2023年上海高考数学(理科)试卷答案解析

2023年上海高考数学〔理科〕试卷

一、填空题(本大题共有14题，总分值56分)

1.计算：±1=(i为虚数单位).

1+Z

2.假设集合4={如21+1>0},B={x\\x-^<2},那么AC15二.

2cosx

3.函数/(x)=的值域是.

sin%—1

4.假设7=(—2,1)是直线/的一个法向量，那么/的倾斜角的大小为(结果用反三角

函数值表示).

5.在(X-±)6的二项展开式中，常数项等于.

X

6.有一列正方体，棱长组成以1为首项，4为公比的等比数列，体积分别记为

Vi,V2,•••,Vn,•••,那么limM]+匕H---1-V„)=.

7.函数=卜为常数).假设在区间口,+8)上是增函数,那么。的取值范

围是.

8.假设一个圆锥的侧面展开图是面积为2兀的半圆面，那么该圆锥的体积为.

9.y=/(x)+/是奇函数，且/⑴=1.假设g(x)=/(x)+2,那么g(—1)=.

10.如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线/与极轴的夹角

a=?假设将I的极坐标方程写成p=于⑹的形式，那么

f@=.

11.三位同学参加跳高、跳远、铅球工程的比赛.假设每人都选择其中两个工程，那么有且仅有

两人选择的工程完全相同的概率是(结果用最简分数表示).

12.在平行四边形A8C£)中，NA=母，边A3、的长分别为2、1.假设M、N分别

是边BC、CD上的点，且满足幽1=只1,那么而•丽的取值范围是.

18cl\CD\

13.函数y=/(x)的图像是折线段48C,假设中A(0,0),仇十,5),C(l,0).

函数y=4(x)(04x41)的图像与x轴围成的图形的面积为.

14.如图，AQ与BC是四面体A8CQ中互相垂直的棱，BC=2.\

假设4O=2c,且AB+BO=AC+C£)=2a,其中a、c为

常数，那么四面体ABCQ的体积的最大值是.

二、选择题(本大题共有4题，总分值20分)

B

A

15.假设1+行，是关于x的实系数方程/+法+。=0的一个复数根，那么)

(A)b=2,c=3.(B)b=-2,c=3.(C)b=-2,c=-\.(D)b=2,c=—1.

16.在A43C中，假设sir?A+sin?8<sin?C,那么AA8C的形状是()

(A)锐角三角形.(B)直角三角形.(C)钝角三角形.(D)不能确定.

4

17.设10M玉<龙2<马<Z410,七=105.随机变量刍取值X］、X2,与、X4、匕的

概率均为02随机变量统取值空、等、空、空、空的概率也为02

假设记。息分别为卷、42的方差，那么

(A］山)DJi=D虞.(C).

(D)与的大小关系与匹、》2、/、％的取值有关.

18.设4=^sin詈，Sn=al+a2+---+an.在SpS2,…,S10G中，正数的个数是(

(A)25.(B)50.(C)75.(D)100.

三、解答题(本大题共有5题，总分值74分)

19.如图，在四棱锥P-4BC。中，底面ABCZ)是矩形,

PA_L底面ABC。，E是PC的中点.AB=2,

AD=20,PA=2.求：

(1)三角形PC。的面积；(6分)

(2)异面直线BC与4E所成的角的大小.(6分)

20.函数/(x)=lg(x+l).

(1)假设0</(1-2x)—/(x)<l,求x的取值范围；［6分)

(2)假设g(x)是以2为周期的偶函数，且当OWxWl时，有g(x)=/(x),求函数

y=g(x)(xe[l,2])的反函数.[8分)

21.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴

正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，那么救援船恰在失事船的正南方向12海

里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线

y=^x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救J)

援船出发f小时后，失事船所在位置的横坐标为7J

(1)当/=0.5时，写出失事船所在位置户的纵坐标.假设此时0匕/*

两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(6分)/

(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？(8分)V

22.在平面直角坐标系xOy中，双曲线G:2/一>2=］.

（i）过G的左顶点引G的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及*轴围成

的三角形的面积；（4分）

（2）设斜率为I的直线/交C1于P、Q两点，假设/与圆V+y2=i相切，求证：

OP1.OQ-,（6分）

（3）设椭圆。2：41+丁=1.假设坏N分别是G、G上的动点，且OMLON,

求证：。到直线A/N的距离是定值.（6分）

23.对于数集*={-1,%,工2,…,％”}，其中0<X<々<…n>2,定义向量集

Y={a\a=（s,t\seX,teX}.假设对于任意［eF,存在工€丫，使得［•£=（）,那么称X

具有性质P.例如X={-1,1,2）具有性质P.

（1）假设x>2,且{—1,1,2,x},求x的值；（4分）

（2）假设X具有性质P,求证：leX,且当初>1时，xrl；（6分）

（3）假设X具有性质P,且沏=1,及刊用为常数），求有穷数列西，々，…，天的通

项公式.（8分）

2023年上海高考数学〔理科〕试卷解答

一、填空题（本大题共有14题，总分值56分）

1.计算：±l=上2。•为虚数单位）.

1+z

2.假设集合4={1|2工+1〉0},B={x||x-l|<2},那么405=（-匕3）.

2cosx

3.函数/（x）=的值域是［一3一用•

sin%—1---------

4.假设7=（-2,1）是直线/的一个法向量，那么I的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角

函数值表示）.

5.在（X-*）6的二项展开式中，常数项等于-160.

X

6.有一列正方体，棱长组成以1为首项，9为公比的等比数列，体积分别记为

%,七,…，匕，…，那么lim（K+匕+…+匕）=亨.

n—>oo__

7.函数/（x）=*FS为常数）.假设了（X）在区间［1,+8）上是增函数，那么〃的取值范

围是（-8,1I.

8.假设一个圆锥的侧面展开图是面积为2兀的半圆面，那么该圆锥的体积为坐乃.

9.y=/（x）+Y是奇函数，且/⑴=1.假设g*）=/（x）+2,那么g（-1）=_4.

10.如图，在极坐标系中，过点M（2,0）的直线/与极轴的夹角/

a=表假设将/的极坐标方程写成°=/（。）的形式，那么

八。）=七•o//-------：

11.三位同学参加跳高、跳远、铅球工程的比赛.假设每人都选择其中两个工程，那么有且仅有

两人选择的工程完全相同的概率是亨（结果用最简分数表示）.

12.在平行四边形ABC。中，ZA=f,边A8、AO的长分别为2、1.假设M、N分别

是边BC、CD上的点，且满足曾1=1^1,那么加•丽的取值范围是⑵51.

\BC\\CD\

13.函数y=/(x)的图像是折线段ABC,假设中A(0,0),8脑,5),C(l,0).

函数yn4XxNOWxWl)的图像与x轴围成的图形的面积为总.内、

14.如图，AO与8c是四面体ABCD中互相垂直的棱，18c=2.

假设AO=2c,且AB+8O=AC+C£)=2a,其中°、c为\

常数，那么四面体的体积的最大值是大-。2-1.

--------------A

二、选择题(本大题共有4题，总分值20分)

15.假设1+Jli是关于x的实系数方程灰+。=0的一个复数根，那么(B)

(A)b=2,c=3.(B)b=-2,c=3.(C)b=-2,c=-l.(D)b=2,c=-1.

16.在AA6C中，假设s/A+sii?BvsinZc,那么AABC的形状是(C)

(A)锐角三角形.(B)直角三角形.(C)钝角三角形.(D)不能确定.

17.设10KX］<W<%3<ZK104，%5=105.随机变量取值X］、%2、%3、%4、毛的

概率均为0.2,随机变量统取值气红、等、誓、空、空的概率也为02

假设记。蜃分别为。、△的方差，那么(A)

(A)D&>D4.(B)=(C)<D^2.

(D)。。与的大小关系与王、々、£、4的取值有关.

18.设a.=^sin詈,Sn=ax+a2+---+an.在S^S2,…,S10G中，正数的个数是(D)

(A)25.(B)50.(C)75.(D)100.

三、解答题(本大题共有5题，总分值74分)啰、

19.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是矩形，

尸4,底面ABC。，E是PC的中点.A8=2,/i

AD=2y/2,PA=2.求：///'\\D

(1)三角形PC。的面积；(6分)/\X

(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)----------*

［解］［1)因为PA_L底面ABC。，所以PA_LC£>,又A£>_LCD,所以C/A平面PAD,

从而CO_LPD...3分

因为PD=商+(2后＞=26,CD=2,

所以三角形PCD的面积为1x2x273=273.

(2〕［解法一］如下图，建立空间直角坐标系，

那么8(2,0,0),C(2,2V2,0),E(1,V2,1),

AE=(1,42,1),BC=(0,2V2,0).……8分

设谶与前的夹角为仇那么

由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是?……12分

［解法二］取尸8中点尸，连接ERAF,那么

EF//BC,从而NAEF(或其补角)是异面直线

BC与4E所成的角……8分

在AAE/7中，由EF=&、AF=拒、AE=2

知AAER是等腰直角三角形，

B

所以NAEF=?.

因此异面直线BC与AE所成的角的大小是牙……12分

20.函数/(x)=lg(x+l).

⑴假设O</(1—2x)—y(x)<l,求x的取值范围;16分)

(2)假设g(x)是以2为周期的偶函数，且当OWxWl时，有g(x)=/(x),求函数

y=g(x)(尤G[1,2])的反函数.[8分)

[解](1)由4，得一1VXV1.

x+1>0

由0<炫(2-2%)一炮0+1)=电,<1得1<方普<10.……3分

因为x+I>0,所以x+lv2-2x<1Ox+10>—<x<；•

—1<x<1c,

由｛9[得一]<]<针...6分

I十y

⑵当一口⑵时,2-xe[0,l],因此

y=g(x)=g(x-2)=g(2-x)=/(2-x)=lg(3-x)....10分

由单调性可得ye[0,1g2].

因为x=3—10v,所以所求反函数是y=3—10*,xe[0,lg2],……14分

21.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴

正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，那么救援船恰在失事船的正南方向12海

里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线

y=^x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救/

援船出发r小时后，失事船所在位置的横坐标为.J

(1)当，=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标.假设此时——L^/---->

两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(6分)°/x

(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？(8分)/

[解]⑴r=0.5时，尸的横坐标灯=7『=9代入抛物线方程y=：1x2A-

中，得尸的纵坐标"=3....2分

由依「|=亨，得救援船速度的大小为J的海里/时.……4分

由tan/OAP=^^，得/OAP=arctan看，故救援船速度的方向

为北偏东arctan4弧度....6分

(2〕设救援船的时速为丫海里，经过f小时追上失事船，此时位置为(7f,12/).

由vf=J(7r，+(I2产+12)2,整理得v2=144(r+十)+337.……10分

因为『+力之2,当且仅当t=l时等号成立，

所以/2144x2+337=25?,Bpv>25.

因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.……14分

22.在平面直角坐标系xOy中，双曲线G:2d-y?=1.

(1)过G的左顶点引G的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成

的三角形的面积；(4分)

(2)设斜率为1的直线/交C1于P、Q两点，假设/与圆V+y2=i相切，求证：

OPLOQ-.(6分)

(3)设椭圆。2：4/+丁=1.假设“、N分别是G、上的动点，且OMLOM

求证：O到直线MN的距离是定值.(6分)

[解]⑴双曲线G：手—：/=1,左顶点A(—辛■,()),渐近线方程：y=±GX.

2N

过点A与渐近线y=平行的直线方程为丫=也(％+阴，即y=J^x+l.

解方程组［I或二得上［孚…2分

所以所求三角形的面积1为S=4|QA||yl=*.4分

(2)设直线PQ的方程是y=x+。.因直线与圆相切,

故果=1,即尸=2.……6分

V2

由()；=x：b,得/_2"_/_]=0.

2X2-/=1

X+x,=2b

设P(xi,yi)、Q(M,y2)，那么《,9,.

X(X2=-b~-1

又2,所以

^2(-b2-1)+b-2b+b2=/-2=0,

故OPA.OQ.......10分

(3)当直线ON垂直于x轴时，

|CW|=1,|(?M=当',那么O到直线A/N的距离为亨•.

当直线ON不垂直于x轴时，

设直线ON的方程为y=Zx(显然|%|>半)，那么直线OM的方程为了=—".

2

y-kxx=_1_

由,22，得2笔2,所以|0N|2=9

v2--L—4+&

4x+y=1J4+Ar2

同理10Ml2=黑.……13分

设。到直线MN的距离为d,因为(|OM|2+1ON|2)J2=|OM|2|ON『，

所以3=—二+—二=。=3,即公堂.

22

d|OM|2QN|2k+\3

综上，O到直线MN的距离是定值.……16分

23.对于数集乂={-1,%，工2,…,NJ，其中0<%<々<…<*"，n>2,定义向量集

y={a|a=(s/),seX"eX}.假设对于任意［eY,存在/右丫，使得雇足=0，那么称X

具有性质P.例如X={-1,1,2)具有性质P.

⑴假设x>2,且{-l,l,2,x},求x的值；14分)

(2〕假设X具有性质P,求证：leX,且当x“>l时，xi=l；(6分)

(3)假设X具有性质P,且沏=1,X2=q用为常数)，求有穷数列不，々，…，无，的通

项公式.18分)—

［解］［1］选取［=(x,2),丫中与I垂直的元素必有形式(—1,。).……2分

所以尸2匕，从而44.......4分

(2)证明：取％=(%,%)e丫.设生=(s")e丫满足1•£=().

由(s+f)Xi=0得$+r=0,所以s、f异号.

因为T是X中唯一的负数，所以s、f中之一为T,另一为1,

故1eX.......7分

假设&=1,其中那么

选取4=(%,X”)e丫，并设4="，，)e丫满足［W=0，即叫+及"=0,

那么s、t异号,从而s、r之中恰有一个为T.

假设s=T,那么2,矛盾；

假设f=T,那么x“=<s4xn,矛盾.

所以X1=1.……10分

（3）［解法一］猜想玉=q"",i=\,2,--,n.......12分

记&={-1,1,w，…，X*},k=2,3,

先证明：假设4』具有性质P,那么人也具有性质p.

任取4=（s,f）,5、/€4上.当5、f中出现-1时，显然有工满足［.工=0；

当SH—1且，H—1时，S、t>1.

因为4+1具有性质P,所以有点=G"）,»、彳€4♦+］,使得,W=0,

从而S1和％中有一个是-1,不妨设S1=T.

假设f］e4+［且f］任A«,那么乙=x“］.由（5,，）•（一1,x«+1）=0,得s=比《+12尤*+］,与

se4矛盾.所以八eAk.从而Ak也具有性质P.......15分

现用数学归纳法证明：x,.=gi,i=l,2,.

当〃=2时，结论显然成立；

假设〃=氏时，4={-1,L巧，…,为}有性质P，那么=i=l,2,…,A；

当”=左+1时,假设Az={一1,1,%,…，z，々+1}有性质P，那么4={-1,1,x2,---,xj

也有性质P,所以4+1={T,1,q,…

取4=（x*+］,q）,并设。2=（$"）满足［•司=0，即x*+|S+/=0.由此可得s与，中有且

只有一个为T.

假设，=—1,那么1,不可能；

kk

所以s=T,xk+i=qt<q-q^'-q,又Xg>//，所以x*+i=qt

综上所述，七=qiX,=q'T,i=l,2,......18分

［解法二］设q=（s"）,a2=（s2,t2）,那么4•%=0等价于1=一土

记5={"sGX,feX,\s|>|/|},那么数集X具有性质P当且仅当数集B关于

原点对称.……14分

注意到T是X中的唯一负数，6n（9,0）={-马，一如…，一%}共有"T个数，

所以6n（0,+8）也只有"-1个数.

由于白<一_<•..<萨〈去，已有“7个数，对以下三角数阵

X"-lxn-2“2x\

注意到今>个>・・・>?，所以白=沪=•••=资，从而数列的通项公式为

A

\项X1XA-Ixn-2x\

x*=Xi（曰）1=qi，上1,2,.......18分

2023上海高考数学试题（理科）答案与解析

一.填空题

1.计算：—=（i为虚数单位）.

1+i

【答案】l-2i

(3-i)(l-i)_2-4i

【解析】正=l-2i.

(1+iXl-i)-^-

【点评】此题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共机复数，将分母实数化

即可.

2.假设集合4={幻2》+1>0},3={x||x-l|<2},那么AD5=.

【答案”一别

【解析】根据集合A2x+l>0,解得x>—g,由|x—1|-2,得至l<x<3,所以

神=（一别.

【点评】此题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决

此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决.

2cosx

3.函数/(x)=的值域是.

sinx—1

5_3

【答案】2-2

【解析】根据题目f(x)=-sinxcosx-2=——sin2x-2因为一1Ksin2xW1,所以

53

22

【点评】此题主要考查行列式的根本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.

考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质.

4.假设3=（-2,1）是直线/的一个法向量，那么/的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.

【答案】arctan2

【解析】设直线的倾斜角为a,那么tancr=2,cr=arctan2.

【点评】此题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜

角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.

2

5.在（X--）6的二项展开式中，常数项等于.

X

【答案】-160

2

【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是7；=C江3（一一）3=760.

x

【点评】此题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.

6.有一列正方体，棱长组成以1为首项、；为公比的等比数列，体积分别记为K，匕，…，匕，…，

那么lim（V+匕+•••+%）=.

Q

【答案】-

7

【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，L为公比的等比数列，可知它们的体积那么组成了一个以

2

11Q

1为首项，一为公比的等比数列，因此，lim(h+匕+•••+%)=--=-.

8"T817

1----

8

【点评】此题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较

综合.

7.函数=]〃为常数).假设/(x)在区间[1,+8)上是增函数，那么。的取值范围是.

【答案】(-00,1]

e'—"xci

【解析】根据函数/(x)=/“4=，_'看出当xNa时函数增函数，而函数/(x)在区间[1,+oo)

e~x+a,x<a

上为增函数，所以。的取值范围为：(一8,1].

【点评】此题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运

用.此题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.此题属于中低档题目，难度

适中.

8.假设一个圆锥的侧面展开图是面积为2乃的半圆面，那么该圆锥的体积为.

_„__J3乃

【答案】--

3

1,

【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r,母线长为/,根据条件得到一用2=2万，解得母线长/=2,

2

2%r=M=2肛尸=1所以该圆锥的体积为：锥=—S/z=—xV22—I271=n.

回1谁333

【点评】此题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量,

分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题.

9.y=/(x)+,是奇函数，且/(1)=1,假设g(x)=/(x)+2,那么g(—1)=.

【答案】-1

【解析】因为函数y=/(x)+/为奇函数，所以

^(D=/(I)+2,皆⑴=1，所以，g(D=3,/(-I)=-3,g(-l)=/(一1)+2=-3+2=—1

/(-I)--/(1).

【点评】此题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数y=/(x)为奇函数，所以有

/(_x)=-/(x)这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，此题属于中档题，难度适中.

7T

10.如图，在极坐标系中，过点"(2,0)的直线/与极轴的夹角a=一,

6

假设将/的极坐标方程写成夕=/(。)的形式，那么/(e)=.

［答案］——!——

sin(：-6)

【解析】根据该直线过点"(2,0),可以直接写出代数形式的方程为：=2),将此化成极坐

标系下的参数方程即可,化简得/(6)=----i----.

sin(；_&)

【点评】此题主要考查极坐标系，本局部为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，

复习时，注意掌握根本规律和根底知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.此题属于中档题，

难度适中.

11.三位同学参加跳高、跳远、铅球工程的比赛，假设每人都选择其中两个工程，那么有且仅有两人

选择的工程完全相同的概率是(结果用最简分数表示).

2

【答案】-

3

【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的工程的取法共有18种，所以根据古典概

2

型得到此种情况下的概率为一.

3

【点评】此题主要考查排列组合概率问题、古典梭型.要分清根本领件数和根本领件总数.此题属于中

档题.

77

12.在平行四边形A5CD中，44二一，边AB、AO的长分别为2、1,假设M、N分别是边NC、

3

上的点，且满足曾^=呸!那么而•丽的取值范围是.

\BC\\CD\

【答案】［2,5］

【解析】以向量A8所在直线为x轴，以向量AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如下图，因

为AB=2,AD=1,所以4(0,0),B(2,0),C(-,1)D(-,1).设

22

CN,CN=--x,BM=---x,M(2+---x,(---x)sin-).

22224284423

L工rt,,.21x5A/3-2y/3x.

根据题意，有AN=(x,l),AM=(--------,----------------).

848

“工，Z21x、5A/3-2V3Xf1,,5、..c六，_

所以A"・A/V=x(--------)H------------------<x<—,所以2WA/VW5.

848<22)

【点评】此题主要考查平面向量的根本运算、桃念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意

条件的运用.此题属于中档题，难度适中.

13.函数y=/(x)的图象是折线段48C,其中4(0,0)、吗,5)、C(l,0),

函数y=4(x)(0<x<l)的图象与x轴围成的图形的面积为.

【答案】-

4

11

1Ox,0<x<—10x2,70<x<—

【解析】根据题意得到，/*)=<2从而得到y=4Xx)=,2

-10x+10,^-x<l-10x2+10x,^<x<l

所以围成的面积为5=110您拄+，(-10/+10幻必:=3,所以围成的图形的面积为2.

【点评】此题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运

用.突出表达数再结合思想，此题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习

中加强这方面的训练，此题属于中高档试题，难度较大.D

14.如图，与8c是四面体A8CO中互相垂直的棱，BC=2,假设

且A6+BO=AC+8=2a,其中a、c为常数，那么四面体ABCD的体积的靛\

大值是•2,_V

［答案］^cy/a2-c2-l上工匚修

【解析】据题A6+8O=AC+CD=〃，也就是说，线段A3+8。与线段4C+CO的长度是定

值，因为棱AO与棱6C互相垂直，当BC_L平面A3。时，此时有最大值，此时最大值为：

-cy/a2-c2-l.

3

【点评】此题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.此题主要考虑根据条件构造体积

表达式，这是解决问题的关键，此题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.

二、选择题(20分)

15.假设1+"是关于x的实系数方程无2+云+。=0的一个复数根，那么()

A.b=2,c=3B.h=—2,c=3C.h=-2,c=—1D.b=2,c=—1

【答案】B

【解析】根据实系数方程的根的特点l-0i也是该方程的另一个根，所以

1+V2z+1-V2z=2=-/?,即Z?=—2,(1-V2z)(l+V2z)=3=c,故答案选择B.

【点评】此题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四那么运算，属于中档题，

注重对根本知识和根本技巧的考查，复习时要特别注意.

16.在A46C中，假设six?A+sii^^vsii?。，那么A46C的形状是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【答案】C

ClhCrce

【解析】由正弦定理，得——=sinA,——=sinB,——=sinC,代入得到。〜+b“<c”,

2R2R2R

由余弦定理的推理得cosC=6±^二一<0,所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形.应选择

2ab

A.

【点评】此题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如

果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.此题属于中档题.

17.设104X]<<%3<*4<1°"，苫5=1。5,随机变量机取值X]、彳2、％3、匕、鼻的概率均为

0.2,随机变量与取值"三上、"^、"^、石旦的概率也均为02,假设记

222222

D。、。星分别为刍、玄的方差，那么()

A.D&>DJB.D&="2

C.D&<D.。当与的大小关系与匹、/、与、的取值有关

【答案】A

—1

【解析】由随机变量。42的取值情况，它们的平均数分别为：X]=J(X|+々+工3+Z+&)，，

1(x,+x।W+xJ

2x2+玉I匹+4।4+4

X,+-2-X],

222)

且随机变量。42的概率都为02,所以有。。>。多.应选择A.

【点评】此题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和根底，此

题属于中档题.

Irijr

18.设Q〃=—sin—,S〃=q+&+・・・+。〃，在516,・・・田00中，正数的个数是()

n25

A.25B.50C.75D.100

【答案】C

【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.

【点评】此题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发

可以看出来相邻的14项的和为0,这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.

三、解答题(本大题共有5题，总分值74分)

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是矩形，

PA_L底面ABC。，E是PC的中点.48=2,

AD=2y/2,PA=2.求：

(1)三角形PC。的面积；(6分)

⑵异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)

［解］［1)因为P4_L底面A8C。，所以又AD_LC£),所以C£>J_平面PA。,

从而CDLPD.3分

因为PD=百+(2后)=,CD=2,

所以三角形PCD的面积为4x2x2g=2g.……6分

⑵［解法一］如下图，建立空间直角坐标系，

那么8(2,0,0),C(2,272,0),E(l,6,1),

AE=(1,V2,1),BC=(0,272,0).8分

设彳后与元的夹角为。，那么y

cos"虢=+=乎，氏，

X

由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是f……12分

［解法二］取PB中点尸，连接EEAF,那么

EF//BC,从而NAE/(或其补角)是异面直线

BC与AE所成的角8分

在AA£F中，由EF=后、AF=Ji、AE=2

知△AEF是等腰直角三角形，

所以

因此异面直线8C与AE所成的角的大小是千……12分

【点评】此题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.综

合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.此题源于？必修

2?立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能

力，属于中档题.

20.函数/(x)=lg(x+l).

(1)假设0</(l-2x)—/(x)<l,求x的取值范围；(6分)

(2)假设g(x)是以2为周期的偶函数，且当OWxWl时，有g(x)=/(x),求函数

y=g(x)(xe［l,2］)的反函数.(8分)

2-2x>Q,

［解］⑴由<f得一1VXV1.

x+1>0

由0<lg(2—2x)-lg(x+l)=lg黄<1得1〈黄<10.3分

因为x+l>0,所以x+1<2—2x<10x+10,--j<x<j.

—1<X<1

由《91得.