高中数学-向量数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计（一）．创设问题，引入新课

1、复习向量的加法、减法，采用提问的形式问题1：向量加法的运算法则，及几何意义？问题2：向量减法的运算法则，及几何意义？学生回答后，再通过多媒体上的图像让学生更加直观感受。向量加法三角形法则特点：首尾相接，首尾连向量加法平行四边形法则特点：同起点,连对角向量减法三角形法则特点：共起点，连终点，方向指向被减向量思考：已知非零向量，作出++和（）+（）+（），你能说明它们的几何意义吗？观看PPT，学生思考：问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？问题2：这些变化与那些因素有关系？学生回答，3与方向相同，|3|=3||；-3与方向相反，|-3|=3||（二）新课讲解1、向量的数乘运算及其几何意义请同学们根据上述两个特殊向量的分析，进一步拓展，从而引导学生得出一般结论，也为理解平面向量共线定理埋下伏笔。结论：一般地，我们规定实数λ与向量（）的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ，该向量的长度、方向与向量有什么关系？

（1）|λ|=|λ|||；

（2）当λ>0时，λ与方向相同；

当λ<0时，λ与方向相反；

当λ=0时，λ=（向量还是实数？）.

练一练：课本90页，练习2,3

2．向量的数乘运算律

探究：（1）3（）=（32）=得3（）=（32）（2）（2+3）=2+3=得（2+3）=2+3（3）2（+）2+2学生猜想：λ（μ）=（λμ）；（λ＋μ）=λ＋μ；λ（＋）=λ＋λ.

学生讨论各式的几何意义。结论：一般地，设λ，μ为实数，那么结合律：λ（μ）=（λμ）第一分配律：（λ＋μ）=λ＋μ第二分配律：λ（＋）=λ＋λ.特别地，我们有（-）=-（）=（-）λ（-）=λ-λ.学生讨论各式的几何意义，回答讨论结果。结论：（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。

（2）对于任意向量、，以及任意实数λ、、，恒有λ（±）=λ±λ仍是向量

[设计意图]提出设问：以前一学到运算时，一般离不开运算律。既然向量数乘运算是一种运算，那么是否有运算律呢？接着引导学生类比实数的运算律，得出向量数乘运算律，培养学生的类比、迁移和归纳能力。

3、典例剖析例1．计算：

（1）（－3）×4；（2）3（＋）－2（-）－；（3）（2+3-）-（3-2+）练一练：课本90页，练习5熟悉并巩固向量数乘的运算律。4．平面向量共线定理

[学情预设]若直接讨论共线的充要条件，会显得难度较大，为此创设两个问题，以求降低学习难度。

问题1：对于向量（≠）与，若存在实数λ，使=λ，则向量与的方向有什么关系？

共线向量（平行向量）

当λ>0时，λ与方向相同；

当λ<0时，λ与方向相反；

当λ=0时，λ=.

问题2：若向量（≠）与共线，则一定存在实数λ，使=λ成立吗？

[设计意图]讨论平面向量共线定理的“充分性”与“必要性”为接下来的“概括、整合”作准备；同时让学生感受到成功的喜悦与数学的“和谐之美”。

结论：向量共线定理向量（≠）与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λ即：（≠）与共线=λ思考:1)为什么要是非零向量?2)可以是零向量吗?练一练：课本90页，练习45．典例剖析ABCD例2．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且，，你能用、来表示、、、ABCDABCDE例3．如图：已知,，试判断与是否共线。ABCDE熟悉并巩固向量共线定理的正用、逆用，进而加深对定理的理解。例4．如图，已知任意两个非零向量、，试作=+，=+2，=+3.

你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？[学情预设]学生看到这个题目也许思维发散，不知道如何判断A、B、C三点之间的位置关系，这样就无法达到老师的预设与生成的目的，这时教师要引导学生思考，让学生从广阔的想象空间中回到预设的方向上来。此外教师还可用多媒体动画显示三点位置关系，使学生的思维汇集于三点共线问题上。

[设计意图]设计这个题目的目的是，①让学生在猜想的基础上加以验证，减少证明难度；②强调用定理可以证明三点共线问题。

师生共同完成该题，老师板书步骤，并由学生归纳证明三点共线的方法步骤。进而有学生完成变式练习。6．课堂小结

（1）掌握：向量数乘的定义及其运算律；

（2）理解：向量共线定理（≠）

（≠）与共线=λ；

（3）理解：向量共线定理的应用

Ⅰ.证明向量共线；

Ⅱ.证明三点共线：且有公共点Ｂ,则A，B，C三点共线；

7．课后作业课本P91：4、9、10；P92：3

学情分析学生已明确向量是有大小和方向的量，且已学过向量的加、减法，学生具备了一定的独立思考、合作探究的能力，对于这种有方向的量能否与实数进行乘法运算有些疑问，且“相乘后方向如何判断呢？”，这也就是本节课知识产生的背景。通过熟知的实数乘法作类比，探究向量数乘的含义，让学生在此过程中，体验数学知识的产生、发展、成熟和应用的过程。充分发挥学生主观能动性，进而达到预期的教学效果。效果分析本节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研”的研讨式学习方法。这样做，能让学生增加主动参与的机会，增强了合作意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法；这样做，还能让学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”；这样做，更能让我们的教与学适应新课程背景下培养“创新型”人才的需要。

此外，本节课的设计还注重了多媒体辅助教学的有效作用，在复习引入，定理的探究以及定理的运用等过程中，力求恰到好处地使用多媒体，达到传统教学与网络教学优势互补的效果。教材分析1．教学内容：《高中数学必修4》中第二章“向量数乘运算及其几何意义”这一节，在新课标中主要内容有三方面：①向量数乘运算及其几何意义的含义；②数乘运算的运算律；③平面向量共线定理。

2．地位与作用：向量数乘运算是学习向量其他运算以及空间向量的基础，也是解决平面解析几何、立体几何、三角函数、复数的重要工具。因此，本节课的教学活动将对后续课程起着桥梁作用。教材通过复习引入新课，并通过三个思考探究，完成本节课的教学活动。

观评记录在课堂实施过程中，教学思路清晰、明确，学生对问题的回答也比较踊跃，并能对问题的解法提出自己的不同观点，找出最简单、有效的解决方法，教学方式符合教学对象。课堂上能及时以总结的方式对学过的知识加以巩固，起到了很好的巩固效果。

在教学方式上采用自主探索，创造性解决问题，并激发学生积极主动参与课堂活动，提高学生学习数学的兴趣，使学生在活动过程中，积极探索发现，课堂气氛热烈，学生思维活跃，课堂效果很好，同时向学生渗透探究发现的学习方法，培养他们在合作中共同探索新知识，解决新问题的能力。整节课务实高效，各个环节流畅紧凑，充分体现出学为主体、教为主导、真正把课堂放手给学生的教学理念，师生互动和谐默契，课堂效果很好。评测练习1．化简（1）5(2-2)+4(2-3）（2）6(-3+)－4(-+-)（3）[(3-2)+5-(6-9)]（4）(x-y)(+)-(x-y)(-）ABCDE2.如图，在中，是的中点，是延长线上的点，且，是根据下列要求表示向量：ABCDE（1）用、表示；（2）用、表示.3.设、是两个不共线向量，已知，，若、、三点共线，求的值.课后反思我在这节课上主要采取了教师引导，学生通过自己熟悉的物理知识感受数乘运算的几何意义，在此基础上抽象出向量数乘的定义，符合从特殊到一般的认识规律。向量运算律的教学，主要是运算律的发现与验证，通过学生对运算律特例的观察进而猜想出一般结论，这样直观验证的教学设计比较符合学生的实际水平，也有助于培养学生的猜想探究能力。向量共线定理的发现不困难，主要是应用，针对这个问题我用了两个例题加深学生对定理的深入认识。通过这节课自己也发现自身需在语言上更加简洁，还要不断学习先进的教学理念，在教学方法上还要不断钻研，让自己的课堂更具感染力，充分调动学生的学习活力，真正成为高效课堂。课标分析根据新课标要求并结合学生具体实际，设计以下三维目标：

1．知识与技能

⑴掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行简单的计算。

⑵理解向量共线定理及其推导过程，会应用向量共线定理判断或证明两个向量共线、三点共线等简单问题。

2．过程与方法