第十二章 超静定问题

第十二章超静定问题第一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五§12–2弯曲超静定问题第十二章超静定问题§12-1拉压超静定问题§12–4对称与反对称问题§12–3用力法求解超静定问题第二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五一、超静定问题（静不定问题）1、概念

只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题.2、分类：外力静不定

§12-1拉压超静定问题ABCACDB外内静不定ACDB内力静不定第三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五二、超静定问题求解方法1、变形比较法（拉压、弯曲超静定）2、力法3、位移法4、三弯矩方程3、超静定的次数

未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数.n=全部未知力的个数-独立平衡方程的数目第四页，共四十八页，编辑于2023年，星期五三、利用变形比较法求解拉压超静定问题的步骤(1)确定静不定次数；列静力平衡方程(2)根据变形协调条件列变形几何方程(3)将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程(4)联立补充方程与静力平衡方程求解第五页，共四十八页，编辑于2023年，星期五

例题1设1、2、3三杆用绞链连结，如图所示,l1=l2=l，A1

=A2=A,E1=E2=E,3杆的长度l3

,横截面积A3

,弹性模量E3

.试求在沿铅垂方向的外力F作用下各杆的轴力.

CABDF123xyFAN2N3N1解：（1）列平衡方程这是一次超静定问题﹗第六页，共四十八页，编辑于2023年，星期五（2）变形几何方程由于问题在几何，物理及受力方面都是对称，所以变形后A点将沿铅垂方向下移.变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起﹗CABDF123CABD123A'xyFAN2N3N1第七页，共四十八页，编辑于2023年，星期五

变形几何方程为A123┕┕CABDF123CABD123A'A'(3)补充方程物理方程为第八页，共四十八页，编辑于2023年，星期五(4)联立平衡方程与补充方程求解CABDF123A123┕┕A'第九页，共四十八页，编辑于2023年，星期五例题2图示平行杆系1、2、3悬吊着横梁AB(AB的变形略去不计)，在横梁上作用着荷载F。如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A，l，E.试求1、2、3三杆的轴力N1，N2，N3.ABCF3aal21第十页，共四十八页，编辑于2023年，星期五ABCF3aal21FABC3aa21FN1FN2FN3Fx解：(1)平衡方程这是一次超静定问题，且假设均为拉杆.第十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五(2)变形几何方程物理方程ABCF3aal21ABC321

(3)补充方程第十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五ABCF3aal21ABC321(4)联立平衡方程与补充方程求解（受拉）（受压）（受拉）第十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五图示AB杆，实际长度为l+，将该杆放入长度为l的装置中时，杆将处于图中位置，因而产生轴向压力。这种附加的内力就称为装配内力.与之相对应的应力称为装配应力.四、装配应力ABlRBABl第十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期五

例题3两铸件用两根钢杆1,2连接，其间距为l=200mm.现要将制造得过长了e=0.11mm的铜杆3装入铸件之间，并保持三根杆的轴线平行且等间距a.试计算各杆内的装配应力.已知：钢杆直径d=10mm，铜杆横截面积为2030mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa.铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体.ABC12aaB1A1C1l3C1C'e第十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期五(1)变形几何方程为l3C1eC''l3ABC12B1C1A1l1l2=第十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期五aax(3)补充方程(4)平衡方程(2)物理方程C'A'B'FN3FN1FN2联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力，进而求出装配应力.第十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期五五、温度应力例题4图示等直杆AB的两端分别与刚性支承连结.设两支承的距离（即杆长）为l，杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为

E，线膨胀系数为

.试求温度升高T时杆内的温度应力。温度变化将引起物体的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形，不会引起构件的内力，但在超静定结构中变形将受到部分或全部约束，温度变化时往往就要引起内力，与之相对应的应力称为热应力(thermalstresses）或温度应力(temperaturestresses)ABl第十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期五解

这是一次超静定问题变形相容条件是，杆的总长度不变.即杆的变形为两部分，即由温度升高引起的变形lT

以及与轴向压力FR相应的弹性变形

lFAB'lTABlB'ABlFFRAFRB第十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期五(1)变形几何方程(3)补充方程(4)温度内力ABlAB'lT(2)物理方程由此得温度应力B'ABlFFRAFRB第二十页，共四十八页，编辑于2023年，星期五基本概念

1.超静定梁单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁,称为超静定梁FABABCFRARBRC

§12-2弯曲超静定问题2.“多余”约束多于维持其静力平衡所必需的约束第二十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五3.“多余”反力“多余”与相应的支座反力RBABCFFABRARC4.超静定次数超静定梁的“多余”约束的数目就等于其超静定次数.n=未知力的个数-独立平衡方程的数目第二十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五二、用变形比较法求解超静定梁的步骤1、画静定基建立相当系统：将可动绞链支座作看多余约束,解除多余约束代之以约束反力RB.得到原超静定梁的基本静定系.2、列几何方程——变形协调方程超静定梁在多余约束处的约束条件，梁的变形协调条件ABqqABRB根据变形协调条件得变形几何方程：变形几何方程为第二十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五

3、列物理方程—变形与力的关系

查表得qAB将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程4、建立补充方程BARBqABRB第二十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期五补充方程为由该式解得5、求解其它问题（反力、应力、变形等）qABqABBARBRBRAmA求出该梁固定端的两个支反力第二十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期五代以与其相应的多余反力偶mA

得基本静定系.变形相容条件为请同学们自行完成！取支座A处阻止梁转动的约束为多余约束.ABqlABqlmA方法二:第二十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期五几何方程

——变形协调方程：解：建立静定基=例5

结构如图，求B点反力。LBCq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB第二十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期五=LBCq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程——变形与力的关系补充方程求解其它问题（反力、应力、

变形等）第二十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期五ABqqABRB设

§12-3用力法求解超静定问题第二十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期五A1设推广得：其中：表示所有的多余约束反力与其在1方向单位位移的乘积；表示外力在1方向的位移。第三十页，共四十八页，编辑于2023年，星期五所以有：(正则方程）第三十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五例6已知P,a求B处的约束反力X1,作内力图。C1ABC（a）xaABC（b）xx2pBaaABPPaaAX1第三十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五解：(a)(b)第三十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五弯矩图第三十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期五例7已知P,a求B处的约束反力X1,X2。BaaAPBaaAPX1X21ABC（b）a1ABC（a）第三十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期五解：(a)(b)(c)（c）ABCPx第三十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第三十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期五例8MaaACBX1解:ACB1x2x1MaaACBx1x2第三十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期五利用对称性，静不定次数可以降低

结论：对一个对称结构，如果作用的载荷也是对称的，那么在对称面上，其反对称内力必为0；如果作用的载荷是反对称的，那么在对称面上，其对称内力必为0。对称内力：轴力N，弯矩M反对称内力：剪力Q，扭矩TPPPPPNMPQP

§12-4对称与反对称问题第三十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期五例9ABCDpppNNMM两次对称根据对称性N=P/2M=X1C变形协调方程：C截面的相对转角为0。（特殊：此题中C截面的绝对转角也为零。）第四十页，共四十八页，编辑于2023年，星期五P/2C1C第四十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五()任意截面弯矩方程：方法总结：结构是对称的，作用的荷载两种，对称和反对称。变形协调方程都是在对称面上，此时必须是相对位移或相对转角为0。第四十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五例10PPaa2aA对称截面A截开后，静不定次数为1次。A截面延垂直方向相对位移为0。Q=X1PAPABx1x2CAB1x2Cx1第四十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五解：第四十四页，共四十八页，编辑于2023年，