新北师大版第9章第1节基本计数原理排列与组合作业

课时精练(五十五)基本计数原理、排列与组合[基础达标练]1．(2022·重庆模拟)从2个小孩，2个中年人，2个老人组成的6人中随机抽取3人做一个游戏，则这3人恰好有1个小孩，1个中年人，1个老人的抽取方法为()A．8 B．48C．15 D．16A这3人中恰好有1个小孩，1个中年人，1个老人结果数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))A.2．“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China又可以简写为CN，从“CNDream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有()A．360种 B．480种C．600种 D．720种C从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝600(种).故选C.3．(2023·全国模拟)高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一、二、三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数是()A．72 B．144C．48 D．36A先将选择性必修有一、二、三这三本书排成一排，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6种方法，再将必修一、必修二这两本书插入两个空隙中，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝12种方法，所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数是：6×A.4.(2022·合肥模拟)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()A．8种 B．14种C．20种 D．116种B按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲、乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))·Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝3×2＝6(种)可能；②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))·Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝2×4＝8(种)可能；根据分类加法计数原理，共有6＋8＝14(种)可能．故选B.5．(2022·内蒙古海拉尔模拟)《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著．该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数．某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案种数为()A．108 B．136C．126 D．240C分以下两种情况讨论：①若甲只收集一种算法，则甲有3种选择，将其余4种算法分为3组，再分配给乙、丙、丁三人，此时，不同的收集方案种数为3Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝108(种)；②若甲收集两种算法，则甲可在运筹算、成数算和把头算3种算法中选择2种，其余3种算法分配给乙、丙、丁三人，此时，不同的收集方案种数为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝18(种).综上所述，不同的收集方案种数为108＋18＝126(种).故选C.6．(多选题)下列等式正确的有()A．Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(n！,m！（n－m）！) B．Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n))C．Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(m＋1,n＋1)Ceq\o\al(\s\up1(m＋1),\s\do1(n＋1)) D．Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(m＋1),\s\do1(n＋1))ABCA是组合数公式；B是组合数性质；由eq\f(m＋1,n＋1)Ceq\o\al(\s\up1(m＋1),\s\do1(n＋1))＝eq\f(m＋1,n＋1)×eq\f(（n＋1）！,（m＋1）！（n－m）！)＝Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))得C正确；D错误．7．(2022·沈阳模拟)(多选题)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是()A．若任意选科，选法总数为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))B．若化学必选，选法总数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))C．若政治和地理至少选一门，选法总数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＋1BD若任意选科，选法总数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))，A错误；若化学必选，选法总数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＋1)，C错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＋1，D正确．8．(2022·福建三明模拟)(多选题)某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则()A．甲、乙都不选的方案共有432种B．选甲不选乙的方案共有216种C．甲、乙都选的方案共有96种D．这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种ABC男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则原题可理解为从5男4女共9名员工中，选出2男2女共4名员工，安排在周一到周四的4个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，甲、乙都不选的方案共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝432(种)，A正确；选甲不选乙的方案共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝216(种)，B正确；甲、乙都选，则分两种情况：乙排星期一或乙不排星期一，乙排星期一的方案共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝48(种)，乙不排星期一的方案共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝48(种)，∴甲、乙都选的方案共有48＋48＝96(种)，C正确；这个单位安排夜晚值班分为四种情况：甲、乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲、乙都选，选乙不选甲的方案共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝216(种)，∴这个单位安排夜晚值班的方案共有432＋216＋216＋96＝960(种)，D错误．9．(2022·北京模拟)某班一天上午有4节课，每节都需要安排1名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F这6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A，B两人中安排一个，第四节课只能从A，C两人中安排一人，则不同的安排方案共有种．答案36解析①第一节课若安排A，则第四节课只能安排C，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有4×3＝12(种)排法．②第一节课若安排B，则第四节课可由A或C上，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有2×4×3＝24(种)排法．因此不同的安排方案共有12＋24＝36(种).10.泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥．北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持历经七年建成，至今已有九百多年历史．现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船只将从一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有种(用数字作答).答案840解析依题意相当于将8个相同的小球，放入5个盒子中，且每个盒子不空，则在8个小球中的7个空档插入4个板，分为5堆，则有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))＝35(种)分法，即通过的桥孔组合有35种，再对4艘参赛船全排列有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝24(种)排法，故共有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝35×24＝840(种)方法．11.(2022·黑龙江齐齐哈尔模拟)学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力．现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有种不同的涂色方法．答案66解析当选择两种颜色时，因为橄榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))－1＝5(种)选法，因此不同的涂色方法有5×2＝10(种)，当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有2种方法选择，因此不同的涂色方法有2×2×2＝8(种)，当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有2种方法选择，因此不同的涂色方法有2×3×2×(2＋1)＝36(种)，当选择四种颜色时，不同的涂色方法有2×2×2＋2×2＝12(种)，所以共有10＋8＋36＋12＝66(种)不不同的涂色方法．12．将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中．求：(1)每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？(2)恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？(3)每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？(4)把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球(无编号)，其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？解(1)根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝24(种)；(2)先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1，然后分配给4个盒子中的3个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝144(种)；(3)考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，则其它3个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3，因此，所求放法种数为2×4＝8(种)；(4)按两步进行，空盒编号有4种情况，然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒，则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空(不包括两端)中插入2块板，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为4Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝12(种).[技能提升练]13．(2022·河北省曲阳县模拟)某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为()A．72 B．84C．90 D．96B第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分组方式，再三组人，三个社区进行全排列，则分配方式共有2Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝12(种)；第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种分配方法，再三个社区，三组人，进行全排列，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝12(种)分配方法；当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))种选择，再将剩余3人分为两组，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))种分配方法，将三个社区，三组人，进行全排列，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝36(种)分配方法；若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))种分配方法，再将CD和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行全排列，有2Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝24(种)，分配方法，综上共有12＋12＋36＋24＝84(种)不同的分配方式，故选B.14．(2022·北师大附中检测)《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代14种算法，其中积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算13种均需要计算器械．某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料，其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则不同的分配方法种数为()A.eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(13))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))) B．eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(13))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)))C．eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(13))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)),Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))) D．Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(13))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))A依题意，先将13种计算器械分为3组，方法种数为eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(13))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)),Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))，再分配给3个人，方法种数为eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(13))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)),Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))×Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)).故选A.15．(2023·济南模拟)为宣传城市文化，提高城市知名度，我市某所学校5位同学各自随机从“趵突腾空”、“历山览胜”、“明湖汇泊”三个城市推荐词中选择一个，来确定该学校所推荐的景点，则三个推荐词都有人选的概率是()A．eq\f(50,81) B．eq\f(20,81)C．eq\f(81,125) D．eq\f(27,125)A5位同学任意选取1个景点的方法数为35＝243，三个推荐词都有人选，可以先把5人分成三组，然后