2022-2023学年广东省汕头市友联中学高三数学文期末试卷含解析

2022-2023学年广东省汕头市友联中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（）A．6万元 B．8万元 C．10万元 D．12万元参考答案：C【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【专题】计算题；图表型．【分析】设11时到12时的销售额为x万元，因为组距相等，所以对应的销售额之比等于之比，也可以说是频率之比，解等式即可求得11时到12时的销售额．【解答】解：设11时到12时的销售额为x万元，依题意有，故选

C．【点评】本题考查频率分布直方图的应用问题．在频率分布直方图中，每一个小矩形的面积代表各组的频率．2.如图所示，已知等腰直角中，，斜边，点D是斜边上一点（不同于点A、B），沿线段折起形成一个三棱锥，则三棱锥体积的最大值是（

）

A.1

B.

C.

D.参考答案：D3.已知向量，，且，则的值为(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：B略4.某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有

（

）

A．15种

B．12种

C．9种

D．6种参考答案：答案：D5.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则

B．若，则C．若，则

D．若，则参考答案：C略6.已知圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1和两点A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则t的取值范围是（）A．（0，2] B．[1，2] C．[2，3] D．[1，3]参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为2，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为3，最小值为1，再由∠APB=90°，可得PO=AB=t，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1的圆心C（，1），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为2，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为3，最小值为1，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=t，故有1≤t≤3，故选：D．7.以双曲线(a>0，b>0)中心O(坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线,垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．2参考答案：C【知识点】双曲线及其几何性质H6由题意M的坐标为M（，），，代入椭圆方程可得∴e4-8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．【思路点拨】由题意M的坐标为M（，），代入椭圆方程可得e的方程，即可求出双曲线的离心率．8.如图所示，下列三图中的多边形均为正多边形,M、N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1,F2为焦点，设图中的双曲线的离心率分别为e1,e2,e3，则

（

）

A．e1>e2＞e3

B．e1<e2<e3

C．e1＝e3<e2

D．e1=e3>e2参考答案：D在图（1）中令|F1F2|=2c,因为M为中点，所以|F1M|=c且|MF2|=．

∴

在图（2）中，令|F1M|=m,则|F1F2|=2，|MF2|=．

∴．

在图（3）中,令|F1F2|=2c,则|F1P|=c,

|F2P|=．∴e3=．故e1=e3>e2．故选D．9.若m，n为实数，且（2+mi）（n﹣2i）=﹣4﹣3i，则=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵（2+mi）（n﹣2i）=﹣4﹣3i，∴2n+2m+（mn﹣4）i=﹣4﹣3i，∴2n+2m=﹣4，mn﹣4=﹣3，解得：m=n=﹣1，则=1．故选：A．10.设函数的导函数为，对任意xR都有成立，则

（）

A.

B．C.

D.与的大小不确定参考答案：【知识点】导数的应用.

B12【答案解析】A

解析：设，则在xR上恒成立，所以是R上的减函数，所以，即，故选A.【思路点拨】构造新函数，利用已知条件判断其单调性，从而得正确选项.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设实数满足，若目标函数的取值范围是，则常数=__________.参考答案：412.在各项为正数的等比数列{an}中，若与的等比中项为，则的值为_________.参考答案：由题设，又因为，所以，应填答案。13.一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的

倍．参考答案：2【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的性质，公式转化为用r表示的式子判断．【解答】解：∵一个圆柱和一个圆锥同底等高∴设底面半径为r，高为h，∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍，∴πrl=2πr2，l=2rh=r∴圆柱的侧面积=2πrl=2πr2，其底面积=πr2∴圆柱的侧面积是其底面积的2倍，故答案为：．【点评】本题考查了旋转体的几何性质，表面积的运算公式，属于中档题．14.已知向量是单位向量，向量，若，则，的夹角为．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求得cosθ的值，可得，的夹角为θ的值．【解答】解：向量是单位向量，设，的夹角为θ，∵向量，若，∴||==4，∴?（2+）=2+=2+1?4?cosθ=0，求得cosθ=﹣，∴θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．15.如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是

．

参考答案：16.函数的定义域为D，若存在闭区间[a，b]D，使得函数满足：(1)在[a，b]内是单调函数；(2)在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的是

▲

(只需填符合题意的函数序号)

①；②；

③；④。参考答案：①③④略17.已知函数f（x）=|cosx|?sinx，给出下列四个说法：①f（x）为奇函数；

②f（x）的一条对称轴为x=；③f（x）的最小正周期为π；

④f（x）在区间[﹣，]上单调递增；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是

．参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先化简函数解析式，根据函数的奇偶性判断①；根据诱导公式化简f（π﹣x）后，得到与f（x）的关系可判断②；根据函数周期性的定义判断③；由二倍角公式化简，再根据正弦函数的单调性判断④；根据诱导公式化简f（﹣π﹣x）后，得到与﹣f（x）的关系可判断⑤．【解答】解：函数f（x）=|cosx|?sinx=（k∈Z），①、f（﹣x）=|cos（﹣x）|?sin（﹣x）=﹣|cosx|?sinx=﹣f（x），则f（x）是奇函数，①正确；②、∵f（π﹣x）=|cos（π﹣x）|?sin（π﹣x）=|﹣cosx|?sinx=f（x），∴f（x）的一条对称轴为x=，②正确；③、∵f（π+x）=|cos（π+x）|?sin（π+x）=|﹣cosx|?（﹣sinx）=﹣f（x）≠f（x），∴f（x）的最小正周期不是π，③不正确；④、∵x∈[﹣，]，∴f（x）=|cosx|?sinx=sin2x，且2x∈[，]，∴f（x）在区间[﹣，]上单调递增，④正确；⑤、∵f（﹣π﹣x）=|cos（﹣π﹣x）|?sin（﹣π﹣x）=|﹣cosx|?sinx=f（x）≠﹣f（x），∴f（x）的图象不关于点（﹣，0）成中心对称，⑤不正确；故答案为：①②④．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)在上的最值及相应x的值．参考答案：（1）…………2分∴………………4分（2），………………6分当即时，………………9分当即时，………………12分（另解请酌情给分）19.

（12分）已知数列的前项之积与第项的和等于1．（1）求证是等差数列，并求的通项公式；（2）设，求证．参考答案：解析：（1），易知则…①，…②

两式相除得，即，∴．∴是以为首项，为公差的等差数列，在已知中令可得∴，∴

…6分（2）由（）所以

（）又因为，∴综上成立．

…12分20.已知曲线与轴相交于两点，与轴相交于点，圆经过三点。

（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆相切，试探讨直线与曲线的位置关系。参考答案：21.（12分）设函数.

(1)判断函数奇偶性；（2）证明：的导数；

(3)求函数在区间的最大值和最小值(结果用分式表示).参考答案：解析:（1）∵,,∴函数的定义域为实数R.

……1分又∵∴函数为奇函数.

……4分（2）的导数．

……6分由于，故．（当且仅当时，等号成立）．

……8分(3)由（2）可知函数在单调递增，所以在区间上也单调递增，故函数在处取得最大值，最大值为……10分在处取得最大值，最大值为

……12分

22.（本题满分12分）汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；

轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．

（Ⅰ）求z的值；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2