2021年安徽省安庆市赛口中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021年安徽省安庆市赛口中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线，直线倾斜角是且过抛物线的焦点，直线被抛物线截得的线段长是16，双曲线：的一个焦点在抛物线的准线上，则直线与轴的交点到双曲线的一条渐近线的距离是（

）A.2

B.

C.

D.1参考答案：D抛物线的焦点为,由弦长计算公式有,所以抛物线的标线方程为,准线方程为,故双曲线的一个焦点坐标为,即,所以,渐近线方程为,直线方程为,所以点,点P到双曲线的一条渐近线的距离为,选D.点睛:本题主要考查了抛物线与双曲线的简单几何性质,属于中档题.先由直线过抛物线的焦点,求出弦长,由弦长求出的值,根据双曲线中的关系求出,渐近线方程等,由点到直线距离公式求出点P到双曲线的一条渐近线的距离.2.已知函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1、x2，方程f（x）=m有两个不同的实根x3、x4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为（）A． B． C． D．参考答案：D考点： 等差数列的性质；函数的零点．专题： 计算题．分析： 由题意可知：x1=，x2=，且x3、x4只能分布在x1、x2的中间或两侧，下面分别求解并验证即可的答案．解答： 解：由题意可知：x1=，x2=，且x3、x4只能分布在x1、x2的中间或两侧，若x3、x4只能分布在x1、x2的中间，则公差d==，故x3、x4分别为、，此时可求得m=cos=﹣；若x3、x4只能分布在x1、x2的两侧，则公差d==π，故x3、x4分别为、，不合题意．故选D点评： 本题为等差数列的构成问题，涉及分类讨论的思想和函数的零点以及三角函数，属中档题．3.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．（，]参考答案：B【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意求得sin（ωx+φ）=﹣1，函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，根据周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式．再根据当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，可得sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，由此求得φ的取值范围．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤）的图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，令2sin（ωx+φ）+1=﹣1，即sin（ωx+φ）=﹣1，即函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，故T==π，求得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）+1．由题意可得，当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，即sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，求得φ≥2kπ+，且φ≤2kπ+，k∈Z，故φ的取值范围是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，结合所给的选项，故选：B．4.右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米后，则水面宽为（

）（A）2.2米 （B）4.4米

（C）2.4米

（D）4米

参考答案：B考点：函数的性质.5.若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91，91.5 B．91，92 C．91.5，91.5 D．91.5，92参考答案：C【考点】茎叶图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数与平均数即可．【解答】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；∴这组数据的中位数为=91.5，平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5．故选：C．【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数与平均数的应用问题，是基础题目．6.若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）

A.cm3

B.cm3

C.cm3

D.cm3

参考答案：A由三视图可知该几何体为上部是一个平放的五棱柱，其高为h=1，侧视图为其底面，底面多边形可看作是边长为1的正方形截去一个直角边为的等腰直角三角形而得到，其面积为，所以几何体的体积为，故选A．点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．7.已知满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D画出线性约束条件的可行域，由可行域知：目标函数过点时有最小值，最小值为；过点（1,1）时有最大值，最大值为，因为z的最大值是最小值的4倍，所以。8.下列符合三段论推理形式的为()A．如果pq，p真，则q真B．如果bc，ab，则acC．如果a∥b，b∥c，则a∥cD．如果a＞b，c＞0，则ac＞bc参考答案：B略9.则a，b，c的大小关系是()．A．a＞c＞b

B．a＞b＞c

C．c＞a＞b

D．b＞c＞a参考答案：A10.四棱锥的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图所示，则四棱锥的表面积为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是双曲线：的左焦点，是双曲线的虚轴，是的中点，过的直线交双曲线于，且，则双曲线离心率是_________________.参考答案：12.（几何证明选讲）如图，是圆O的内接三角形，圆O的半径，，，是圆的切线，则_______．参考答案：13.已知函数f（x）=有3个零点，则实数a的取值范围是．参考答案：（，1）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数零点的判定定理．【分析】由题意可得，a＞0且y=ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，再利用二次函数的性质求得a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=有3个零点，∴a＞0且y=ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．14.已知正实数成等差数列，成等比数列，则的最小值是

．参考答案：略15.设变量x，y满足约束条件，则的最小值为_____；的最大值为_____．参考答案：1

【分析】作出不等式组对应的可行域，结合式子的几何意义，数形结合即可得到结果.【详解】解：由约束条件作出可行域如图，，联立，解得．令，由图可知，当直线过时，有最小值为1；由的几何意义，即可行域内动点与定点连线的斜率，可得的最大值为．故答案为：1；．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16.已知双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程是y=±2x，则C的离心率e=．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程，可得b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由渐近线方程y=±x，可得=2，即b=2a，可得c==a，即有e==．故答案为：．17.数列是公比为的等比数列，是首项为12的等差数列．现已知a9＞b9且a10＞b10，则以下结论中一定成立的是

．（请填写所有正确选项的序号）

1

；②；③；④．参考答案：【答案解析】①③解析：解：因为数列是公比为的等比数列，所以①成立;而④，只有当为正数才成立，不一定成立；又因为是首项为12的等差数列，所以是递减数列，③成立，当公差很小时②不成立，所以答案为①③【思路点拨】根据数列的概念进行分析.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知各项均为正数的数列前项和为,首项为,且2，,

成等差数列.（I）求数列{}的通项公式；（II）若，，求数列{}的前n项和Tn.参考答案：解：（1）∵2，,成等差数列，当时，，解得．

…2分当时，．即．

∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，

……5分（2）又

………6分①②①—②，得

………8分

………10分19.某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见右表.现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.（1）求从甲、乙两科室各抽取的人数；（2）求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率；（3）记表示抽取的3名工作人员中男性的人数，求的分布列及数学期望.参考答案：.解：（1）从甲组应抽取的人数为，从乙组中应抽取的人数为；--------2分（2）从甲组抽取的工作人员中至少有1名女性的概率（或）----------------------------------------------------5分（3）的可能取值为0，1，2，3-----------------------------------------------------6分，------------------------------------------------------------7分，---------------------------------------------8分，---------------------------------------------------------------9分（或)-------10分∴的分布列如右---------------------------------12分略20.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）．倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l与曲线C交于M，N两点（Ⅰ）写出直线l的参数方程的标准形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l的参数方程为：．曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+），展开：ρ2=2×（sinθ+cosθ），利用互化公式可得直角坐标方程．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程为：t2﹣t﹣1=0，可得+=+==即可得出．【解答】解：（I）由倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l的参数方程为：，化为：．曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+），展开：ρ2=2×（sinθ+cosθ），可得直角坐标方程：x2+y2=2x+2y．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程为：t2﹣t﹣1=0，t1+t2=1，t1t2=﹣1．∴+=+====．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.对于定义在上的函数，若存在，对任意的，都有或者，则称为函数在区间上的“下确界”或“上确界”．（Ⅰ）求函数在上的“下确界”；（Ⅱ）若把“上确界”减去“下确界”的差称为函数在上的“极差”，试求函数在上的“极差”；（Ⅲ）类比函数的“极差”的概念，请求出在上的“极差”．参考答案：解：（Ⅰ）令，则，

显然，，列表有：x

0

(0,x1)x1

(x1,1)

1

-0+

↘

极小值↗

1

所以，在上的“下确界”为.

（Ⅱ）①当时，，，极差；②当时，，，ks5u极差；ks5u③当时，，，极差；④当时，

，

极差

；

⑤当时，，，极差；

⑥当时，,

，极差.综上所述：

（Ⅲ）因为，

当或时等号成立，所以的最大值为1．

令，则令，则，令，得是的极大值点，也是的最大值点，，从而，

所以

当时等号成立，所以的最小值为．

由此

略22.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）设=λ（0≤λ≤1），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出AB⊥BC1，B