函数的平均变化率

函数的平均变化率

主讲人：张俊男单位：大连市第三中学Part

1引入新知3问题引入德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：4问题引入以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图．“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，下降的速度是怎样变化的？5引入新知物理中的变化率我们在物理中已经学过：变化率是描述变化快慢的量.例如，速度是用来衡量物体运动快慢的，速度等于位移的变化量与发生这一变化所用时间的比值，即加速度是用来衡量速度变化的快慢，加速度等于速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值，即6引入新知定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称________为直线AB的斜率；直线的斜率当x1＝x2时，称直线AB的斜率____不存在;若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为____;平面直角坐标系中的三点共线,当且仅当任意两点确定的直线斜率________或都________都相等不存在7直线的斜率公式及应用例1.已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1),当m为何值时，直线l的斜率为1？

变式1.已知点A(a,5),B(3,4),C(-3a,2)在同一条直线上，求实数a的值.解析：由

解得解析：由，得

解得8引入新知观察函数图像上任意两点连线的斜率符号与函数单调性之间的关系，并总结一般规律.平均变化率与函数的单调性可以看出，函数递增的充要条件是图像上任意两点连线的斜率都大于0，函数递减的充要条件是图像上任意两点连线的斜率都小于09引入新知若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则：(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是________在I上恒成立；(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是________在I上恒成立.一般地，当x1≠x2时，称为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．平均变化率与函数的单调性10引入新知注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2).平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2，2]上的图像先下降后上升，值域是[0，4].平均变化率的几何意义是函数y＝f(x)图像上的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))连线所在直线的斜率．11求函数平均变化率例2．如图,函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为(

)A．1

B．-2

C．2D.-1答案：D12求函数平均变化率变式2.已知函数f(x)＝2x2＋3x－5,当x1＝4,且Δx＝1时,求函数在上的平均变化率.解析：13利用平均变化率证明函数单调性例3.判断函数在

上的单调性.并用平均变化率给予证明.当时，有，从而，因此在上是增函数.当时，有，从而，因此在上是减函数.解析：任取,且则14利用平均变化率证明函数单调性归纳提升：利用函数的平均变化率证明单调性的步骤(1)任取x1，x2∈D，且x1≠x2.(2)计算Δf＝f(x2)－f(x1)，.(3)根据x1，x2的范围判断的符号，确定函数的单调性．15利用平均变化率证明函数单调性当时，有，因此在上是增函数.变式3.已知函数(1)判断函数在区间

上的单调性，并用平均变化率证明其结论．(2)求函数

在区间[2,9]上的最大值与最小值．解析：任取,且则16利用平均变化率证明函数单调性变式3.已知函数(1)判断函数在区间

上的单调性，并用平均变化率证明其结论．(2)求函数

在区间[2,9]上的最大值与最小值．解析：

(2)由(1)知函数f(x)在区间[2,9]上是增函数，故函数f(x)在区间[2,9]上的最大

值为；最小值为

Part

2知识运用18平均变化率的应用例如，如果向给定的容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，那么容器内水面的高度y是时间t的函数。当容器是下图（1）所示的圆柱时，函数的图像应该是？

当容器是下图（1）所示的圆柱时，在固定的Δt时间内，Δy应该是常数，因此函数的图像是如下图（2）所示的一条线段.19平均变化率的应用当容器是如下图（1）所示圆台时，函数的图像应该是？

当容器是如下图（1）所示圆台时，由容器的形状可知，在固定的Δt时间内，随着t的增加，Δy应该越大，因此函数的图像如图（2）所示.20平均变化率的应用例4.李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：

如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么

杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是(

)答案：B21平均变化率的应用例5.已知

为定义在（-1,1）上的函数,若对任意的

且,

不等式

恒成立,且满足,求a的取值范围.

解析：由题意可知，在上单调递减，所以：

解得22平均变化率的应用例6.解析：由题意可知，在上单调递增，所以：

解得若函数

对任意的

且,都有

,则a的取值范围为？Part

3课堂小结24课堂小结平面直角坐标系中的三点共线,当且仅当任意两点确定的直线斜率都相等或都不存在.一般的，给定平面直角坐标系中的任意两点A(