山西省太原市晋源街道第一中学2021-2022学年高二数学文月考试题含解析

山西省太原市晋源街道第一中学2021-2022学年高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数y=ax﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点，若点在一次函数y=mx+n的图象上，其中m，n＞0，则+的最小值为（）A．4 B． C．2 D．1参考答案：A【考点】基本不等式．【分析】根据指数函数的性质，可以求出定点，把定点坐标代入一次函数y=mx+n，得出m+n=1，然后利用不等式的性质进行求解．【解答】解：∵函数y=ax﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点，可得定点坐标（1，1），∵定点在一次函数y=mx+n的图象上，∴m+n=1，∵m，n＞0，∴m+n=1≥2，∴mn≤，∴+==≥4（当且仅当n=m=时等号成立），∴+的最小值为4，故选A；2.对实数，定义运算“”：设函数.若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是(

)

A．

B．

C．

D．[-2，-1]参考答案：B略3.已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有()

A．10个

B．9个

C．8个

D．1个参考答案：A4.抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．(1,0)参考答案：B5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则

D．若，，，则.参考答案：D6.在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()A.

B.

C．(1,0)

D．(1，π)参考答案：B7.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（

）A

B

C

D参考答案：B略8.若为奇数，被除所得的余数是(

)

A．0

B．2

C．7

D．8参考答案：C略9.设函数f（x）=xlnx，则f（x）的极小值点为(

) A．x=e B．x=ln2 C．x=e2 D．x=参考答案：D考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极小值点．解答： 解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f′（x）=1+lnx令f′（x）=1+lnx=0，可得x=∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0∴x=时，函数取得极小值，故选：D．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极小值点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10.函数的单调增区间为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D由，解得，所以函数的定义域为.令，，则，函数在定义域内为单调递减函数，又在上的单调递减区间为，单调递增区间为.故选D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数的虚部是___________参考答案：-112.动点M与定点F(3,0)的距离比它到直线x+1=0的距离多2，则动点M的轨迹方程为______参考答案：略13.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为________.参考答案：.【分析】先记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，根据条件概率计算公式，即可求出结果.【详解】记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，则，，所以，在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为.故答案为【点睛】本题主要考查条件概率，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.14.设函数____．

参考答案：略15.在ABC中，，则_________.参考答案：略16.如果双曲线﹣=1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是．参考答案：4或12【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义，分类讨论，即可求得点P到它的左焦点的距离．【解答】解：由双曲线﹣=1，长轴长2a=4，短轴长2b=4，双曲线的左焦点F1，右焦点F2，当P在双曲线的左支上时，P到它的右焦点的距离丨PF2丨=8，则丨PF2丨﹣丨PF1丨=2a=4，则丨PF1丨=4，当P在双曲线的右支上时，P到它的右焦点的距离丨PF2丨=8，则丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a=4，∴丨PF1丨=12，则点P到它的左焦点的距离4或12，故答案为：4或12，17.正四面体的所有棱长都为2，则它的体积为________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（1）已知a，b为实数，并且e＜a＜b，其中e是自然对数的底，证明ab＞ba．（2）如果正实数a，b满足ab=ba，且a＜1，证明a=b．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先构造函数y=，求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论；（2）通过讨论a，b的大小关系，结合函数的单调性，从而证出结论．【解答】证明：（1）当e＜a＜b时，要证ab＞ba，只要证blna＞alnb，即只要证＞，考虑函数y=f（x）=（0＜x＜+∞），∵x＞e时，y′=＜0，∴函数y=在（e，+∞）内是减函数，∵e＜a＜b，∴＞，得：ab＞ba．（2）由（1）因为在（0，1）内f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）内是增函数．（反证法）假设a≠b，由0＜a＜1，b＞0，所以ab＜1，从而ba=ab＜1，由ba＜1及a＞0，可推出b＜1，所以a，b∈（0，1），由0＜a＜1，0＜b＜1，假如a≠b，则根据f（x）在（0，1）内是增函数，若a＞b，则＞，从而ab＞ba；若a＜b，则＜，从而ab＜ba．即a≠b时，ab≠ba，与已知矛盾．因此a=b．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，不等式的证明，是一道中档题．19.如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）方法二：假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0，）或（0，﹣），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1，0），则?=0对满足①式的m，k恒成立．因为=（﹣﹣x1，），=（4﹣x1，4k+m），由?=0得﹣+﹣4x1+x12++3=020.数列中,,且满足(1)求数列的通项公式;(2)设,求;(3)设，，是否存在最大的整数m使得对任意均有＞总成立,若存在,求出m的值,若不存在,说明理由.参考答案：解析：①由得到数列是等差数列得到∴②由>0得n≤5时,当n>5时,===40=.

③∴m<8时,故n的最大值是7.21.（14分）已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.(Ⅰ)指出函数的单调区间;(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,证明:;(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.参考答案：(Ⅰ)函数的单调减区间为,单调增区间为,

(Ⅱ)由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点处的切线互相垂直时,有,当x