高中数学对数函数

高中数学对数函数第一页，共十八页，编辑于2023年，星期六一、复习：

1、对数的概念：2、指数函数的定义:如果ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b（a>0,a≠1）

函数y=ax(a＞0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量.函数的定义域是R.第二页，共十八页，编辑于2023年，星期六回忆学习指数函数时用的实例

细胞分裂问题：细胞的个数y是分裂次数x的函数：y=2x；

即细胞分裂的次数x也是细胞个数y的函数，如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是：y=log2x

由对数的定义，这个函数可以写成对数的形式：x=log2y，

由反函数的概念可知，y=log2x与y=2x互为反函数第三页，共十八页，编辑于2023年，星期六一般地函数y=logax(a＞0,且a≠1)是指数函数y=ax的反函数函数y=logax(a＞0,且a≠1)

叫做对数函数.其中x是自变量,函数的定义域是（0,+∞）对数函数和指数函数互为反函数对数函数的定义：第四页，共十八页，编辑于2023年，星期六用描点法画对数函数y=log2x和y=log0.5x的图象（点击进入几何画板）第五页，共十八页，编辑于2023年，星期六两个对数函数的图象特征和性质的分析xy01y=log2xy=log0.5x

图象特征函数性质

图像都在y轴右侧图像都经过(1,0)点

1的对数是0㈠㈡当底数a＞1时;x＞1,则logax＞00＜x＜1,则

logax＜0当底数0＜a＜1时;x＞1,则logax＜0。0＜x＜1,则logax＞0图像㈠在(1,0)点右边的纵坐标都大于0,在(1,0)点左边的纵坐标都小于0;图像㈡则正好相反自左向右看,

图像㈠逐渐上升图像㈡逐渐下降当a＞1时,y＝logax在(0,+∞)是增函数当0＜a＜1时,y＝logax在(0,+∞)是减函数定义域是(0,∞）第六页，共十八页，编辑于2023年，星期六

根据互为反函数的图象关于直线y=x对称，作出对数函数y=logax的图象

(点击进入几何画板）第七页，共十八页，编辑于2023年，星期六图象a>10<a<1性

质

对数函数y=logax(a>0,a≠1)(4)

0<x<1时,y<0;x>1时,y>0(4)

0<x<1时,y>0;x>1时,y<0(3)过点(1,0),即x=1时,y=0(1)定义域：(0,+∞)(2)值域：Rxyo(1,0)xyo（1,0)(5)在(0,+∞)上是减函数(5)

在(0,+∞)上是增函数对数函数的图象和性质第八页，共十八页，编辑于2023年，星期六例1比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4,log28.5⑵log0.31.8,log0.32.7⑶loga5.1,loga5.9(a＞0,a≠1)解⑴考察对数函数y=log2x,因为它的底数2＞1,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是log23.4＜log28.5

⑵考察对数函数y=log0.3x,因为它的底数0.3,即0＜0.3＜1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8＞log0.32.7第九页，共十八页，编辑于2023年，星期六解：当a＞1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,于是loga5.1＜loga5.9

当0＜a＜1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,于是loga5.1＞loga5.9⑶loga5.1,loga5.9(a＞0,a≠1)注:例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.分析：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论:第十页，共十八页，编辑于2023年，星期六练习1:

比较下列各题中两个值的大小:⑴log106

log108⑵log0.56

log0.54⑶log0.10.5

log0.10.6⑷log1.51.6

log1.51.4＜＜＞＞第十一页，共十八页，编辑于2023年，星期六练习2：已知下列不等式，比较正数m，n的大小：

(1)log3m<log3n(2)log0.3m>log0.3n(3)logam<logan(0<a<1)(4)logam>logan(a>1)答案:(1)m<n(2)m<n(3)m>n(4)m>n第十二页，共十八页，编辑于2023年，星期六例2比较下列各组中两个值的大小:

⑴

log67,log76;⑵

log3π,log20.8.解:⑴∵log67＞log66＝1

log76＜log77＝1

∴log67＞log76⑵∵log3π＞log31＝0

log20.8＜log21＝0∴log3π＞log20.8注:例2是利用对数函数的单调性比较两个对数的大小.当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入一个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大小分析

:（1）logaa＝1（2）loga1＝0第十三页，共十八页，编辑于2023年，星期六练习3：

将0.32，log20.5，log0.51.5由小到大排列，顺序是：

log20.5<log0.51.5<0.32第十四页，共十八页，编辑于2023年，星期六1、对数函数的定义2、对数函数的图象和性质3、比较两个对数值的大小

课堂小结第十五页，共十八页，编辑于2023年，星期六图象性

质对数函数y=logax(a>0,a≠1)指数函数y=ax(a>0,a≠1)(4)

a>1时,x<0,0<y<1;x>0,y>1

0<a<1时,x<0,y>1;x>0,0<y<1(4)

a>1时,0<x<1,y<0;x>1,y>0

0<a<1时,0<x<1,y>0;x>1,y<0(5)

a>1时,在R上是增函数；

0<a<1时,在R上是减函数(5)

a>1时,在(0,+∞)是增函数；

0<a<1时,在(0,+∞)是减函数(3)过点(0,1),即x=0

时,y=1(3)过点(1,0),即x=1时,y=0(2)值域：(0,+∞)(1)定义域：R(1)定义域：(0,+∞)(2)值域：Ry=ax(a>1)y=ax

(0<a<1)xyo1y=logax(a>1)y=logax(0<a<1)xyo1指数函数、对数函数的图象和性质第十六页，共十八页，编辑于2023年，星期六㈠若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进