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文档简介
山西省陵川第一中学校2024年高三数学第一学期期末统考模拟试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,B={y∈N|y=x﹣1,x∈A},则A∪B=()A.{﹣1,0,1,2,3} B.{﹣1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{x﹣1≤x≤2}2.已知抛物线的焦点为,过焦点的直线与抛物线分别交于、两点,与轴的正半轴交于点,与准线交于点,且,则()A. B.2 C. D.33.对两个变量进行回归分析,给出如下一组样本数据:,,,,下列函数模型中拟合较好的是()A. B. C. D.4.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布,从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布,则,.)A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%5.若、满足约束条件,则的最大值为()A. B. C. D.6.的展开式中含的项的系数为()A. B.60 C.70 D.807.已知全集,集合,,则阴影部分表示的集合是()A. B. C. D.8.已知集合,集合,若,则()A. B. C. D.9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B.3 C. D.410.已知等差数列的公差为-2,前项和为,若,,为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为,则的最大值为()A.5 B.11 C.20 D.2511.如图所示程序框图,若判断框内为“”,则输出()A.2 B.10 C.34 D.9812.函数的图像大致为().A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知点是抛物线的准线上一点,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的点,且,若双曲线C中心在原点,F是它的一个焦点,且过P点,当m取最小值时,双曲线C的离心率为______.14.已知数列的各项均为正数,记为数列的前项和,若,,则______.15.已知在等差数列中,,,前n项和为,则________.16.已知为双曲线的左、右焦点,过点作直线与圆相切于点,且与双曲线的右支相交于点,若是上的一个靠近点的三等分点,且,则四边形的面积为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)定义:若数列满足所有的项均由构成且其中有个,有个,则称为“﹣数列”.(1)为“﹣数列”中的任意三项,则使得的取法有多少种?(2)为“﹣数列”中的任意三项,则存在多少正整数对使得且的概率为.18.(12分)设抛物线的焦点为,准线为,为抛物线过焦点的弦,已知以为直径的圆与相切于点.(1)求的值及圆的方程;(2)设为上任意一点,过点作的切线,切点为,证明:.19.(12分)已知函数,.(1)当时,求函数的值域;(2),,求实数的取值范围.20.(12分)已知椭圆:的长半轴长为,点(为椭圆的离心率)在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)如图,为直线上任一点,过点椭圆上点处的切线为,,切点分别,,直线与直线,分别交于,两点,点,的纵坐标分别为,,求的值.21.(12分)记函数的最小值为.(1)求的值;(2)若正数,,满足,证明:.22.(10分)已知抛物线E:y2=2px(p>0),焦点F到准线的距离为3,抛物线E上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2且x1+x2=1.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C.(1)求抛物线E的方程;(2)求△ABC面积的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】
解出集合A和B即可求得两个集合的并集.【题目详解】∵集合{x∈Z|﹣2<x≤3}={﹣1,0,1,2,3},B={y∈N|y=x﹣1,x∈A}={﹣2,﹣1,0,1,2},∴A∪B={﹣2,﹣1,0,1,2,3}.故选:A.【题目点拨】此题考查求集合的并集,关键在于准确求解不等式,根据描述法表示的集合,准确写出集合中的元素.2、B【解题分析】
过点作准线的垂线,垂足为,与轴交于点,由和抛物线的定义可求得,利用抛物线的性质可构造方程求得,进而求得结果.【题目详解】过点作准线的垂线,垂足为,与轴交于点,由抛物线解析式知:,准线方程为.,,,,由抛物线定义知:,,,.由抛物线性质得:,解得:,.故选:.【题目点拨】本题考查抛物线定义与几何性质的应用,关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.3、D【解题分析】
作出四个函数的图象及给出的四个点,观察这四个点在靠近哪个曲线.【题目详解】如图,作出A,B,C,D中四个函数图象,同时描出题中的四个点,它们在曲线的两侧,与其他三个曲线都离得很远,因此D是正确选项,故选:D.【题目点拨】本题考查回归分析,拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多,说明拟合效果好.4、B【解题分析】试题分析:由题意故选B.考点:正态分布5、C【解题分析】
作出不等式组所表示的可行域,平移直线,找出直线在轴上的截距最大时对应的最优解,代入目标函数计算即可.【题目详解】作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.由,得,平移直线,当直线经过点时,该直线在轴上的截距最大,此时取最大值,即.故选:C.【题目点拨】本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值,一般利用平移直线的方法找到最优解,考查数形结合思想的应用,属于基础题.6、B【解题分析】
展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到,由二项式的通项,可得解【题目详解】由题意,展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到,所以的展开式中含的项的系数为.故选:B【题目点拨】本题考查了二项式系数的求解,考查了学生综合分析,数学运算的能力,属于基础题.7、D【解题分析】
先求出集合N的补集,再求出集合M与的交集,即为所求阴影部分表示的集合.【题目详解】由,,可得或,又所以.故选:D.【题目点拨】本题考查了韦恩图表示集合,集合的交集和补集的运算,属于基础题.8、A【解题分析】
根据或,验证交集后求得的值.【题目详解】因为,所以或.当时,,不符合题意,当时,.故选A.【题目点拨】本小题主要考查集合的交集概念及运算,属于基础题.9、C【解题分析】
首先把三视图转换为几何体,该几何体为由一个三棱柱体,切去一个三棱锥体,由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.【题目详解】解:根据几何体的三视图转换为几何体为:该几何体为由一个三棱柱体,切去一个三棱锥体,如图所示:故:.故选:C.【题目点拨】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式,考查了空间想象能力,属于基础题.10、D【解题分析】
由公差d=-2可知数列单调递减,再由余弦定理结合通项可求得首项,即可求出前n项和,从而得到最值.【题目详解】等差数列的公差为-2,可知数列单调递减,则,,中最大,最小,又,,为三角形的三边长,且最大内角为,由余弦定理得,设首项为,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前项和.故的最大值为.故选:D【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查求前n项和的最值问题,同时还考查了余弦定理的应用.11、C【解题分析】
由题意,逐步分析循环中各变量的值的变化情况,即可得解.【题目详解】由题意运行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此时输出.故选:C.【题目点拨】本题考查了程序框图,只需在理解程序框图的前提下细心计算即可,属于基础题.12、A【解题分析】
本题采用排除法:由排除选项D;根据特殊值排除选项C;由,且无限接近于0时,排除选项B;【题目详解】对于选项D:由题意可得,令函数,则,;即.故选项D排除;对于选项C:因为,故选项C排除;对于选项B:当,且无限接近于0时,接近于,,此时.故选项B排除;故选项:A【题目点拨】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】
由点坐标可确定抛物线方程,由此得到坐标和准线方程;过作准线的垂线,垂足为,根据抛物线定义可得,可知当直线与抛物线相切时,取得最小值;利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标,根据双曲线定义得到实轴长,结合焦距可求得所求的离心率.【题目详解】是抛物线准线上的一点抛物线方程为,准线方程为过作准线的垂线,垂足为,则设直线的倾斜角为,则当取得最小值时,最小,此时直线与抛物线相切设直线的方程为,代入得:,解得:或双曲线的实轴长为,焦距为双曲线的离心率故答案为:【题目点拨】本题考查双曲线离心率的求解问题,涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用;关键是能够确定当取得最小值时,直线与抛物线相切,进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标.14、63【解题分析】
对进行化简,可得,再根据等比数列前项和公式进行求解即可【题目详解】由数列为首项为,公比的等比数列,所以63【题目点拨】本题考查等比数列基本量的求法,当处理复杂因式时,常用基本方法为:因式分解,约分。但解题本质还是围绕等差和等比的基本性质15、39【解题分析】
设等差数列公差为d,首项为,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得即可.【题目详解】设等差数列公差为d,首项为,根据题意可得,解得,所以.故答案为:39【题目点拨】本题考查等差数列的基本量计算以及前n项和的公式,属于基础题.16、60【解题分析】
根据题中给的信息与双曲线的定义可求得与,再在中,由余弦定理求解得,继而得到各边的长度,再根据计算求解即可.【题目详解】如图所示:设双曲线的半焦距为.因为,,,所以由勾股定理,得.所以.因为是上一个靠近点的三等分点,是的中点,所以.由双曲线的定义可知:,所以.在中,由余弦定理可得,所以,整理可得.所以,解得.所以.则.则,得.则的底边上的高为.所以.故答案为:60【题目点拨】本题主要考查了双曲线中利用定义与余弦定理求解线段长度与面积的方法,需要根据双曲线的定义表示各边的长度,再在合适的三角形里面利用余弦定理求得基本量的关系.属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)16;(2)115.【解题分析】
(1)易得使得的情况只有“”,“”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.(2)易得“”共有种,“”共有种.再根据古典概型的方法可知,利用组合数的计算公式可得,当时根据题意有,共个;当时求得,再根据换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.【题目详解】解:(1)三个数乘积为有两种情况:“”,“”,其中“”共有:种,“”共有:种,利用分类计数原理得:为“﹣数列”中的任意三项,则使得的取法有:种.(2)与(1)同理,“”共有种,“”共有种,而在“﹣数列”中任取三项共有种,根据古典概型有:,再根据组合数的计算公式能得到:,时,应满足,,共个,时,应满足,视为常数,可解得,,根据可知,,,,根据可知,,(否则),下设,则由于为正整数知必为正整数,,,化简上式关系式可以知道:,均为偶数,设,则,由于中必存在偶数,只需中存在数为的倍数即可,,.检验:符合题意,共有个,综上所述:共有个数对符合题意.【题目点拨】本题主要考查了排列组合的基本方法,同时也考查了组合数的运算以及整数的分析方法等,需要根据题意18、(1)2,;(2)证明见解析.【解题分析】
(1)由题意得的方程为,根据为抛物线过焦点的弦,以为直径的圆与相切于点..利用抛物线和圆的对称性,可得,圆心为,半径为2.(2)设,的方程为,代入的方程,得,根据直线与抛物线相切,令,得,代入,解得.将代入的方程,得,得到点N的坐标为,然后求解.【题目详解】(1)解:由题意得的方程为,所以,解得.又由抛物线和圆的对称性可知,所求圆的圆心为,半径为2.所以圆的方程为.(2)证明:易知直线的斜率存在且不为0,设,的方程为,代入的方程,得.令,得,所以,解得.将代入的方程,得,即点N的坐标为,所以,,故.【题目点拨】本题主要考查抛物线的定义几何性质以及直线与抛物线的位置关系,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.19、(1);(2).【解题分析】
(1)将代入函数的解析式,将函数的及解析式变形为分段函数,利用二次函数的基本性质可求得函数的值域;(2)由参变量分离法得出在区间内有解,分和讨论,求得函数的最大值,即可得出实数的取值范围.【题目详解】(1)当时,.当时,;当时,.函数的值域为;(2)不等式等价于,即在区间内有解当时,,此时,,则;当时,,函数在区间上单调递增,当时,,则.综上,实数的取值范围是.【题目点拨】本题主要考查含绝对值函数的值域与含绝对值不等式有解的问题,利用绝对值的应用将函数转化为二次函数,结合二次函数的性质是解决本题的关键,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.20、(1);(2).【解题分析】
(1)因为点在椭圆上,所以,然后,利用,,得出,进而求解即可(2)设点的坐标为,直线的方程为,直线的方程为,分别联立方程:和,利用韦达定理,再利用,,即可求出的值【题目详解】(1)由椭圆的长半轴长为,得.因为点在椭圆上,所以.又因为,,所以,所以(舍)或.故椭圆的标准方程为.(2)设点的坐标为,直线的方程为,直线的方程为.据得.据题意,得,得,同理,得,所以.又可求,得,,所以.【题目点拨】本题考查椭圆标准方程的求解以及联立方程求定值的问题,联立方程求定值的关键在于利用韦达定理进行消参,属于中档题21、(1)(2)证明见解析【解题分析】
(1)将函数转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解;(2)利用基本不等式或柯西不等式证明即可.【题目详解】解法一:(1)当时,,当,,当时,,所以解法二:(1)如图当时,解法三:(1)当且仅当即时,等号成立.当时解法一:(2)由题意可知,,因为,,,所以要证明不等式,只需证明,因为成立,所以原不等式成立.解法二:(2)因为,,,所以,,又因为,所以,所以,原不等式得证.补充:解法三:(2)由题意可知,,因为,,,所以要证明不等式,只需证明,由柯西不等式得:成立,所以原不等式成立.【题目点拨】本题主要考查了
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