立的实数a的取值范围是故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C1的极坐标方程为，以极点O为直角坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，将曲线C1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到曲线C2（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）已知直线l的参数方程为，（t为参数），点Q为曲线C2上的动点，求点Q到直线l距离的最大值.参考答案：(1)(2)【分析】（1）先化为，利用变换得即可；（2）设，得求最大值即可.【详解】（1）由得，所以曲线的方程为，

设曲线上任意一点，变换后对应的点为，则即

代入曲线的方程中，整理得,所以曲线的直角坐标方程为；（2）设，则到直线：的距离为，其中为锐角，且，当时，取得最大值为，所以点到直线l距离的最大值为．【点睛】本题考查极坐标与直角坐标互化，图像变换，点到直线距离，熟记图像变换原则，熟练计算点线距是关键，是中档题.19.已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有3an=2Sn+3成立．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据数列的递推公式即可求出数列{an}为等比数列，（2）根据对数的运算性质可得bn=n，【解答】解：（1）在3an=2Sn+3中令n=1得a1=3，当n≥2时，3an=2Sn+3…①，3an﹣1=2Sn﹣1+3…②，①﹣②得an=3an﹣1，∴数列{an}时以3为首项，公比为3的等比数列，∴an=3n，（2）bn=log3an=n，数列{bn}的前n项和Tn=1+2+3+…+n=．20.为了弘扬民族文化，某校举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了100名考生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计制表，其中成绩不低于80分的考生被评为优秀生，请根据频率分布表中所提供的数据，用频率估计概率，回答下列问题．分组频数频率[50，60）50.05[60，70）a0.20[70，80）35b[80，90）250.25[90，100）150.15合计1001.00（I）求a，b的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率；（Ⅱ）按频率分布表中的成绩分组，采用分层抽样抽取20人参加学校的“我爱国学”宣传活动，求其中优秀生的人数；（Ⅲ）在第（Ⅱ）问抽取的优秀生中指派2名学生担任负责人，求至少一人的成绩在[90，100]的概率．参考答案：【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由频率分布表得，由此能求出a，b的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率．（Ⅱ）按成绩分层抽样抽取20人时，由随机抽取一考生恰为优秀生的概率能求出优秀生应抽取的人数．（Ⅲ）8人中，成绩在[80，90）的有5人，成绩在[90，100]的有3人，从8个人中选2个人，结果共有n==28种选法，其中至少有一人成绩在[90，100]的情况有两种：可能有1人成绩在[90，100]，也可能有2人成绩在[90，100]，由此能示出至少一人的成绩在[90，100]的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表得：，解得a=20，b=0.35，由频率分布表可得随机抽取一考生恰为优秀生的概率为：P=0.25+0.15=0.4．（Ⅱ）按成绩分层抽样抽取20人时，优秀生应抽取20×0.4=8人．（Ⅲ）8人中，成绩在[80，90）的有：20×0.25=5人，成绩在[90，100]的有：20×0.15=3人，从8个人中选2个人，结果共有n==28种选法，其中至少有一人成绩在[90，100]的情况有两种：可能有1人成绩在[90，100]，也可能有2人成绩在[90，100]，所以共有5×3+3=18种，∴至少一人的成绩在[90，100]的概率．21.（本小题满分12分）甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第一名至第五名的名次．比赛之后甲乙两位参赛者去询问成绩，回答者对甲说“根遗憾，你和乙都投有得到冠军”，对乙说“你当然不会是最差的”．(I)从上述回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同的情况；(Ⅱ)比赛组委会规定，第一名获奖金1000元，第二名获奖金800元，第三名获奖金600元，第四及第五名没有奖金，求丙获奖金数的期望．参考答案：22.(1)给定正整数n5,集合An=.是否存在一一映射:AnAn满足条件：对一切k(1

kn－1),都有k|(1)+(2)+……+(k)?

(2)N*为全体正整数的集合,是否存在一一映射:N*

N*满足条件：对一切kN*,都有k|(1)+(2)+……+(k)?证明你的结论.注:映射:AB称为一一映射,如果对任意bB,有且只有一个aA使得(a)=b.题中“|”为整除符号.参考答案：解析：(1)不存在.

(5分)记Sk=.当n=2m+1时(m2),由2m|S2m及S2m=

－(2m+1)得(2m+1)m+1(mod2m),但(2m+1)A2m