湖南省衡阳市船山实验中学2021年高三数学理测试题含解析

湖南省衡阳市船山实验中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果命题“P或q”是真命题，命题“P且q”是假命题，那么(

)A．命题P和命题q都是假命题

B.命题P和命题q都是真命题C．命题P和命题“非q”真值不同

D.命题P和命题“非q”真值相同参考答案：D2.从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】根据等边三角形的性质，分别求出任取两个点间的距离，然后求出这7个点中任取两个点的所有种数，找到满足两点间的距离小于1的种数，根据概率公式计算即可．【解答】解：如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别为BC，AC，AB上中点，交点为O，∴AB=BC=AC=2，AD=BE=CF=，EF=DE=DF=1，AE=CE=AF=BF=BD=CD=1，A0=BO=CO=，OD=OE=OF=，由这7个点中任取两个点共有C72=21种，其中这两点间的距离小于1只能是OD，OE，OF共三种，故这两点间的距离小于1的概率是=，故选：A．3.函数y=2x3－3x2－12x+5在区间[0，3]上的最大值和最小值依次是（

）A．12，－15

B．5，－15

C．5，－4

D．－4，－1参考答案：答案：B4.已知，且，则

（

）

A． B． C．或

D．参考答案：D5.已知函数若互不相等,且,则的取值范围是．

．

．

．参考答案：B6.已知，条件：，条件：，则是的…（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A由得。由得，所以是的充分不必要条件，选A.7.对任意，则

A．

B．

C．

D．的大小关系不能确定参考答案：B8.设偶函数对任意，都有，且当时，,则=(

)

A．10

B．

C．

D．

参考答案：B9.有三名男生和3名女生参加演讲比赛，每人依次按顺序出场比赛，若出场时相邻两个女生之间至少间隔一名男生，则共有（）种不同的排法．A．108 B．120 C．72 D．144参考答案：D【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先排好3名男生，将3人全排列即可，②、在男生排好后的4个空位中，任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、先排好3名男生，将3人全排列，有A33=6种情况，排好后有4个空位，②、在4个空位中，任选3个，安排3名女生，有A43=24种情况，则一共有6×24=144种排法；故选：D．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，注意从“出场时相邻两个女生之间至少间隔一名男生”进行分析，转化为女生插空的问题．10.下列命题中，x，y为复数，则正确命题的个数是①若，则；②若，，，且，则；③的充要条件是．A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A①若，则,是错误的，如；②若，，，且，则，是错误的，因为两个虚数不能比较大小；的充要条件是，是错误的，因为当x+yi=1+i时，x可为i,y可以为-i.故答案为：A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为

▲

．参考答案：12.设函数．若有唯一的零点（），则实数a＝

．参考答案：略13.已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为

．参考答案：17π14.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则________.参考答案：【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义、三角恒等变等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等．【试题简析】解法一：由已知可得，所以.解法二：由已知可得，所以.【变式题源】（2015全国卷Ⅰ·理5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（A）

（B）

（C）

（D）15.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为

．参考答案：36（π+2）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥和半圆锥的组合体，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得答案．解答： 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥和半圆锥的组合体，锥体的底面面积S=π+=18π+36，锥体的高h=6，故锥体的体积V=Sh=36（π+2），故答案为：36（π+2）；点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．16.抛物线x2=2py（p＞0）上一点A（，m）（m＞1）到抛物线准线的距离为，点A关于y轴的对称点为B，O为坐标原点，△OAB的内切圆与OA切于点E，点F为内切圆上任意一点，则的取值范围为．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质．【分析】利用点在抛物线上，求出m，点A到准线的距离为，求出p，即可解出抛物线方程，设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），化简数量积，求解范围即可．【解答】解：因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或p=6．当p=6时，，故p=6舍去，所以抛物线方程为x2=y，∴，所以△OAB是正三角形，边长为，其内切圆方程为x2+（y﹣2）2=1，如图4，∴．设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），则，∴．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．17.已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，在抛物线上，且＝4．则＋的最小值是.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知奇函数是定义在上的增函数（1）求b的取值范围；（2）若对恒成立，求实数t的取值范围参考答案：解析：（1）是奇函数，所以，∴又在上是增函数，所以，在上横为正值，∴。（2）要使对恒成立，由于在上是增函数，在上的最大值为，所以，只需，对任意恒成立，因此只要19.）已知数列满足：，,是数列的前n项和.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为,证明：对于任意的n∈N*，都有参考答案：（1）：由题知，，∴即数列隔项成等差数列，又

，∴n为奇数时，；n为偶数时，.∴,

（2）由（1）知，数列成等差数列，∴，∴20.已知函数（1）若，求实数的取值范围；（2）若,

判断与的大小关系并证明.参考答案：（1）因为，所以.

①当时，得，解得，所以;②当时，得，解得，所以;③当时，得，解得，所以;

综上所述，实数的取值范围是.

…………5分（2），因为,所以…………10分21.(本小题满分13分)如果项数均为的两个数列满足且集合，则称数列是一对“项相关数列”．(Ⅰ)设是一对“4项相关数列”，求和的值，并写出一对“项相关数列”；(Ⅱ)是否存在“项相关数列”？若存在，试写出一对；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)对于确定的，若存在“项相关数列”，试证明符合条件的“项相关数列”有偶数对．参考答案：（III）见解析.(Ⅰ)依题意，，相加得，，又，则，.“4项相关数列”：8，4，6，5；：7，2，3，1（不唯一）

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4分(Ⅱ)不存在．理由如下：假设存在“10项相关数列”，则，相加得．又由已知，，22.设函数．(1)若函数在上为减函数，求实数的最小值；(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．参考答案：(1)(2)

【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．B11B12解析：(1)由已知得x＞0，x≠1．因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．…1分所以当时，．又，………2分故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．

……………4分(2)命题“若存在使成立”等价于“当时，有”．………5分由（Ⅰ），当时，，．问题等价于：“当时，有”．…6分①当时，由（1），在上为减函数，则=，故．

…8分②当<时，由于在上的值域为（ⅰ），即，在恒成立，故在上为增函数，于是，，矛盾．…10分（ⅱ），即，由的单调性和值域知，存在唯一，使，且满足：当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，，…