2019-2021北京重点校高二(上)期中数学汇编：抛物线及其标准方程

2019-2021北京重点校高二（上）期中数学汇编抛物线及其标准方程一、单选题1.（2021•北京八十中高二期中）已知mnW0，则方程mx2+ny2=1与mx+ny2=0在同一坐标系内的图形可能是\o"CurrentDocument".（2020∙北京.汇文中学高二期中）已知抛物线C:y2=2X的焦点为F,A（X,y）是C上一点，IAFI=5X，则X=00 40 0（ ）\o"CurrentDocument"A.1 B.2 C.4 D.8.（2021∙清华附中高二期中）设抛物线C：y2=4X的焦点为F,O为坐标原点，P是C上一点.若∣PFI=4，贝UIoPI=（）A.√21 B.5 C.2√7 D.4√2.（2021•北京一七一中高二期中）设第一象限的点P（m,n）为抛物线y2=8X上一点，F为焦点，若IPFl=6，则n=（ ）\o"CurrentDocument"A. 4√2 B. 4 C. 2√2 D. 32.（2019•北京•中央民族大学附属中学高二期中）已知抛物线的方程为y2=2X，则此抛物线的准线方程为（）11 11\o"CurrentDocument"A. X=—— B. X= C. y=— D. y=—22 22.（2020•北京・人大附中高二期中）已知抛物线X2=2py（P>0）的准线被双曲线3—y2=1截得的弦长为6,则该抛物线的焦点坐标是(1A A.0,- B.(0,32)V32√(1AC. 0,- D.(0,2)V2√. (2019•北京•首都师范大学附属中学高二期中)抛物线X2=4y的焦点是A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D..(2021∙北京八中高二期中)若抛物线的准线方程为X=-7,则抛物线的标准方程为( )A.X2=-28y B.X2=28yC.y2=-28X D.y2=28X、填空题.(2021•北京八中高二期中)已知抛物线y2=4X的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直X轴于点N.若IMFI=6，则M的横坐标为..(2021•北京一七一中高二期中)若点P是抛物线X2=4y上一动点，F是抛物线的焦点，点A(2,3),则IPAI+1PFI的最小值为..(2019•北京•中央民族大学附属中学高二期中)设P是抛物线y2=4X上的一个动点，若B(3,2),则IPBI+IPFI的最小值为 ..(2020•北京・汇文中学高二期中)已知点A(-1,0)，抛物线y2=2X的焦点为F，点P在抛物线上，且乙IAPI=√2IPFI，则IOPI=—..(2019•北京一七一中高二期中)已知点P在抛物线y2=4X上，那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为三、解答题.(2021•北京八中高二期中)已知抛物线y2=2PX(p>0)经过点P(4,4),其焦点为F，过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点，定点M(5,0).⑴求抛物线C的方程；(2)若直线l的斜率为1,求^ABM的面积；(3)设点Q在抛物线C上，试问直线2X-y+6=0上是否存在点N，使得四边形PQFN是平行四边形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由.1.(2021•北京八十中高二期中)已知抛物线C的万程是X=-y2.6(1)求C的焦点坐标和准线方程；(2)直线l过抛物线C的焦点且倾斜角为45。，与抛物线C的交点为A,B，求AB的长度..(2020∙北京.汇文中学高二期中)已知抛物线W:y2=4X的焦点为F，直线y=2X+1与抛物线W相交于A,B两点.(1)将IABI表示为t的函数；(2)若IABI=3√5，求△AFB的周长.参考答案1．A【解析】利用特殊值法验证即可得到答案.【详解】解：由题意，当m=1,n=2时，方程mx2+ny2=1表示焦点在X轴上的椭圆X2+2y2=1,方程mx+ny2=0表示开口向左的抛物线y2=-1x，故排除选项C、D；当m=-1，n=1时，方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线y2-x2=1，方程mx+ny2=0表示开口向右的抛物线y2=X，故排除选项B，而选项A符合题意，故选：A.2．C【解析】将抛物线方程化为标准形式,由此可得焦点坐标.【详解】4, 3 ,Λ3八由x=4y2得：y2=3X，.•・焦点坐标为-,0.3 4 V16）故选：C.3．B【解析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出．【详解】由抛物线C:y2=2X可得P=1,P=1，准线方程X=-1，2'∙"A（X，y）是C上^■点，AF=—x，x>0.0 40 0.5p1••—X=X+—=X+—,40 0 2 0 2解得=.0故选：B.4．A【解析】根据IPFI=4，利用抛物线的定义求得点P的坐标，然后利用两点间距离公式求解.【详解】由y2=4X可得F（1,0）,准线为X=-1,设pG,y)，因为IPFI=4,由抛物线的定义得％+1=4,解得：％=3，所以y2=4X3=12,所以∣op∣=∙v(%—0)2+G-0)2=,32+12=疝，故选：A.A【解析】由抛物线的定义或焦半径公式求得m，代入抛物线方程可得n.【详解】2P=8,贝UP=4,p=2.2由题意IPFI=m+2=6,m=4，所以n2=8X4，又n>0，所以n=4√2.故选：A.A【解析】由抛物线的方程直接写出其准线方程即可.【详解】由抛物线的方程为y2=2X，则其准线方程为：X=-2故选：AD【解析】由抛物线的准线被双曲线截得的弦长，可表示准线与双曲线的交点坐标，代入即可得到P值，即可表示抛物线的焦点坐标.【详解】因为抛物线x2=2py(P>0)的准线被双曲线x2-y2=1截得的弦长为6 .(pA所以该准线与双曲线的一个交点坐标表示为3,-PV27(-PT代入双曲线中32V271

=132得P=4，所以焦点坐标为(0,2)故选：D【点睛】本题考查抛物线准线与双曲线的相交问题，多见于表示交点坐标，进而求参解决问题，属于中档题.8．D【解析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出P即得焦点坐标.【详解】焦点在y轴上，又P=2，故焦点坐标为(0,1)，故选D.【点睛】求圆锥曲线的焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.9．D【解析】由题得抛物线的标准方程为y2=28%.故选D.10．5【解析】【分析】设( )，利用焦半径公式列式求解即可.00【详解】设()，00贝UIMFl=2+1=6，所以%0=5故答案为：5.11．4【解析】由抛物线的定义可得，忸F|等于点P到抛物线准线的距离，则可得।PA।+1PFI的最小值为点A到抛物线准线的距离，即可得出答案【详解】抛物线％2=4y的焦点为F(0,1)，准线为y=-1，过A作准线的垂线，交准线于C由抛物线的定义可得，IPFl等于点P到抛物线准线的距离∣P5∣,所以IPA+PFl=IPAI+∣PB∣≥ACl=4所以IPAI+1PFI的最小值为4,故答案为：4【解析】利用抛物线的定义把IPB1+1PW转化为IPB1+1PQI,在三点共线时取得最小值.【详解】解析：如图，过点B作BQ垂直准线于点。，交抛物线于点P〃则IP1QI=IP1FI，所以有【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算.13.区2【解析】λ(1—m2,m12设P，J根据条件结合距离公式求出m2=1,即可求得IOPI.【详解】λ(1.由已知可得F-,0I2λ(1一m2,m12，设P,7IAPI=`QIPFI,.∙∙∣AP∣2=2∣PF|2故答案为:4τm2 1、 )2+m22 2,解得m2=1,则"(m+2)2+m2=2(•■∣OP∣=44m4+m2=F=W7【解析】由抛物线定义可得冏I+∣PQI=IPtl+IPQl≥IPQl，由此可知当P为QQ1与抛物线的交点时，IP冏+IPQI取得最小值，进而求得点P坐标.【详解】由题意得：抛物线焦点为F(1,0)，准线为X=-1由抛物线定义知：IPFl=IPtl.∙.∣PF∣+IPQl=∣PP1∣+IPQl≥IPQl(当且仅当Q,P,P1三点共线时取等号) 门A即IPFl+IPQl的最小值为IQQI，此时P为QQ与抛物线的交点∙∙∙P-,-11 1 14 7 门A故答案为-,-1V4 7【点睛】本题考查抛物线线上的点到焦点的距离与到定点距离之和最小的相关问题的求解，关键是能够熟练应用抛物线定义确定最值取得的位置.15．(1)y2=4X(2)8v2(3)存在，Q(9,6)或Q(4,-4)【解析】(1)利用待定系数法，即可求出结果；(2)求出直线l的方程，将其与抛物线方程联立，由抛物线定义求出AB，再根据点到直线的距离公式，求出点M(5,0)到直线的距离，再根据面积公式即可求出结果.(3)由题意，设N(t,2t+6),QQ,y)，由于四边形PQFN是平行四边形，则标=FQ，可得Q(5-1,-2t-2)，将00其代入抛物线方程，即可求出t的值，即可求出Q点的坐标，并对其检验，即可得到结果.解：因为抛物线y2=2PX(p>0)经过点P(4,4)，所以16=8p，即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4X；解：由(1)可知，F(1,0)，所以直线l的方程为y=X-1,、，、、…y=X-1/r联立方程组f,，可得X2—6X+1=0,y2=4X设A(X,y),B(X,y),1 1 2 2所以X+X=6，所以AB=X+X+P=8,1 2 1 25—1—0∣ .一点M(5,0)到直线y=X―1的距离为：IQI=2,：2,所以小ABM的面积为1X8X2√2=8√2；2解：由题意，设N(t,2t+6),Q(X,y),0O又四边形PQFN是平行四边形，则血=FQ，所以(4—t,—2t—2)=(x—1,y)，所以［X0=—t。，即Q(5—t,—2t—2)，0 0 V=—2t—20将点Q(5—t,—2t—2)代入抛物线方程，可得(-21—2>=4(5—t)，即12+3t—4=0，解得t=—4或1，所以Q(9,6)或Q(4,—4)，经检验，符合四边形PQFN是平行四边形.所以直线2X-v+6=0上是否存在点N，使得四边形PQFN是平行四边形，此时Q(9,6)或Q(4,-4).(3A 316.(1)焦点为F-,0，准线方程：X=-3127 2(2)12【解析】(1)抛物线的标准方程为V2=6X，焦点在X轴上，开口向右，2P=6，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程;(2)现根据题意给出直线l的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可.(1)抛物线的标准方程是V2=6X，焦点在X轴上，开口向右，2p=6,3 (3A 3・・・P=-,・・・焦点为F-,0，准线方程:X=-3.22 127 2・・,直线l过抛物线C的焦点且倾斜角为45。，，3・・・直线L的方程为V=X—I,9代入抛物线V2=6X化间得X2—9X+4=0,设A(X,V),B(X,V)，则X+X=9,1 1 2 2 1 2所以∣AB∣=X+X+p=9+3=12.故所求的弦长为12.17.(1)|ABI=√5-101,t<2；(2)7+3√5.【解析】(1)设点A(%,y),B(X