自动化学院学习复变函数第五章

内容简介本章,我们以洛朗级数为工具,首先对解析函数的弧立奇点进行分类,再对它在弧立奇点邻域内性质进行研究,这些讨论都是学习留数的础.这一章是第三章Cauchy积分理论的继续,留数在复变函数论本身及实际应用中都很重要,它和计算沿闭曲线积分问题有密切关系.第五章

留

数(Residue)第五章

留

数(Residue)

1.

定义

2.

分类

3.

性质

4.

零点与极点的关系§1弧立奇点1.

定义例如1f

(z)

=

e

z----z=0为孤立奇点sin

1f

(z)

=z----z=0及z=1/np

(n=–1,–2,…)都是它的奇点1z

-

11f

(z)

=----z=1为孤立奇点定义若f

(z

)在z0处不解析,但在z0的某个去心邻域0

<z

-z0

<d内解析,则称z0为f

(z

)的弧立奇点.~~~~~~~~~xo这说明奇点未必是孤立的。1邻域内,总有f

(z

)的奇点$，=0,\在z

=0不论多么小的去心ynfi

¥

np但

lim的孤立奇点。zsin

11故z

=0不是2.

分类以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：+(1)

=

1

-

+

-

+

(-1)(2n

+

1)!z

3!

5!sin

zz

2

z4

z

2nn特点：没有负幂次项=+¥+¥(2)

=1

z=

z

+

1

+

2!

+

+

n!

+n!

n!1z

zzn-1n=0

n=0zn

zn-1ez特点：只有有限负幂次项2!

n!(

3)e

=

1

+

z

-1

+

1

z

-

2

+

+

1

z

-

n

+

1z特点：有无穷多负幂次项定义设z0是f

(z)的一个孤立奇点，若¥n=0nn

0c

(z

-

z

)(i)

f

(z)

=没有负幂次项，称z=z0为可去奇点;¥„

0,

m

‡

1)c

(z

-

z

)

(c(ii

)

f

(z)

=n=-mn

0

-m只有有限负幂次项，称z=z0为m

级极点;¥c

(z

-

z

)(iii

)

f

(z)

=n

0~~~~~~~~n~~~~~~~~nn=-¥有无穷多负幂次项，称z=z0为本~~性~~奇~~点~~。0ncn

(

z

-

z0

)f

(

z

)

=lim

f

(

z

)

=

cz

-

z0+¥n

=0性质若z0为f

(z)的可去奇点+¥(

c

„

0,

m

‡

1

)c

(z

-

z

)f

(z)

=-mnn

0补充定义：

f

(

z0

)

=

c0

f

(

z)在z0解析.若z0为f

(z)的m

(m

‡1)级极点10g(z)(z

-

z

)mf

(z)

=n=-mlim

f

(z)

=

¥z

-z0g(z)在z

-z0<d内是解析函数且g(z0

)„0.2其中:

g(z)

=

c-m

+

c-m

+1

(z

-

z0

)

+

c-m

+2

(z

-

z0

)

+,z

2

-

3z

+

2例如：f

(z)=(z

2

+

1)(z

-

1)4z=1为f

(z)的一个三级极点，z=–i为f

(z)的一级极点。若z0为f

(z)的本性奇点f

(z)的洛朗级数有无穷多项负幂次项lim

f

(z)不$(„¥

)nfi

¥4.

零点与极点的关系定义不恒等于0的解析函数f

(z)如果能表示成f

(z)

=

(z

-

z

)mj

(z)0其中：j

(z0

)„0,j

(z

)在z0点解析,m

˛

N则称z=z0为f

(z)的m

级零点。例如：z

=0与z

=1分别是f

(z)=z(z

-1)3的一级与三级零点。000+¥c

(z

-

z

)n=0n

nc

=

j

(z

)

„

00

0j

(z)

=f

(

n)

(z

)

=

0(n

=

0,1,2,,

m

-1)

f

(

m

)

(z

)

„

0.mf

(z)

=

(z

-

z0

)

j

(z)(j

(z0

)„0,j

(z

)在z0点解析,m

˛

N

)定理事实上，必要性得证！+¥0n+m

nc

(z

-

z

)\

f

(z)

=0„

0m!f

(

m

)

(z

)而

0

=

cn=0由Taylor级数的系数公式有:f

(

n

)

(z

)

=

0

(n=

0,1,2,,

m

-

1),0充分性略！例如z

=0与z

=1均为f

(z)=z(z

-1)3的零点。又f

'(

z

)

=

(

z

-

1)3

+

3

z(

z

-

1)2f

"(z)

=

6(z

-

1)2

+

6z(z

-

1)f

'''(z)

=

12(z

-

1)

+

6(z

-

1)

+

6z

f

'

(0)

=

(-1)3

„

0\z

=0为一级零点f

'''(1)

=

6

„

0

f

'(1)

=

0

f

''(1)

=

0\z

=1为三级零点定理若z0是f

(z)的m级极点10的m级零点.f

(z)z

是10(

z

-

z

)mf

(z)

=证明

“”

若z0为f

(z)的m

级极点g(z)(g(z)在z0解析,且g(z0

)„0).110f

(

z

)

g

(

z

)=

(

z

-

z

)m

h(

z

)

(

z

„

z

)0

0=

(

z

-

z

)m\(h(z)在z0解析,且h(z0

)„0).1

1=0,\令f

(z)

f

(z0

)limzfi

z010的m级零点.f

(z)=0，则z

是10的m级零点,则f

(

z

)“

”若z

是10f

(z)m=

(z

-

z

)

j(z)00(j(z),且j(z

)

„

0).在z

解析11000y

(z)1j

(z)(z

-

z

)m=(z

-

z

)m当z

„z

时，f

(z)=(y

(z)在z0解析,且y

(z0

)„0).\z0是f

(z)的m级极点.的奇点，z(1

+

z

2

)(1

+

epz

)求f

(z)=例如果是极点指出它的级。解

显然，z=–i

是(1+z2)的一级零点

epz

+

1

=

0,

即

epz

=

-1\

pz

=

Ln(-1)

=

i(p

+

2kp

)

=

(2k+

1)pi故奇点为：

zk

=

(2k

+

1)i k

=

0,–1,–2,=

pepzz

=i

(

2k

+1)

z

=i

(

2k

+1)(1

+

epz)'=

p[cosp

(2k