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文档简介

第四章正交矩阵第一页，共二十一页，编辑于2023年，星期五2一、的标准正交基和正交矩阵平面上通常选择坐标轴上的单位向量(1,0)和(0,1)组成的所谓标架对于平面上的所有向量进行分解.为了研究几何问题有时需要旋转这个标架得到新的标架,这两个向量仍然正交,并且长度为1.这样的向量组称为标准正交基.定义

中的n个向量的向量组,如果两两正交,并且每个向量的长度为1,则称为一个标准正交基.

第二页，共二十一页，编辑于2023年，星期五3第三页，共二十一页，编辑于2023年，星期五4经典标架绕z轴旋转第四页，共二十一页，编辑于2023年，星期五5我们知道一个标准正交基必定是一个线性无关的向量组,而n+1个n维向量必定线性相关,故每个n维向量必定可以用标准正交基线性表示设是一个标准正交基,组成行列式第五页，共二十一页，编辑于2023年，星期五6定义如果则称Q为正交矩阵.第六页，共二十一页，编辑于2023年，星期五7对于正交矩阵Q,所以有正交矩阵等价定义列向量组是标准正交基行向量组是标准正交基第七页，共二十一页，编辑于2023年，星期五8例设A是n阶正交矩阵，则对于任意n维向量x有证明例若对于任意n维向量x有则对于任意n维向量有证明第八页，共二十一页，编辑于2023年，星期五9例若对于任意任意n维向量x有则A是正交矩阵.证明记A的列向量为为的标准基,则根据上个例题,即A的列向量组成的一个标准正交基,故A为正交矩阵.第九页，共二十一页，编辑于2023年，星期五10例设是的一个标准正交基,向量则证明第十页，共二十一页，编辑于2023年，星期五11二、两组标准正交基之间的过渡矩阵设和是的两个标准正交基,并且有关系Q

的列向量正交,Q为正交矩阵.

定理两组标准正交基之间的过渡矩阵为正交矩阵第十一页，共二十一页，编辑于2023年，星期五12定理正交矩阵的行列式等于±1.证明定理正交矩阵P,Q的乘积PQ是正交矩阵.证明三、正交矩阵的性质第十二页，共二十一页，编辑于2023年，星期五13行向量组是标准正交基列向量组是标准正交基正交矩阵的等价性质第十三页，共二十一页，编辑于2023年，星期五14四施密特标准正交基的求法定理对于一个线性无关的向量组,可以求得一个等价的正交向量组,并且过渡矩阵为三角矩阵.证明设是线性无关向量组,取取与正交,即取一般地,令第十四页，共二十一页，编辑于2023年，星期五15第十五页，共二十一页，编辑于2023年，星期五16以s=3为例,说明合理性有意义.可用线性表示.而可用线性表示.否则，可用线性表示,此与线性无关矛盾.第十六页，共二十一页，编辑于2023年，星期五17第十七页，共二十一页，编辑于2023年，星期五18证明任意两个正交设互相正交，则对于第十八页，共二十一页，编辑于2023年，星期五19例设为的一组基，将其化为标准正交基。解先正交化，再标准化，第十九页，共二十一页，

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