江苏省常州市市第二高级中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析

江苏省常州市市第二高级中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i是虚数单位，则复数所对应的点落在

（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B2.已知命题p：“m=﹣1”，命题q：“直线x﹣y=0与直线x+m2y=0互相垂直”，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用直线相互垂直与斜率之间的关系解出m，进而判断出结论．【解答】解：命题q：由直线x﹣y=0与直线x+m2y=0互相垂直，则﹣×=﹣1，解得：m=±1．∴命题p是命题q的充分不必要条件．故选：A．3.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D.试题分析：由题意得，该几何体为底面是一扇形的锥体，∴，故选D.考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.4.已知数列的前项和，则等于 A． B． C． D．参考答案：D略5.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为A．

B．

C．2

D．1参考答案：A6.已知集合A={x|x2＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=(

) A．{x|x＜﹣1} B．{x|＞0} C．{x|x＞1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}参考答案：C考点：交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：化简A、B两个集合，利用两个集合的交集的定义求出A∩B．解答： 解：集合A={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，B={x|log2x＞0=log21}={x|x＞1}，A∩B={x|x＞1}，故选：C．点评：本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，化简A、B两个集合是解题的关键．7.下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D8.在△ABC中，D是BC中点，E是AB中点，CE交AD于点F，若，则λ+u=（）A． B． C． D．1参考答案：B【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由于本题是选择题，不妨设△ABC为等边三角形，由题意可得F是△ABC的重心，即可得到==﹣+，继而求出λ，μ的值，问题得以解决．【解答】解：不妨设△ABC为等边三角形，D是BC中点，E是AB中点，CE交AD于点F，∴F是△ABC的重心，∴==（+）=（+﹣）=﹣+，∵，∴λ=﹣，μ=，∴λ+μ=，故选：B．9.,,,,设,则下列判断中正确的是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B试题分析：a、b、c、d∈R＋，

10.已知二次函数，若是偶函数，则实数的值为(

)A.-1 B.1 C.-2 D.2参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数x，y满足z=x+ay（a＞1）的最大值为3，则实数a=

．参考答案：2【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，从而求出z=a+1=3，解出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，1），∵a＞1，∴﹣1＜﹣＜0，∴z=x+ay看化为：y=﹣x+，结合图象直线过A（1，1）时，z最大，z的最大值是z=a+1=3，解得：a=2，故答案为：2．12.若（i是虚数单位）是实数，则实数a的值是_________参考答案：略13.已知集合，若对于任意，都存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①；

②；③；

④．其中是“垂直对点集”的序号是

．参考答案：③④考点：1.集合的概念；2.新定义问题；3.函数的图象和性质.14.无穷等比数列首项为1，公比为负数，且各项和为，则的取值范围是_________。参考答案：略15.已知函数的最小正周期为，则正实数=

.参考答案：因为，且函数的最小正周期为，所以，所以。16.已知点A，B为圆C：x2+y2=4上的任意两点，且|AB|＞2，若线段AB中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M内的概率为．参考答案：【考点】CF：几何概型．【分析】由题意，求出线段AB中点组成的区域为M为半径为的同心圆，利用几何概型的公式得到所求．【解答】解：由题意，线段AB中点组成的区域M为以原点为圆心，为半径的圆，由几何概型的公式得到；故答案为：．17.函数在区间的值域为，则实数的取值范围为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列满足，数列满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求满足不等式的所有正整数的值.参考答案：（1）证明：由得，则。代入中，得，即得。所以数列是等差数列。………………6分（2）解：因为数列是首项为，公差为等差数列，则，则。………………8分从而有，故。…………11分则，由，得。即，得。故满足不等式的所有正整数的值为2，3，4。………………14分19.为预防H7N9病毒爆发，某生物技术公司研制出一种H7N9病毒疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个样本分成三组，测试结果如下表：

已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33．(I)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，应在C组抽取样本多少个？(II)已知b≥465，c>30，求通过测试的概率．参考答案：解：（I）∵，∴

---------------1分∵，

-----------------------------2分∴应在C组抽取样个数是（个）；

-------------------------4分（II）∵，，，∴（，）的可能性是（465，35），（466，34），（467，33），（468，32），（469，31），（470，30），共6种

----------------------7分若测试通过，则，解得，（，）的可能性是（467，33），（468，32），（469，31），（470，30），共4种------10分通过测试的概率是．

-------12分略20.(本小题满分14分)已知椭圆的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，过点作直线(不与轴重合)交椭圆于、两点，连结、分别交直线于、两点，试探究直线、的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．参考答案：（1），故

5分（2）设，若直线与纵轴垂直，

则中有一点与重合，与题意不符，故可设直线.

6分将其与椭圆方程联立，消去得：

7分

8分由三点共线可知，，，

9分同理可得

10分

11分而

12分所以

故直线、的斜率为定值.

14分21.袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球.（I）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；（II）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为，求的分布列及数学期望E.参考答案：解:（Ⅰ）摸出的2个小球为异色球的种数为

………2分从8个球中摸出2个小球的种数为

………………3分故所求概率为

………………4分（Ⅱ）符合条件的摸法包括以下三种：一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，

共有种

………………5分一种是有2个红球，1个其它颜色球，

共有种，

………………6分

一种是所摸得的3小球均为红球，共有种不同摸法，

故符合条件的不同摸法共有种.

………………8分由题意知，随机变量的取值为，，.其分布列为：123

………11分

……12分

略22.如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF，证明四边形ABGF为平行四边形，可得AF∥BG，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（Ⅱ）证明BG⊥DE，BG⊥CD，可得BG⊥平面CDE，利用面面垂直的判定定理，即可得出结论【解答】证明：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF．∵F是CD的中点，∴FG∥DE，且FG=DE．又∵AB∥DE，且AB=DE．∴四边形ABGF为平行四边形．∴AF∥BG．又BG?