一元随机变量及分布

关于一元随机变量及分布第1页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三一、随机变量及分布21、随机变量：对于随机试验的每一个可能结果w(样本点)∈Ω,都有唯一的实数X(w)与之对应，则称X(w)是一个随机变量，简记为R.V.X注意：(1)随机变量X(w)实质是函数，X(w)取值是值域．(2)实验结果是随机的，X(w)取值也是随机．(3)实验的各个结果的出现有一定概率，X(w)取值有一定概率．离散型连续型取值为有限个和至多可列个的随机变量.可以取区间内一切值的随机变量.２、分类第2页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三二、离散型随机变量及分布１、离散型随机变量定义：设X是一个随机变量，如果X的所有可能取的值为有限个或可数个，则称X为离散型随机变量，记为D.R.VX．2、离散型随机变量的概率分布：设X是离散型随机变量，可能取的值为，则称为X的概率分布或分布列．3、分布列的性质（1）（2）4、求分布列的步骤：（1）明确X的含义及一切可能取值。（2）利用概率的计算方法，计算X取各值的概率。3第3页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，试用一个随机变量描述该项一次试验的结果,求分布列。2/31/3P10X解:设X为一次试验的成功次数4由已知条件求随机变量分布列的例题例２、袋中有５只同样大小的球，编号为１、２、３、４、５从中同时取出３只球，以X表示取出的球的最大号码，求X的概率分布．6/103/101/10P543X解:设X取出的球的最大号码第4页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例3设一试验成功的概率为p(0<p<1),接连重复进行试验,直到首次成功出现为止,求试验次数的概率分布.解设X表示试验次数,X取值为1,2,...,n,...,P{X=1}=p,P{X=2}=(1-p)p,...,P{X=n}=(1-p)n-1p...,记q=1-p,则X的概率分布为:几何分布P{X=n}=qn-1p,(n=1,2,...)5第5页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三

例4．某射手有五发子弹，每次射击命中目标的概率为０.８，如果命中就停止射击，不命中就一直射到子弹用尽。（1）射击次数X的分布列Y=5-X（２）求子弹剩余数Y的分布列6解:(1)第6页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例5．一袋中有5个新球，3个旧球。每次从中任取一个，有下述两种方式进行抽样，X表示直到取得新球为止所进行的抽样次数：（1）不放回地抽取；（2）有放回地抽取。求X的分布列。几何分布7第7页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例6．一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口。每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿独立，且红绿两种信号显示时间相等。以X表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求X的概率分布。8第8页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例7．设一个试验只有两个结果：成功或失败，且每次试验成功的概率为P．现反复试验，直到获得K次成功为止．以X表示获得K次成功时的实验次数，求X的概率分布．91．0-1分布２．均匀分布３．几何分布常用离散型分布第9页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三三、分布函数1、定义：设X是一个随机变量，x为任意实数，函数称为X的分布函数2、性质：（1）

（2）是非减函数（3）（4）右连续，即

10第10页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三下列四个函数中，不能作为随机变量分布函数的是＿解:故选11第11页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例.X的概率分布是：求其分布函数解：当

分布函数为

12第12页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三四、离散型随机变量的分布函数1、分布列与分布函数的关系：

3、分布函数、分布列与事件概率的关系13第13页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例１．X的概率分布是：则其分布函数

解：当

分布函数为

------14第14页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例2.若X的概率分布如下，分别求其分布函数X01P1/32/3X345P1/103/106/1015第15页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三1、定义：设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在非负函数f(x)，使得对任意实数X有：

则称X是连续型随机变量，记为:C.R.VX称f(x)是X的概率密度函数，简称概率密度．

五、连续型随机变量及概率密度2、概率密度的性质：连续型随机变量的分布函数处处连续．16第16页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三3、密度函数和分布函数与事件概率的关系4、密度函数和分布函数的关系17第17页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例１下列函数可以作为某一连续型随机变量的概率密度的是___

解:(A)（B），（C）中的函数不是非负函数判断函数是否为某连续随机变量的密度函数18第18页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例２若f(x),g(x)均在同一区间[a,b]上是概率密度函数．试证

(1)f(x)+g(x)不是这区间上的概率密度函数．

(2)对任一数β（0﹤β﹤１）,βf(x)＋(１﹣β)g(x)是这个区间上的概率密度函数．故f(x)+g(x)不是这区间上的概率密度函数故βf(x)＋(１﹣β)g(x)是这个区间上的概率密度函数．19第19页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例１．若C.R.VX的概率密度是，求待定参数B及P{0<X<0.5}

已知某连续随机变量的密度函数或分布函数求其中的未知参数并利用密度函数或分布函数求事件的概率20第20页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例2．设连续型随机变量X的概率密度为试确定常数b的值及P{X<2}21第21页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例3．连续型随机变量X的概率密度为：（1）试确定常数的值（２）如果概率试确定常数b的值。书P68622第22页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三（2）求P{1＜X＜3}例4.若C.R.VX的分布函数是求（１）待定参数A，B，C。

23第23页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三（2）求P{－１＜X＜１}例５.服从柯西分布的随机变量X的分布函数是

求（１）待定参数A，B．24第24页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例1．服从指数分布的RVX的概率密度为求：X的分布函数解：已知密度函数求分布函数；已知分布函数求密度函数25第25页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例2．若C.R.VX的概率密度是，求X的分布函数

26第26页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例3．设连续型随机变量X的概率密度为试求X的分布函数27第27页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例4．连续型随机变量X的概率密度为：

求X的分布函数书P686解:28第28页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三求X的密度函数例5.服从柯西分布的随机变量X的分布函数是

例6.若C.R.VX的分布函数是求X的密度函数求X的分布函数29第29页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例7.某型号电子管，其寿命为一随机变量，概率密度为某一个电子设备内配有三个这样的电子管，求电子管使用１５０小时都不需要换的概率又设A为３个电子管使用１５０小时都不需要换30第30页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例8.某城市每天用电量不超过百万千瓦小时，以X表示每天的耗电率（用电量除以百万千瓦小时），它具有概率密度：若该城市每天的供电量仅为80万千瓦小时求：供电量不够需要的概率

故供电量不够需要的概率为１831第31页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三六、一元随机变量函数的分布１．随机变量函数的定义：设X是一个随机变量，y=g(x)是一个连续函数，则Y=g（X）也是一个随机变量，称它为随机变量X的函数２．离散型随机变量函数的分布：设X是离散型随机变量，Y=g（X）也是离散型随机变量，并且Y的概率分布可由X的概率分布来确定，设X的概率分布为：(1)如果各的值各不相等,则Y=g（X）的概率分布为

（2）如果各

有相等的情形,则应把那些相等的值分别合并，并根据概率的加法公式把相应的相加，就得到Y的概率分布．32第32页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三已知X的分布列,分别求其函数的分布列解：33第33页，讲稿共35页，2023年5月2日，星