2023年中考数学一轮复习18圆压轴题（上海）（解析版）

专题18圆压轴题

忸命题趋势

以圆为背熹的综合问题是中考压轴题的命题趋势之一，按往年命题趋势猜测，很大概

率会和平行线段分线段成比例（2020年），梯形，特殊平行四边形（最新热点）等知识点结

合，主要考查学生挖掘信息的能力，难题分解能力，数学综合能力

出知识导图

考点一

定圆结合直角三角形，考察函数关系，圆心距，存在性问题；

考点二

定圆结合直角三角形；三角形相似，线段与周长的函数关系；

考点三

定圆结合直角三角形；考察函数关系，三角形面积比值问题；

考点四

定圆结合平行线，弧中点，考察函数关系，与圆相切问题；

考点五

动圆结合三角形，考察三角形相似，考察三角形相似，函数关系;

考点六

动圆结合内切直角三角形，三角形相似，线段比，圆位置关系；

考点七

动圆结合定圆，考察函数关系，与圆有关的位置关系：

考点八

动圆结合定圆，函数关系，四边形，正多边形结合的问题。

典的引颔

一、解答题

1.(2022.上海嘉定・统考二模)在半圆。中，A3为直径,AC,AD为两条弦，且NCAD+ND4B

=90°.

(2)如图2,点尸在直径A3上，DF交AC于点E,若AE=DE,求证：AC=2OF；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接BC,若A尸=2,BC=6,求弦的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

⑶2百

【分析】(1)连接8。、CD,先证NO8A=/D4C,再证/OC4=/D4C,可得出AD=C£),即

可推出结论；

(2)连接80、CD,过点。作。G_L4c于点G,则/。G4=90。，可证得OG垂直平分AC,得

出AC=2AG,再证△AO尸丝△D4G,推出AG=O凡即可得出AC=2O尸；

(3)取8c中点”，连接OH、OD,贝ljBH=C”=gBC=3,OHA.BC,证RmOEDgRtABHO,

推出OE=B//=3,OD=OA=5,则在Rn\OE£＞中，求出QE的长，在山△AE。中，可求出AO

的长.

(1)

ZADB=90°

・•.ZDBA+ZDAB=90°

ZDAC+ZDAB=90°

・•.ZDAC=ZDBA

又NDCA=NDBA

，ZDAC=ZDCA

；.AD=CD

AD=CD

(2)

证明：如图：连接30、CD,过点。作DGLAC于点G

D,--------

:.ZDGA=90°

由⑴知AD=CD

.•.QG垂直平分AC

/.AC=2AG

AE=DE

:.ZADF=ZDAC

ZDAC+ZDAB=90°

ZADF+ZDAB=90°

:.ZDFA=ZAGD=90°

又AD=DA

:./\ADF^AZMG(AAS)

DF=AG

:.AC=2DF

(3)

解：取8C的中点“，连接0月、0D,则8"=C”=gBC=3,OHIBC

D/--------

.OA=OB

二.OH是一ABC中位线

AC=2OH

由(2)知AC=2。/

OH=DF

OD=OB

..RtAOFD处RtABHO(HL)

：.0F=BH=3

OD=OA=AF+OF=2+3=5

在Rf/XOFD中，DF2=OD2-OF2=52-32=16

，在用△AED中，AD=dAF2+DF?=正2+16=26

【点睛】本题考查了圆的有关概念及性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关

键是第(2)问能够证明NAFQ=90。，第(3)问能够通过作适当的辅助线构造全等三角形等.

2.(2021春•上海徐汇・九年级统考阶段练习)已知：。。的半径为3,。(7_1弦43,垂足为

。，点E在OO上，N£CO=NBOC,射线C£与射线相交于点F.设A8=x,,CE=y,

(1)求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域；

(2)当AOEF为直角三角形时，求的长；

(3)如果3F=1,求E尸的长.

【答案】(l)y=j36-X2，函数定义域为(0<%<6)

⑵AB=3&或3

57

⑶5或I

【分析】(1)过点。作OHLCE,垂足为“，先利用垂径定理得到==

EH』C=b，然后利用勾股定理求得。0=运£,最后通过证△OQB丝△EH。即可

222

得到EH=OD,求得结论；

(2)当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：①若/OFE=90。；②若/EOF=90°分

别求解即可；

⑶分两种情况①当CF=OF=OB—BF=2时，可得：△CF0s/\C0E；②当CF=OP=

03+8产=4时:可得：zCF0sXC0E、利用相似三角形的性质即可求解.

(1)

过点。作0”，CE,垂足为“，

・・•在圆。中，。。_1_弦囚&0H上弦CE,AB=x,CE=yf

：.BD=-AB=-xfEH’EC’y,

2222

■:在RtAODB中，OD2+BD2=BO2，0B=3,

工OD=加工,

2

,：0C=0E,

：.NECO=/CEO,

,/NEC0=NB0C,

：.ZCEO=ZBOC,

又•・•NODB=NOHE=90。,0E=0B

:AODB义/XEHO

：.EH=OD,

.y<36-x2

••—=-------,

22

•…屉春函数定义域为(0<x<6)

(2)

当AOE尸为直角三角形时，存在以下两种情况：

①若NObE=90°,则NCO尸=NOCb=45。

•/N008=90°,

JZABO=45°

又0=03

・・・ZOAB=NA8O=45。,

/AO8=90°

.•.△OAB是等腰直角三角形

AB=e-OB=3y[i

②若NEOF=90。,

则ZOEF=ZCOF=ZOCF=30°

/008=90°,

NABO=60°

又；OA=OB

...△OAB是等边三角形

."8=03=3

(3)

①当CF=OF=OB-BF=2时，

nr2Q

可得：匕CFOsXCOE,CE=^=—=~,

CF2

95

：.EF=CE-CF=一一2=一.

22

②当CF=OF=OB+BF=4时，

nr29

可得：^CFOSRCOE,CE=^=-=-,

CF4

97

:.EF=CF-CE=4一一=一.

44

【点睛】本题考查了有关圆的知识的综合题，分类讨论是解决问题的关键.

3.(2023春・上海・九年级专题练习)如图，等边△43C内接于。0,尸是A8上任一点(点P

与点A、B重合)，连接AP、BP,过点C作CM〃8尸交布的延长线于点

(1)求ZAPC和NBPC的度数；

(2)求证：XACM会4BCP；

⑶若孙=1,PB=2,求四边形P8CM的面积;

(4)在(3)的条件下，求AB的长度.

【答案】(l)NAPC=60。，NBPC=60。

(2)见解析

4

(4)2后万

9

【分析】(1)根据等边三角形的性质得到NABC=N84C=NAC8=60。，根据圆周角定理即可

得至UZAPC=ZABC=60°,NBPC=NBAC=60。；

(2)根据平行线的性质得到/BPM+/M=180。，NPCM=NBPC,求得/M=N8PC=60。，

根据圆周角定理得到/%C+NPCB=180。，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

(3)作于H,根据全等三角形的性质得到CM=CP,AM=BP,根据直角三角形的

性质得到PH,根据三角形的面积公式即可得到结论；

(4)过点B作BQL4P,交4尸的延长线于点。，过点A作ANLBC于点N,连接08,求

得NP8Q=30。，得到产。，根据勾股定理得到BQ和AM根据弧长公式即可得到结论.

【解析】(1)解：:△ABC是等边三角形，

NA8C=N8AC=NACB=60。，

,:BC=BC，AC=4C，

NAPC=ZABC=60°,/BPC=/BAC=60。：

(2)证明：'.,CM//BP,

：.ZBPM+ZM=\S00,

/PCM=NBPC,

'：NBPC=NBAC=60°,

：.NPCM=NBPC=6Q°,

：.ZM=1800-ZBPM=180°-(ZAPC+ZBPC)=180°-120°=60°,

ZM=ZBPC=60°,

又•.•4、P、B、C四点共圆，

：.ZPAC+ZPCB=\SO°,

'：ZMAC+ZPAC=\SO0,

：.NMAC=NPBC,

：AC=BC,

在△4。知和48cp中，

NM=ZBPC

,ZMAC=NPBC,

AC=BC

：./\ACM^/\BCP(A45)；

(3)解：'：CM//BP,

二四边形P8CM为梯形，

作P”_LCM于"，

,//XACM^^BCP,

：.CM=CP,AM=BP,

又/M=60。，

...△PCM为等边三角形，

CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3,

在RtLPMH中，ZMPH=30°,

-_3G

••iPrHi------,

2

:.S酹度PBCM=1(PB+CM)XPH=-(2+3)x述=1^；

2224

(4)解：过点8作BQJ_4P,交AP的延长线于点Q,过点A作ANLBC于点N,连接OB,

,/NAPC=NBPC=60。,

.\ZBPQ=60°,

ZPBQ=30°,

：.PQ=^PB=\,

在RQBPQ中，BQ=M-l2=5

在放AAQB中，AB=JAQ、BQ2="1+1)2+(可=币,

*/Z\ABC为等边三角形，

.••AN经过圆心O,

：.BN=-AB=—,

22

AN=siAB2-BN2=呼，

在Rt4BON中，设BO=x,则0N=应-X,

2

.・.（争2+（等_牙量，

解得：产叵,

3

ZBOA=ZBCA=\20°,

10n721

AAB的长度为建。"'3二2河.

180-9

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等

边三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

4.（2021秋・上海金山・九年级期末）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的

一半.如图1,ZA=1Z<9.

已知：如图2,AC是。。的一条弦，点。在。。上（与A、C不重合），联结QE交射线A。

图1图2备用图

（1）求弦AC的长.

⑵当点E在线段0A上时，若ZiOOE与AAEC相似，求/。C4的正切值.

（3）当。£=1时，求点A与点。之间的距离（直接写出答案）.

【答案】⑴8

⑶2班或或阿.

【分析】（1）过点。作OHLAC于点H,由垂径定理可得AH=CH=3AC,由锐角三角函

数和勾股定理可求解：

（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG,EG,CG的长，即可求解；

（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解.

(1)

在Rt^,OAH中，tanZ.OAC—----=一,

AH4

J设。”=3%,AH=4x,

•/OH2+AH2=OA2,

(3x)2+(4x)2=52,

解得：x=±L(x=-1舍去),

：.OH=3,4”=4,

：.AC=2AH=S；

(2)

如图2,过点。作O"_LAC于"，过E作EGJ_A。于G,

J当ACOE与AAEC相似时可得：ZDOE=ZA或者NQOE=NAC£)：

AD=AD

ZACD=-ZDOE

2f

・・・ZACD/ZDOE

・••当△OOE与△AEC相似时，不存在NDOE=NACO情况,

J当△DOE与△AEC相似时，ZDOE=ZAf

：.OD//AC,

.OPOE

*AC-AE

・・・OO=OA=5,AC=8,

'：ZAGE=ZAHO=90°,

J.GE//OH,

AdHJ/C

图2

・・・XAEGsXAOH、

.AEEGAG

''~\O~~OH~~AH'

40EGAG

.・・11=亍=丁，

5

:.EG=—

13f

AAG=—CG=8--=—,

13f1313

FG1

在RQCEG中，tanZDCA=——=-；

CG3

(3)

当点E在线段OA上时，如图3,过点E作EGJ_AC于G,过点。作OHLAC于H,延长

AO交。。于M,连接A。，DM,

A\^GH7C

图3

由(1)可得OH=3,AH=4,AC=8,

,/OE=\,

：.AE=4fME=6,

,:EG〃OH,

：./\AEG^AAOH,

,AEAGEGAr

*AO-A/7-OW-5

AG=?

,EG=y

~24

GC=,

144_125/5

EC=JGC2+EG2=

255

AM是直径,

ZADM=90°=ZEGCf

又,：乙M=LC,

.•丛EGCs^ADM,

.ECEG

•而一而‘

12布12

'•^Z=3_'

10AD

\AD=2布;

当点E在线段AO的延长线上时，如图4,延长A。交。。于M,连接AO,DM,过点E作

EG_LAC于G,

是直径,

ZADM=90°=NEGC,

又：NM=NC,

：.XEGCsLADM,

.ECEG

"~AM~~AD'

18

•二5二T，

10一AD

・八八一18阿

••/iZ-z---------------------,

29

综上所述：4。的长是2途或《阿

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性

质与判定，圆周角定理，正切的作出辅助线是解题的关键.

5.(2021.上海.统考二模)如图，已知扇形A08的半径。4=4,4408=90。，点C、。分

别在半径。4、。8上(点C不与点A重合)，联结C£>.点尸是弧上一点，PC=PD.

3

(1)当cot/OQC=：,以8为半径的圆。与圆。相切时，求。。的长;

(2)当点。与点B重合，点P为弧A3的中点时，求N。。的度数；

s

(3)如果OC=2,且四边形。DPC是梯形，求首"的值.

、公OCD

【答案】(1)I；(2)67.5°；(3)#-1或3+指

【分析】(1)由题意NCOO=90。，cot/OOC=《g=q,可以假设0。=3鼠OC=4k,则

CD=5k,证明AC=OC=4Z=2,推出k=g,继而可得结论.

(2)如图2中，连接。P,过点尸作PELOA于E,PFLOB于F.利用全等三角形的性质

证明APCB是等腰直角三角形，可得结论.

(3)分两种情形：如图3-1中，当。C〃P。时，如图3-2中，当PC〃OD时，分别求解即

可.

【解析】解：(1)如图1中,

oDB

图1

VZCO£>=90°,cotZODC=—=",

OC4

工设。£>=3hOC=4k,则CO=5&,

•・,以CO为半径的圆。与圆o相切，

：.CD=DB=5k,

：.OB=OD+DB=3k+5k=4,

(2)如图2中，连接OP,过点尸作PE_LOA于£PFLOB^F.

图2

,:PA=PB，

：./AOP=/POB,

PELOA,PFLOB.

:.PE=PF,

・・・ZPEC=NPFB=90。,PD=PC,

:.国△PEgR於PFB(HL),

；・NEPC=NFPB,

・・・ZPEO=ZEOF=NOO=90。，

・・・NEPF=90。,

；・NEPF=NCPB=90。,

：・NPCB=NPBC=45°,

•：OP=OB,ZPOB=45°,

ZOBP=NOPB=67.5。,

ZC5O=67.5°-45°=22.5°,

・・・ZOCD=90°-22.5°=67.5°；

（3）如图3—1中，当OC〃PD时，过点C作CE_LPQ,连接OP,

图3.1

■:OC//PD,

・・・NPOO=NAO£>=90。，

VCE1PD,

：・NCED=9。。,

・・・四边形OCEO是矩形，

：・OC=DE=2,CE=OD,

设PC=PO=x,EC=OD=yf

则有f+V=16,/=产+（厂2）2,可得工=2指-2,（不合题意的已经舍弃）,

：.PD=246-2t

S&PCDPD[21

/.SAPCDSAOCD=PDOC==—=V6-1,

%OC£>℃

如图3-2中，当尸C〃OD时，过点。作。E_LCP,连接OP,

图3・2

■:PC//OD,

：.ZCOD=ZOCE=/CED=90。,

・•・四边形OCEO是矩形，

：.OC=DE=2,CE=OD,

VOP=4,OC=2,

•*-PC=ylop2-oc2=742-22=273，

:.PD=PC=26，

•••PE=y/pD2-DE2=J(2可一2?=2近,

••EC=OD=25/3-25/2,

q

D△PC。PC段限,

04OCDo5

s

综上所述，的值为：#-1或3+而.

,△OCD

【点睛】本题属于圆综合题，考查了两圆的位置关系，解直角三角形，等腰三角形的性质，

梯形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中

考压轴题.

6.(2021・上海青浦・统考二模)已知：在半径为2的扇形408中，ZAOB=mo(0<m<180),

点C是A8上的一个动点，直线AC与直线OB相交于点O.

(1)如图1,当0<〃2<90,8。是等腰三角形时，求ZD的大小(用含胴的代数式表示);

5

(2)如图2,当加=90,点C是AB的中点时，连接AB,求丁侬■的值;

»ABC

(3)将AC沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与08所在的直线相切于点£,且OE=1

时，求线段AO的长.

【分析】(1)C在A8弧线上，所以NOBC为锐角，NCBE)为钝角，则.,38是等腰三角形,

仅有8C=B£>这一种情况，扇形A08中，OA=OC=OB,BC=BD,由边相等得对应角相

等，三角形内角和为180。，可得"=3；

(2)过。作DM_LA3的延长线于M,连接OC,C为中点，可知

AC^BC,NAOC=/CO8=45。，AO=CO=80，边相等得对应角相等，即可求得

ZACB=\35°,NBCD=45。，NCBO为BCD的外角，可得/M£)=/£>,ZCAB^ZCBA,

由角相等可推出他=B£>,在RlA08中，由勾股定理知=2,在等腰直角AO8中

AN=gAB=也,根据等高三角形的面积比等于底的比/皿=/=7束可得结果；

(3)E为弧AEC与08切点，知A、E、C在半径为2的另一个圆上，在RtOE。中，由勾

股定理知00=非,得四边形AOCCf是菱形，由菱形对角线性质，可以推出：.OOE^DOP,

得0P=石，在RtAPO中，由勾股定理得AP=姮，即可求出AD的长.

2

【解析】解：(1)C在A3弧线上，

.•./OBC为锐角，

为钝角，

则:BCD是等腰三角形时，仅有BC=8。这一种情况，

:.ND=NBCD,

连接OC则。4=OC=O8,

ZOAC=ZOCA,ZOCD=ZOBC,

：./OBC=/Z/BCD=2/D,

在LOCQ中，ZCOD+2ZEH-2ZD=180°,

ZAOC=nf-NCOD=nf+4ND-180°,

/.ZAOC=|x(180°-^OC)

nf

=180°--------2ND,

2

在.AO。中，nf+ZOAC+ZD=180°,

nf

：.180°H——―/3=180。，

2

.irf

••ND=—；

(2)过。作延长线于M,连接OC,

■:c为AB中点，

:.AC=BC,

・•・N84C=且AO=CO=5。，

:.ZOAC=ZOCA=ZOCB=OBC,

/.ZACO+ZBCO=yx（360°-90°）=135°,

/.BCD=45°,

：.450+ZODA=ZABC+ZABD=45°+ZABC,

：.ZABC=/ADO=ZBAC,

:.BD=AB=2金（勾股定理），

/.BM=DM=2

ZMBD=ZOBA=45°,

BM=DM,

：.AM=AB+BM=242+2,

*'•AN=yAB=5/2>

.SMBI）_AD=AM=242+2=2i

,•S^BcACANV2

图2

(3)图2如下:

为弧线4EC与OB切点，

；.A、E、C在半径为2的另一个圆上,

VffE=2,OE=1,

：.0O=小（勾股定理）,

又：a4=OC=2,OA=OC=2,

，四边形AOCO是菱形，

二ACLOO且AC、OO互相平分,

且NOOE共角，

00Es：DOP,

=黑且。P/。。邛,

"O'E

0P=石,

=—（Rt"（7的勾股定理）

2

/.AD=AP+PD=2亚+叵

【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、

菱形的判定和性质、勾股定理等是解题关键.

7.（2022春.上海.九年级专题练习）已知。。的直径AB=4,点尸为弧A8上一点，联结附、

PO,点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结8c交出、PO于点。、E.

7

(1)如图，当cos/C8O=工时，求8c的长;

O

(2)当点C为劣弧AP的中点，且△ED尸与△AOP相似时，求/A8C的度数;

(3)当AO=2/）P,且△BE。为直角三角形时,求四边形AOEO的面积.

【答案】（1）Z（2）18°：（3）（或之名

236

【分析】（1）解法一：如图1,过点。作OG_LBC于点G,根据垂径定理和余弦的定义可

得8c的长；解法二：如图2,连接AC,根据圆周角定理可得NACB=90。，根据cos/CB。

7

=（可得BC的长；

O

（2）如图3,如图3,连接OC,根据题意可知：与AAOP相似只存在一种情况：

XDPEsXOPA,得NQPE=Nfi4O,设NABC=a,则NAOC=NCOP=2a,在△OEB中

根据三角形外角的性质列方程可得结论；

（3）当ABE。为直角三角形时，NOBE不可能是直角，所以分两种情况：①如图4,当NEOB

=90。时，作辅助线，作平行线，根据平行线分线段成比例定理计算AH,OH,的长，根

据面积差可得结论：②如图5,当/0破=90。时，连接AC,证明N4BC=30。，分别计算各

边的长，根据面积差可得结论.

【解析】解：(1)解法一：如图1,过点。作OGLBC于点G,

：.BG=^BC,

：AB=4,

：.OB=2,

・・/七DC—7BG

•cosCDO—=~~，

8OB

7

BG=—,

4

7

：.BC=2BG=-；

2

解法二：如图2,连接AC,

图2

〈AB是。。的直径，

・・・ZACB=90°,

••COSz—TIJDC-~~~,

AB8

.BC7

：・BC=K

(2)如图3,连接OC,

E

AOB

图3

VZP=ZP,△EDP与△AO尸相似,

:•丛DPES^OPA,

:・/DPE=/PAO,

是AP的中点，

・・・/AOC=/COP,

设NA8C=a,则NAOC=NCOP=2a,

•：OB=OC,

：.ZOCB=ZOBC=a,

•・・C是AP的中点，

:.OC-LAP,

：.ZPAO=90°-2a,

：.NDEP=NOEB=90。-2a,

在AO"中，ZAOP=ZOEB+ZABC.

A4a=90°-2a+a,

/.a=18°,

・・・ZABC=18°；

（3）分两种情况：

①如图4,当NEOB=90。时，过。作。H_LA8于H,

图4

：.DH//PO,

.ADAH

•（=,

PDOH

，：AD=2PD,

:・AH=2HO,

\'AB=4f

428

.\AH=—,0H=-,BH=-

333

'：AO=OPfZAOP=90°f

NA=45。，

4

:・AH=DH=—，

3

OE//DH,

OE2

.OEOB

即T=

33

：.0E=\,

；・S两边形AOED=S^ABD-SAOEB

1,41

==—x4x------x2x1t

232

=5

=3；

②如图5,当NOEB=90。时，连接AC,

图5

VZC=ZOEB=90°,

：.AC//OE,CE=BE,

•・・AO=2QP,

同理得AC=2PE,

・.・A0=80,

：.AC=20Ef

：.0E=PE=g0P,

：.AC=^ABf

：.ZABC=30°,

,.・A8=4,

22

：.OB=2=AC,OE=}fBE=g,BC=74-2=273,

CE=y/3,

*：AC//PE,

.CDAD

••—=n2,

DEDP

":CD+DE=8,

・・.C£）=述，

3

••S四边形AOED=S&\BC-S^OEB-S^ACD

==-x2x2^--xlx^-lx2x^,

2223

=5应

~6~.

综上，四边形AOEQ的面积是1或也.

【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰

三角形的性质等.（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以

及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形.

8.（2021・上海•九年级专题练习）如图，已知在四边形ABC。中，AD//BC,ZABC=90°,

（2）过点。作垂足为点“，设。"=九试用『的代数式表示九

（3）设点G为OC的中点，联结OG、OD,ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求

出厂的值；如不能，试说明理由.

【答案】（1）3；（2）y=3“尸+4；（3）ODG能成为等腰三角形，r=20

r+4

【分析】（1）证。尸为梯形ABCD的中位线，得出r=OF=g（AD+BC）=3即可；

（2）连接O。、OC,过点。作。于则S=8C-8M=4,由勾股定理得出

DC=2,=+4，由四边形ABCD的面积=/\DOC的面积+4AO。的面积+△8OC的面积，

进而得出答案；

（3）证OG是梯形ABC。的中位线，得出OG〃A。，OG=3,DG=^CD=y/r+4,由勾

股定理得=分三种情况，分别求解即可.

【解析】解：(1),/OFUBC,OA=OB,

。F为梯形ABCD的中位线，

OF=g(A£>+8C)=：(l+5)=3,即O的半径长为3；

(2)连接。£>、OC,过点。作。于如图1所示:

,?AD//BC,ZABC=90。，且DAY_L8C,

四边形46Mo为矩形，

则BM=AD=1，

，DC=>JDM2+CM2=，⑵了+42=24+4,

四边形ABC。的面积=AD0C的面积+A40D的面积+ZX8OC的面积,

—(I+5)x2r=-x25/r^+4xy+—rx1+—rx5,

2''222

(3)一ODG能成为等腰三角形，理由如下：

:点G为。C的中点，OA=OB,

/.0G是梯形A8C。的中位线，

OG//AD,OG=g(A£>+BC)=g(l+5)=3,

DG=-CD=>Jr+4,

2

由勾股定理得：0D=+AD2=Vr2+12=\lr2+1>

分三种情况：

①OG=E>O时，则〃+4=7777,无解；

②8=OG时，如图2所示：

，产+1=3,解得：r=2&;

③G£）=GO时，作。/7_LC。于“，如图3所示:

OG//AD,

ZADO=NGOD,

ZADO=Z.GDO,

二。0是NADG的平分线，

由题意知：OAVAD,

又OH工CD,

?.OA=OH,

则此时圆。和C£＞相切，不合题意；

综上所述，ODG能成为等腰三角形，r=2垃.

【点睛】本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、角平分线的性质、等腰三角形

的性质等知识；熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键.

9.（2022・上海・九年级专题练习）如图，已知AB是半圆O的直径，AB=6,点C在半圆O

上.过点A作AD_LOC,垂足为点D,AD的延长线与弦BC交于点E,与半圆O交于点F

（点F不与点B重合）.

cC

EE

AO5

备用图

（1）当点F为BC的中点时，求弦BC的长；

（2）设OD=x,爷DE=丫，求y与x的函数关系式；

（3）当△AOD与△CDE相似时，求线段0D的长.

3-x3

【答案】（1）373;（2）y=:；（3）-

62

【分析】（1）连结OF,交BC于点H.得出NBOF=/COF.则/AOC=/COF=NBOF

=60°,可求出BH,BC的长；

（2）连结BF.证得OD〃BF,则卷==三，即笔=:三，得出笔=早，则得出结

DF3+xAD3+xAE6

论；

（3）分两种情况：①当NDCE=NDOA时，AB/7CB,不符合题意，舍去，②当NDCE=

13

/口人0时\连结OF,证得NOAF=30。，得出OD=-OA=—，则答案得出.

22

【解析】解：（1）如图1,连结OF,交BC于点H.

AOF±BC,BC=2BH.

.\ZBOF=ZCOF.

VOA=OF,OC1AF,

ZAOC=ZCOF,

・•・ZAOC=ZCOF=ZBOF=60°,

在RtZkBOH中，sinZBOH=—=2^,

OB2

VAB=6,

JOB=3,

・・・BH=M,

2

・・・BC=2BH=3G；

•♦・AD=DF.

又・.,OA=OB,

・・・OD〃BF,BF=2OD=2x.

.DECD3—x

・•---=---=----,

EFBF2x

.DE3-x

••---=----,

DF3+x

DE3-x

即Rn——=----，

AD3+x

.DE3-x

••----=-------,

AE6

(3)AAOD和ACDE相似，分两种情况：①当NDCE=/DOA时，AB〃CB,不符合题

意，舍去.

②当NDCE=NDAO时，连结OF.

.\ZOAF=ZOFA,ZOCB=ZOBC.

VZDCE=ZDAO,

JNOAF=ZOFA=ZOCB=ZOBC.

ZAOD=ZOCB+ZOBC=2ZOAF,

.".ZOAF=30°,

13

/.OD=-OA=-.

22

3

即线段OD的长为

【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理，

相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，构造基本图形解决问题.

10.(2021・上海•九年级专题练习)如图，已知半圆。。的直径AB=10,弦且CZ)

=8,E为弧C£>的中点，点尸在弦上，联结PE,过点E作PE的垂线交弦CD于点G,

交射线OB于点凡

(1)当点F与点8重合时，求CP的长；

(2)设CP=x,OF=y,求y与x的函数关系式及定义域；

(3)如果GP=GF,求△EP尸的面积.

备■用图

【答案】(1)C尸=2；(2)、=普(0,.<3)；(3)吨

4-x2

【分析】(1)如图1,连接EO,交弦CZ)于点H,根据垂径定理得EOLAB,由勾股定理计

算=5=3,可得E4的长，证明N//PE=NHGE=45。，则PE=GE.从而可

得结论；

(2)如图2,连接OE,证明△列比例式可得结论；

(3)如图3,作PQLAB,分别计算PE和EF的长，利用三角形面积公式可得结论.

【解析】(1)连接EO，交弦C£)于点H,

图1

为弧CD的中点,

：.EO±AB,

,:CD"AB,

・•・OHLCD,

：.CH=-CD,

2

连接CO,

VAB=10,CQ=8,

：.CO=5,CH=4,

：・OH7c()2-CH?=3,

：.EH=EO-OH=2f

•••点］与点B重合,

：.ZOBE=ZHGE=45°,

•；PE1.BE,

：.ZHPE=ZHGE=45%

:,PE=GE,

：.PH=HG=2,

：.CP=CH-PH=4-2=2；

(2)如图2,连接OE,交CD于H,

■:NPEH+NOEF=9伊,ZOFE+ZOEF=90°,

图2

：.ZPEH=ZOFEf

・；NPHE=/EOF=9。。,

:•△PEHS^EFO,

.EHPH

••=，

FOEO

♦：EH=2,FO=y,PH=4-x,EO=5f

24-x

y=-^-(0„x<3).

4-x

(3)如图3,过点尸作尸0_LAB,垂足为Q,

E

图3

,:GP=GF,

:・/GPF=/GFP,

9：CD//AB,

:・NGPF=/PFQ,

VPE±EF,

：.PQ=PE9

由（2）可知，匕PEHsXEFO,

.PEPH

••=f

EFEO

♦；PQ=0H=3,

:.PE=3,

■:EH=2,

•'-PH=VPE2-EH2=>/5，

**EF~~r,

，EF=36，

'S®F=gPE.EF=$3x3小=当・

【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形列比例式解决问题，属于中考压轴题.

一、解答题

1.（2022上海嘉定・统考二模）在半圆。中，AB为直径,AC,AD为两条弦，且/C49+ZDAB

(2)如图2,点尸在直径AB上，。尸交AC于点E,若AE=OE,求证：AC=2£»B

(3)如图3,在(2)的条件下，连接BC,若AF=2,BC=6,求弦A。的长.

【答案】(1)见解析

⑵见解析

⑶2石

【分析】(1)连接B。、CD,先证/。区4=/D4C,再证/QC4=/D4C,可得出AD=C£),即

可推出结论；

(2)连接80、CD,过点。作。GLAC于点G,则N£»G4=90。，可证得OG垂直平分AC,得

出AC=2AG,再证△AOFZAJMG,推出AG=OF,即可得出AC=2£>F；

(3)取BC中点”，连接OH、0D,则BH=CH=gBC=3,OH1BC,证RdOEDmRtABHO,

推出0E=BH=3,0D=0A=5,则在RoOEO中，求出Of的长，在RdAED中，可求出AO

的长.

(1)

证明：如图：连接B。、CD

AB为直径

ZADB=90°

ZDBA+ZDAB=90°

ZDAC+ZDAB=90°

ZDAC=ZDBA

又「ZDCA^ZDBA

.1•NDAC=NDCA

：.AD=CD

•・AD=CD

(2)

证明：如图：连接30、CD,过点。作。G，AC于点G

由⑴知AD=CD

.•.QG垂直平分AC

/.AC=2AG

AE=DE

ZADF=ZDAC

「ZDAC+ZDAB=90°

・•・ZADF+ZDAB=90°

ZDFA=ZAGD=90°

又AD=DA

:./\ADF之△R4G(A45)

DF=AG

AC=2DF

(3)

解：取BC的中点H,连接。"、0D,则8”=C”=g8C=3,OHIBC

:,ZOHB=90°=ADFO

OA=OB

二.OH是ABC中位线

/.AC=2OH

由(2)知AC=2DF

,\OH=DF

.OD=OB

/./?/△OFD沿RiABH0(HL)

：.OF=BH=3

OD=OA=AF+OF=2+3=5

在Rt/\OFD中，DF2^OD2-O尸=52-32=16

在册中，AD=[AF?+。产=物+16=2君

【点睛】本题考查了圆的有关概念及性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关

键是第(2)问能够证明/AFQ=90。，第(3)问能够通过作适当的辅助线构造全等三角形等.

2.(2021春•上海徐汇•九年级统考阶段练习)已知：。0的半径为3,OC_L弦AB,垂足为

。，点E在。。上，ZEC<?=ZBOC,射线CE与射线0B相交于点尸.设A8=x,,CE=y,

(1)求丫与x之间的函数解析式，并写出函数定义域;

(2)当AOE尸为直角三角形时，求A8的长；

(3)如果3F=1,求EF的长.

【答案】⑴y=-364，函数定义域为(0<x<6)

⑵AB=3&或3

(3)|或(

【分析】(1)过点。作OHLCE,垂足为H,先利用垂径定理得到==

EH=gEC=b，然后利用勾股定理求得OD=叵三I,最后通过证AOCB0△EH。即可

222

得到EH=OD,求得结论；

(2)当AOM为直角三角形时，存在以卜两种情况：①若/。庄=90。；②若/EO尸=900分

别求解即可；

⑶分两种情况①当CF=OF=OB-BF=2时，可得：&CFO-△COE：②当CF=O尸=

OB+BF=4时，可得：ZCFOSXCOE,利用相似三角形的性质即可求解.

(1)

过点。作O"J_CE,垂足为H,

;在圆O中，OC_L弦AB,OH上弦CE,AB=x,CE=Y,

：.BD=-AB=-xEH=-EC=-y

22f22f

在RtAODB中，OD2+BD2=BO2,OB=3,

AOD=2/36-£y

2

■：OC=OE,

：.ZECO=ZCEOf

,/NECO=NBOC,

：.ZCEO=ZBOCf

XZODB=ZOHE=90°,OE=OB

：./\ODB^/\EHO

：.EH=OD,

.y飞36-x1

••一=-------，

22

­­y=yj36-x2函数定义域为(0<x<6)

(2)

当AOM为直角三角形时，存在以下两种情况：

①若NOEE=90。，则NC。尸=/。。尸=45。

•/N008=90°,

・•・480=45。

又・.・。4=08

・・・ZOAB=NA8O=45。，

・•・NA08二90。

・・・△OAB是等腰直角三角形

AB=6OB=36

②若NEOF=90。,

则乙COF=ZOCF=3Q°

'：ZODB=90°,

：.NABO=60°

又；OA=OB

.•.△OAB是等边三角形

：.AB=OB=3

(3)

①当CF=OF=OB-BF=2时,

2

nrQ

可得：4CFOsXCOE,CE=^-^=-

CF2f

95

：.EF=CE-CF=一一2=-.

22

②当CF=OF=OB+BF=4时，

nr2a

可得：xCFOsRCOE,CE=^^=-

CF49

97

；・EF=CF—CE=4——=—.

44

【点睛】本题考查了有关圆的知识的综合题，分类讨论是解决问题的关键.

3.(2023春・上海•九年级专题练习)如图，等边△ABC内接于。0,P是AB上任一点(点P

与点A、3重合)，连接AP、BP,过点C作CM〃〃尸交布的延长线于点

⑴求ZAPC和ZBPC的度数；

(2)求证：△ACMgZ^BCP；

⑶若布=1,PB=2,求四边形的面积;

(4)在(3)的条件下，求A8的长度.

【答案】(l)NAPC=60。，ZBPC=60°

(2)见解析

小156

⑶,

(4)2

9

【分析】(1)根据等边三角形的性质得到NA8C=N34>NAa=60。，根据圆周角定理即可

得至lJ/APC=/A8C=60。，NBPC=NBAC=60。；

(2)根据平行线的性质得到N3PM+NM=180。，NPCM=/BPC,求得NM=N3PC=60。，

根据圆周角定理得到N%C+NPC8=180。，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

(3)作PHLCM于H,根据全等三角形的性质得到CM=C尸，AM