八年级上册数学第17章一元二次方程单元测试（培优提升卷）

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】

专题17.12第17章一元二次方程单元测试（培优提升卷）

姓名:班级：得分：

注意事项：

本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道.答卷前，考生务必用0.5毫米

黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（2020秋•奉贤区期末）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（）

11,

A.—+—2=0B.wc+bx+c=Q

XX

C.（x-2）2=2（%-2）D.炉+2丫=3

【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可.

【解析】A、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

3、当。=0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意：

C、是一元二次方程，故此选项符合题意；

含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

故选：C.

2.（2020秋•浦东新区期末）在下列方程中，有两个不相等实数根的是（）

A.f=2x-4B.X2-4X+4=0C.X2-2X-1=OD.X2+4=0

【分析】先计算各方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断方程根的情况，从而得到正确答案.

【解析】A、方程化为V-Zx+d：。，贝lJ△=（一2）2-4x4=-12<0,方程无实数根，所以A选项不符合题

意：

B、△=（-4f-4x4=0,方程有两个相等的实数根，所以8选项不符合题意；

C、A=（-2）2-4x（-1）=8>0,方程有两个不相等的实数根，所以C选项符合题意；

D、△=02-4X4=-16<0,方程无实数根，所以。选项不符合题意.

故选：C.

3.（2020秋•上海期末）下列方程中，没有实数根的是（）

A.x2-3x=0B.x2-6x+10=0C.x2-6x+9=0D.x2=1

【分析】分别计算每个方程根的判别式的值，从而得出答案.

【解析】A.此方程根的判别式△=(-3)2-4x1x0=9>0,有两个不相等的实数根，不符合题意；

B.此方程根的判别式△=(-6)2-4x1x10=-4<0,没有实数根，符合题意;

C.此方程根的判别式△=(-6)2-4x1x9=0,有两个相等的实数根，不符合题意；

D.此方程根的判别式△=02-4X1X(T)=4>0,有两个不相等的实数根，不符合题意；

故选：B.

4.(2021春•余姚市期末)用配方法解一元二次方程幺-以-9=0,可变形为()

A.(x-2/=9B.(x—2)2=13C.(x+2)2=9D.(x+2)2=13

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案.

【解析】■x2-4x-9=0,

.,.X2-4x=9,

贝ijf—4x+4=9+4,即(X-2)2=13,

故选：B.

5.(2021春•浦东新区校级月考)若x=l是方程(4-1)/+伏2-1»-%+1=0的一个根，则上值满足()

A.左=±1B.k=\C.k=—1D.

【分析】方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；利用这一知识点求出未知字母系数后，要

善于观察未知数的系数；将X=1代入原方程即可解得A的值.

【解析】把x=l代入方程伙一1)/+(公-1次-&+1=0，

可得1+/一1—1+1=0,

即k2=l,

解得改=一1或1；

但当人=1时01和公_1均等于0,故应舍去；

所以，取4=一1;

故选：C.

6.(2020秋•浦东新区校级月考)若加是关于x的一元二次方程4/+心+机=。的根，且则〃的

值为()

A.-1B.1C.——D.-

22

【分析】根据一元二次方程的解的定义，将刑代入关于x的一元二次方程4V+nx+加=0,通过解该方程

即可求得〃?+〃的值.

【解析】m是关于x的一元二次方程4x?+nx+m=0的根，

二+mn+m=0,

m(4m+"+1)=0；

X-/HHO,

.,.4/n+/?+l=0，

解得，4m+n=-l；

故选：A.

7.(2020秋•佛山期中)某口罩加工厂今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，问二、

三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率为x,则根据题意可得方程为()

A.80(1+x)2=340B.80+80(1+x)+80(1+2x)=340

C.80(1+x)3=340D.80+80(1+x)+80(1+x)2=340

【分析】直接利用已知表示出二、三月份的产值进而得出等式求出答案.

【解析】设月平均增长率为x,则根据题意可得方程为：

80+80(1+x)+80(1+x)2=340.

故选：D.

8.(2020•龙岗区校级模拟)如图所示，在一幅长80c〃z,宽50c,"的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制

成一幅矩形挂图.如果要使整幅挂图的面积是5400c/,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是(

A.x2+130x-1400=0B.f+65x—350=0

C.^-130^-1400=0D.X2-65X-350=0

【分析】根据矩形的面积=长*宽，得出本题的等量关系是：（风景画的长+2个纸边的宽度）x（风景画的

宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程.

【解析】依题意，设金色纸边的宽为xcm,

（80+2x）（50+2x）=5400,

整理，得丁+65%一350=0.

故选：B.

9.（2020秋•吁胎县期中）关于x的一元二次方程/+加+机=0的两根中只有一个等于0,则下列条件正确

的是（）

A.a=0,〃=0B.C.mw（）,7?=0D.m=0,

【分析】由根与系数的关系可得X+%2=-〃，机，再根据两根中只有一个等于0，由此即可求解.

【解析】「关于冗的一元二次方程d+加+m=0的两根中只有一个等于0,

X]+/=-〃00,x}x2=7n=0,

zn=0,n^O.

故选：D.

10.（2019秋•徐汇区校级月考）若方程%2+23+加+2=0的一个根大于1,另一个根小于1,则团的取值

范围是（）

A.m<—\B.m>—{C.m<\D.m>\

【分析】先利用判别式的意义得到加>2或mv-l设方程f+2mx+机+2=0的两根为。、0,利用根与系

数的关系得到。+4=一2m，a/3=m+2,再利用a>l,尸<1得到（a—l）（夕一1）<0,

则优+2+2〃z+lv0,然后解关于”的不等式从而得到m的范围.

【解析】根据题意得△=4/-4（机+2）>0,

（/n-2）（m+1）>0>

二.%>2或加<一1

设方程f+2/nr+m+2=0的两根为a、0,则a+〃=-2/%,ap=m+2,

a>\yp<\即0-l>0,P~\<0,

（a—1）（,—1）<0,

即加一(a+0+1<0,

:.m+2+2m+1<0,解得1，

m的范围为机<一1.

故选：A.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11.（2021•浦东新区校级二模）如果关于x的方程V-6x+机-1=0有一个根为2,那么〃?=9.

【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于〃?

的方程，从而求得力的值.

【解析】把x=2代入方程得:22—6x2+???-1=0.

解得m=9.

故答案是：9.

12.（2021•嘉定区二模）如果关于x的方程幺-6万+机=0有两个相等的实数根，那么旭的值为9.

【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=加-4ac=0,即可求加值.

【解析】•方程d-6x+〃?=0有两个相等的实数根，

△=/—4ac=（—6）2—4m=0,

解得加=9,

故答案为：9.

13.（2021春•青浦区期中）某商品原价为180元，连续两次提价后售价为300元，且每次提价的百分率相

等，设每次提价的百分率为x,依题意可列方程_180（1+4=300_.

【分析】根据该商品的原价及经过两次提价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【解析】依题意得：180（1+X）2=300.

故答案为：180（l+x）2=300.

14.（2021•浦东新区二模）如果关于x的方程d+3x-%=0没有实数根，那么k的取值范围是k<--.

4一

【分析】根据判别式的意义得到△=32-4X（-6<0,然后解不等式即可.

【解析】根据题意得△=32-4X（-Q<0,

解得左<一9.

4

o

故答案为：k<--.

4

15.（2021春•上海期中）方程组的解是]或匕

[ab=-24—[h=\2.

【分析】根据方程组，可以将。、6看成方程V-10x-24=0的两根.解此方程即可.

Ja+b=10

【解析】[ab=-24

可以将a、b看成方程「-10彳-24=0的两根.

:.a=-2,h=\2,或者a=12,b=-2.

a+力=10“7卜=12

方程组的解是

ab=-24b=\2[b=-2

故答案为:

16.（2020秋•浦东新区期末）若关于一元二次方程2如2+（8/%+l）x+8m=0有两个实数根，那么〃7的取值

范围是团…一」-且〃zw0.

—16——

【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=〃-4ac..O,建立关于〃?的不等式，求出力的取

值范围.

【解析】丁方程有两个实数根，

△=/?2-4ac-（8A?I+1）2-4x2mx8/?z=1+16m..0,且2机00,

解得：加…一,且m/O,

16

故答案为m…-’且mwO.

16

17.（2021春•高青县期末）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆

隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米（恰好用完），围成的大长方形花圃的

面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为x米，可歹U出方程为_x（17-3x）=24_.

【分析】设垂直于墙的一段篱笆长为x米，则平行于墙的一段篱笆长为（17-3幻米，根据长方形的面积公式

列出方程即可.

【解析】设垂直于墙的一段篱笆长为X米，则平行于墙的一段篱笆长为（17-3x）米，

根据题意,得x（17-3x）=24.

故答案是：x（17-3x）=24.

18.（2020秋•随县期末）方程（加-2）/七+（3-机口-2=0是一元二次方程，则机=_-2_.

【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0,未知数的次数为2,可得机的取值范围.

[解析].,关于x的方程（m-2）.<+（3-m）x-2=0是一元二次方，

J-2w0

"[m2-2=2,

解得：m=-2.

故答案为：-2.

三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（2020秋•奉贤区期末）解方程：x2+l=4x.

【分析】方程整理后，利用公式法求出解即可.

【解析】方程整理得：X2-4X+1=0,

这里〃=1,b=-4,c=1•

-b2—4ac=16—4=12>0>

-b±ylb2-4ac4±2e

..X——,

2a2

解得：%=2+6,x2=2-y[3.

20.（2021春•闵行区期末）解关于元的方程：a2x2-l=-x2.

【分析】当a=0时，解关于x的一元二次方程；当awO时，解关于x的•元二次方程，分这两种情况解答

即可.

【解析】当々=0时，T=—f,即Y=i.

解得％=1,X2=—1；

当aw0时，a2x2-1=-x2,即（笳+1）%2=1.

所以/=」一.

解得演=叵£,

\+a-

综上所述，X的值是1或T或野或-空

21.（2021春•浦东新区月考）已知关于x的方程f+（2k—l）x+%2_i=o的两根为玉，X2,满足：

%；=16+%々，求实数&的值.

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=YZ:+5..O,即可得出院?，由根与系数的关系可

—11

得百+x,=1—2k、X1,*2=—1，将其代入x；+x；=（X1+%2）"2Xj,x2=16+X|,x21»解N,即可得出k口勺值.

【解析】.•关于X的方程丁+（2无-1口+火2-1=0有两个实数根%,七,

△=（2k-1y-4（公-1）=-4%+5..0,

解得：晨2,

4

，关于x的方程/+（2左_1）》+左2_]=（）有两个实数根不，X,,

2

:.\+x2=\-2k,x{-x-,=k-\.

22

%1+x；=（xt+x2）-2x,-x2=16+x,-x2,

（l-2A:）2-2x（jt2-l）=16+（A:2-l）,即&2—4%—12=0,

解得：k=-2或々=6（不符合题意，舍去）.

.,•实数）的值为-2.

22.（2020秋•潮州期末）返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全的考虑，为每位学生准备了便携

式免洗抑菌洗手液.去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元：超过100

瓶时，每增加10瓶，单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗

手液.

（1）当x=80时，每瓶洗手液的价格是8元:当x=150时，每瓶洗手液的价格是一元.

（2）若家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？

【分析】（1）根据商家所给出条件进行判断，即可求得结论；

（2）根据题意确定x的取值范围，再列方程求解即可.

【解析】（I）80<100,

每瓶洗手液的价格是8元；

当x=150时，每瓶洗手液的价格是：8-（150-100）-10x0.2=8-1=7（兀），

故答案为：8,7；

（2）①既作100时，8x100=800<1200（舍去）；

②。（8--y-10°x0.2）=5,解得，x=250,

10

y_1QQ

.•.当100<x,250时，x（8-------X0.2）=1200.

解得，%,=200,x2=300（舍去），

③当x>250时，1200-5=240（舍去）.

答：一共购买了200瓶洗手液.

23.（2021•西城区校级模拟）己知，关于x的一元二次方程丁—2犬+机-1=0有两个不相等的实数根.

（1）求机的取值范围；

（2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求加的值.

【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根知△>（）,据此列出关于m的不等式，解之可得；

（2）由（1）中机的范围且加为非负整数，且该方程的根都是整数得出机的值即可.

【解析】（1）根据题意得：（-2）2-4（m-l）>0,

解得：m<2.

故，”的取值范围为帆<2；

（2）由（1）得：m<2

机为非负整数，

.,.m=0或1,

把力=0代入原方程得：x2-2x-l=0,

解得：X1=1—y/2,X,=1+\/2,

m=0不合题意舍去；

把〃7=1代入原方程得：X2—2x=0,

解得：%,=0,x2=2.

故m的值是1.

24.（2020秋•沙依巴克区期末）如图，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃"8.已

知旧墙可利用的最大长度为13加，篱笆长为24机，设垂直于墙的AB边长为x，".

（1）若围成的花圃面积为70/时，求BC的长；

（2）如图，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为78病，请你判断能否围成这样的

花闹？如果能，求5c的长；如果不能，请说明理由.

【分析】（1）根据题意列方程，列方程即可得到结论;

（2）根据题意列方程，列方程即可得到结论.

【解析】（1）解：根据题意得:BC=（24-2x）zn,

则（24—2x）x=70,

解得：%)=5,*2=7,

当王=5时，BC=14x2=7时，8c=10,

墙可利用的最大长度为13m,3C=14舍去.

答：8c的长为10，〃.

（2）解：不能围成这样的花圃.理由如下：

依题意可知：（24-3x）x=78,

即f_8X+26=0,A=82-4X1X26=^10<0,

所以方程无实数根，

答：不能围成这样的花圃.

25.（2021•鼓楼区二模）已知关于x的一元二次方程“一1）。-2）=加+1（加为常数）.

（1）若它的一个实数根是方程2（x-l）-4=0的根，则〃?=^,方程的另一个根为一；

（2）若它的一个实数根是关于x