2021年浙江省湖州市吕山乡中学高三数学文期末试题含解析

2021年浙江省湖州市吕山乡中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.=A.

B.

C.

D.参考答案：C

2.已知集合，，则A∩B=（

）A.[2,3] B.(1,5) C.{2,3} D.{2,3,4}参考答案：C【分析】解不等式简化集合的表示，用列举法表示集合，最后根据集合交集的定义求出.【详解】，，又，所以，故本题选C.【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键.3.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（

）①平均数；②标准差；③平均数且标准差；④平均数且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。 A．①② B．③④ C．③④⑤ D．④⑤参考答案：D4.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为=0.8x﹣155，后因某未知原因第5组数据的y值模糊不清，此位置数据记为m（如表所示），则利用回归方程可求得实数m的值为（）x196197200203204y1367mA．8.3 B．8.2 C．8.1 D．8参考答案：D【考点】线性回归方程．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】根据回归直线经过样本数据中心点，求出x、y的平均数，即可求出m值．【解答】解：根据题意，计算=×（196+197+200+203+204）=200，=×（1+3+6+7+m）=，代入回归方程=0.8x﹣155中，可得=0.8×200﹣155=25，解得m=8．故选：D．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题目．5.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，，M，N是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，当最小时，（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的大小．【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，设，，则，0，，，1，，，0，，，1，，，1，，，0，，设平面的法向量，，，，取，得，，，平面的法向量，0，，平面与平面所成（锐二面角为，，解得，当|最小时，，，，．故选：．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.函数y=（x3﹣x）2|x|图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数y为奇函数，它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0，结合所给的选项得出结论．【解答】解：由于函数y=（x3﹣x）2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0，故选：B．【点评】本题主要考查函数的图象和性质，属于基础题．7.已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为(

)A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜ex∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．8.设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数（2﹣i）z=1+i，∴（2+i）（2﹣i）z=（2+i）（1+i），∴z=则z的共轭复数=﹣i在复平面中对应的点在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.已知k≥﹣1，实数x，y满足约束条件，且的最小值为k，则k的值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得，得A（4﹣k，k），则AD的斜率k=，整理得k2﹣3k+1=0，得k=或（舍），故选：C10.定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b﹣a．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x﹣[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度，则当0≤x≤3时，有(

) A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4参考答案：A考点：进行简单的合情推理．专题：新定义．分析：先化简f（x）=[x]?{x}=[x]?（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，3]时，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集的长度．解答： 解：f（x）=[x]?{x}=[x]?（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）?[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈?；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈?；当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1．故选：A．点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中档题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设=

.参考答案：512012.已知为等比数列，若，则的值为

参考答案：略13.Rt△ABC中，AB=AC，以C点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在边AB上，且椭圆过A、B两点，则这个椭圆的离心率为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】设∠AFC=θ，，在△BCF中，由正弦定理求得丨BC丨，在Rt△ABC中，，列方程取得θ的正弦及余弦值，分别表示出，|AC|及|AF|，由椭圆的离心率e=，代入即可求得椭圆的离心率．【解答】解：如图，设∠AFC=θ，则．（F在AB上，F是椭圆的另一个焦点）设椭圆的方程为，则|CF|=2c，|AC|=2c?sinθ，|AF|=2c?cosθ．在△BCF中，由正弦定理和合分比定理，．∴．在Rt△ABC中，，由此得到，∴．∴，，．∴，故答案为：．14.不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集是．参考答案：（1，2）【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法．【分析】分析二次函数y=（x﹣1）（2﹣x）的图象和性质，可得不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集．【解答】解：二次函数y=（x﹣1）（2﹣x）的图象是开口朝上，且与x轴交于点（1，0），（2，0），故当1＜x＜2时，y=（x﹣1）（2﹣x）＞0，故不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集是（1，2），故答案为：（1，2）15.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为

.参考答案：；根据平面向量的点乘公式，可知，因此；，而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时点与点重合，射影为，所以长度为116.若正三棱台的上、下底面边长分别为和，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为

．参考答案：17.在平面上，是方向相反的单位向量，若向量满足，则的值____________．参考答案：1【分析】由得，由是方向相反的单位向量得，，然后即可算出答案【详解】由得即因为是方向相反的单位向量，所以，所以，即故答案为：1【点睛】本题考查的是平面向量数量积的有关计算，较简单.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）（2014秋?衡阳县校级月考）已知函数f（x）=lnx﹣ax．（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在区间[1，e]上的最大值为2，求a的值．参考答案：【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】：（1）求出当a=1时，f（x）的解析式和导数，求出切线的斜率和切点，即可得到切线方程；（2）求出导数，讨论当a＞0，分若≤1，若≥e，若1＜e，当a≤0时，通过函数的单调性，得到函数的最大值，解出即可得到a的值．解：（1）当a=1时，f（x）=lnx﹣x，导数f′（x）=﹣1，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=0，又切点为（1，﹣1），则切线方程为：y=﹣1；（2）定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣a=，①若a＞0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜，f′（x）＜0，得x＞，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减．若≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]单调递减，∴f（x）max=f（1）=﹣a=2，a=﹣2不成立；若≥e，即0＜a≤时，f（x）在[1，e]单调递增，∴f（x）max=f（e）=1﹣ae=2，∴a=﹣不成立；若1＜e，即时，f（x）在（1，）单调递增，在（，e）单调递减，∴f（x）max=f（）=﹣1﹣lna=2，解得，a=e﹣3，不成立．②当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则有f（x）在[1，e]递增，则有f（e）最大，且为1﹣ae=2，解得a=﹣．综上知，a=﹣．【点评】：本题考查导数知识的运用，考查求切线方程和函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，正确求导，合理分类是关键．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．参考答案：【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据题意和正弦定理求出a的值；（Ⅱ）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，由正弦定理，得．…（6分）（Ⅱ）由得，，由得，，则，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，化简得，b2﹣2b﹣15=0，解得b=5或b=﹣3（舍负）．所以．

…（13分）【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．20.（本题满分13分）设函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．

参考答案：方法2：∵，∴．…………6分即，令，∵，且，由．∴在区间内单调递增，在区间内单调递减．……9分∵，，，又，故在区间内恰有两个相异实根．

……11分即．综上所述，的取值范围是．

……………13分所以…………12分

21.(本小题满分12分)

某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30.第6小组的频数是7.（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数；（Ⅱ）若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说