一元二次方程

第七讲

一元二次方程一、一元二次方程的概念1.定义：只含有__个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程.2.一般形式：________________.1ax2+bx+c=0(a≠0)二、一元二次方程的解法解法形式方程的根直接开平方法x2=p(p≥0)x=____(mx+n)2=p(p≥0，m≠0)x=_______配方法(x-m)2=n(n≥0)x=_______解法形式方程的根公式法ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)x=__________因式分解法(x-x1)(x-x2)=0x=______x1或x2三、根的判别式与一元二次方程的根的情况1.Δ=b2-4ac>0⇔方程_____________的实数根.2.Δ=b2-4ac=0⇔方程___________的实数根.3.Δ=b2-4ac<0⇔方程_____实数根.有两个不相等有两个相等没有四、根与系数的关系(拓展)如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1·x2=_____.五、一元二次方程的应用列方程解应用题的六个步骤：审、设、列、解、验、答.【自我诊断】(打“√”或“×”)1.已知(m-1)x|m|+1-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=-1. ()2.用公式法解方程6x-8=5x2时，a，b，c的值分别是5，6，-8. ()√×3.若关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0无解，则a的取值范围是a<-1. ()4.一元二次方程2x2+2x-5=0的两根之和为. ()√×5.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程50(1+x)2=175. ()×考点一一元二次方程的解【示范题1】(2018·荆门中考)已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2-2)x+2k+4=0的一个根，则k的值为___________.

【思路点拨】把x=2代入kx2+(k2-2)x+2k+4=0得4k+2k2-4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值.【答题关键指导】已知方程的根求未知系数注意隐含条件：二次项系数不为0.已知一根直接代入原方程，得到一个关于未知系数(参数)的方程，解方程求出未知系数的值已知两根把两个根直接代入原方程，列出关于未知系数的方程组，解方程组，求出未知系数利用根与系数的关系求解【跟踪训练】1.(2018·盐城中考)已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为 (

)

A.-2 B.2 C.-4 D.4【解析】选B.把x=1代入方程可得1+k-3=0，解得k=2.2.(2018·南充中考)若2n(n≠0)是关于x的方程x2-2mx+2n=0的根，则m-n的值为___________.

【解析】∵2n(n≠0)是关于x的方程x2-2mx+2n=0的根，∴(2n)2-2m·2n+2n=0，∴4n2-2m·2n+2n=0，∴2n(2n-2m+1)=0，∵n≠0，∴2n-2m+1=0，∴n-m=-，∴m-n=.答案：

考点二一元二次方程的解法【示范题2】(2018·兰州中考)解方程：3x2-2x-2=0.【自主解答】移项，得3x2-2x=2，配方，得解得【答题关键指导】一元二次方程的解法选择(1)直接开平方法适用情况①当方程缺少一次项时，即方程ax2+c=0(a≠0，ac<0).②形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.(2)因式分解法适用情况①缺少常数项，即方程ax2+bx=0(a≠0).②一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积.(3)配方法适用情况①二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程.②各项的系数比较小且便于配方的情况.(4)公式法适用情况：形如ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的方程.【跟踪训练】1.(2018·柳州中考)一元二次方程x2-9=0的解是________________.

【解析】移项，得x2=9；运用直接开平方法，解得：x1=3、x2=-3.答案：x1=3、x2=-3(或x=±3)2.(2018·齐齐哈尔中考)解方程：2(x-3)=3x(x-3).【解析】2(x-3)-3x(x-3)=0，(2-3x)(x-3)=0，2-3x=0或x-3=0，解得x1=，x2=3.考点三根的判别式、根与系数的关系及其应用【示范题3】(2018·孝感中考)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=p(p+1).(1)试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根.(2)若原方程的两根x1，x2满足=x1x2=3p2+1，求p的值.【思路点拨】(1)将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=(2p+1)2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根.(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合-x1x2=3p2+1，即可求出p值.【自主解答】(1)原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0.∵Δ=(-5)2-4(6-p2-p)=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+1)2≥0，∴无论p取何值此方程总有两个实数根.(2)∵原方程的两根为x1，x2，∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p.又∵-x1x2=3p2+1，∴(x1+x2)2-3x1x2=3p2+1，∴52-3(6-p2-p)=3p2+1，∴25-18+3p2+3p=3p2+1，∴3p=-6，∴p=-2.【答题关键指导】1.一元二次方程根与系数的关系成立的条件是方程有实数根，即Δ≥0.2.在运用x1+x2=-时，注意不要漏“-”.3.应用根的判别式时，不要忽略二次项系数不为0的条件.4.方程有两个实数根包括两个相等的实数根和两个不相等的实数根两种情况，不要遗漏.【跟踪训练】1.(2018·泸州中考)已知关于x的一元一次方程x2-2x+k-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 (

)A.k≤2 B.k≤0 C.k<2 D.k<0【解析】选C.由题可知，Δ>0，即(-2)2-4(k-1)>0，解得k<2.2.(2018·菏泽中考)关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 (

)A.k≥0 B.k≤0C.k<0且k≠-1 D.k≤0且k≠-1【解析】选D.根据题意，得Δ=(-2)2-4(k+1)=4-4k-4=-4k≥0，且k+1≠0，解得k≤0且k≠-1.3.(2018·贵港中考)已知α，β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根，则α+β-αβ的值是(

)A.3 B.1 C.-1 D.-3【解析】选B.根据根与系数的关系可得，α+β=-1，αβ=-2，所以α+β-αβ=(α+β)-αβ=-1-(-2)=1.4.(2018·十堰中考)已知关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根.(1)求k的取值范围.(2)若此方程的两实数根x1，x2满足=11，求k的值.【解析】(1)∵关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根，∴Δ≥0，即[-(2k-1)]2-4×1×(k2+k-1)=-8k+5≥0，解得k≤.(2)由根与系数的关系可得x1+x2=2k-1，x1x2=k2+k-1，∴=(x1+x2)2-2x1x2=(2k-1)2-2(k2+k-1)=2k2-6k+3，∵=11，∴2k2-6k+3=11，解得k=-1或k=4，∵k≤，∴k=4(舍去)，∴k=-1.考点四一元二次方程的应用【考情分析】一元二次方程的应用的层级为能列一元二次方程解决实际问题，在各地中考中均有体现，考查的内容一般为增长率问题、商品销售问题，图形面积问题等，有时和不等式组结合在一起考查.命题角度1：增长率问题【示范题4】(2018·沈阳中考)某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生产成本的下降率.(2)请你预测4月份该公司的生产成本.【思路点拨】(1)结合题目中的等量关系，建立方程模型，注意下降的百分率的正确运用：运用1减去下降的百分率，构造代数式表示下降两次后的生产成本.(2)结合(1)中求出的下降的百分率，计算4月份的生产成本即可.【自主解答】(1)设该公司每个月生产成本的下降率为x，根据题意得出400(1-x)2=361，解得x1==5%，x2==1.95>1(不合题意，需舍去)，因此只取x=5%.答：每个月生产成本的下降率为5%.(2)361×(1-5%)=342.95(万元)答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.命题角度2：与几何图形有关的计算问题【示范题5】(2017·潍坊中考)工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)，(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？

【思路点拨】(1)根据长方体底面面积为12dm2，列出方程即可求解.(2)先表示出总费用，再配方求得最小值.【自主解答】(1)如图所示：设裁掉的正方形的边长为xcm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x2-8x+12=0，解得：x1=2或x2=6(舍去).所以裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.(2)因为长不大于宽的五倍，所以10-2x≤5(6-2x)，所以0<x≤2.5.设总费用为w，由题意可知：w=0.5×2x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24.因为对称轴为x=6，开口向上，所以当0<x≤2.5时，w随x的增大而减小，所以当x=2.5时，wmin=25元.所以当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低为25元.【答题关键指导】1.销售问题利润=售价-进价=进价×利润率.2.增长率问题的有关公式增长数=基数×增长率；实际数=基数+增长数.(1)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1+增长率)2=后来的.(2)如果是下降率，则上述关系式为：原来的×(1-下降率)2