第五章57三角函数应用课时

第五章三角函数高中快车道成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存，自动更新，永不过期5.7

三角函数的应用课时19

三角函数模型在物理中的应用高中快车道教学目标了解“简谐运动”的函数模型y=Asin(ωt+φ)(t≥0,A,ω>0)中参数

A,ω,φ的物理意义,进一步理解函数y=Asin(ωx+φ)的图象特征和性质.能根据已知条件求出三角函数模型y=Asin(ωt+φ)的解析式,进一步体会函数y=Asin(ωx+φ)是描述日常生活中的周期现象的重要的数学模型.会构造三角函数模型y=Asin(ωx+φ)刻画和描述物理中的相关运动,能够将物理中的实际问题抽象为与三角函数y=Asin(ωx+φ)有关的函数模型.学习目标课程目标学科核心素养研究简谐运动,进一步理解函数y=Asin(ωx+φ)的图象特征和性质通过对物理学中简谐运动的探索研究,培养数学抽象、逻辑推理等素养能结合物理学的有关知识,根据已知条件求出三角函数模型y=Asin(ωt+φ)的解析式在运用物理知识建立三角函数模型的过程中,培养数学抽象、数学建模素养会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的物理问题在构建三角函数模型解决物理问题的过程中,培养数学建模、数学运算等素养情境导学现实生活中存在着大量的具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，这些现象一般都具有周期性，例如弹簧振子、单摆、交变电流等．这些周期现象的运动规律常常可以考虑借助三角函数来描述，而相关问题也可以运用三角函数的图象和性质加以解决．现有某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如下表所示，结合表1数据，可以利用什么函数模型刻画弹簧振子的运动过程？初探新知【活动1

】探究振子运动规律的数学模型【问题1】情境导学中，我们给出了弹簧振子一次全振动过程中时间与位移的对应数据，如何把已知的数据更直观地表达出来？【问题2】观察散点图，位移y随时间t的变化规律可以用怎样的函数模型刻画？【问题3】如何求解振子的位移y(单位：mm)关于时间t(单位：s)的函数解析式(或近似解析式)？【问题4】你能说出简谐运动中的振幅、周期、频率、相位、初相的含义吗?【问题5】如图①是某次实验测得的交变电流i(A)随时间t(s)变化的图象，将图象放大，可以发现交变电流的变化具有周而复始、循环往复的特点，如图②.那么可以利用怎样的函数模型刻画交变电流的周期性变化呢？【活动2

】探究交变电流关于时间变化规律的数学模型【问题6】求电流i随时间t变化的函数解析式．𝟔𝟎𝟎

𝟏𝟓𝟎

𝟔𝟎𝟎

𝟔𝟎【问题7】根据上述解析式，当t＝0，

𝟏

，

𝟏

，

𝟕

，

𝟏

时，求电流i.【知识梳理】在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=A

sin(ω

x+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=2π/ω,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f=1/T=ω/2π给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.由交变电流的产生原理可知,电流i随时间t的变化规律可用i=Asin(ωt+φ)来刻画.其中A是交变电流的振幅,它是最大电流;周期是T=2π/ω,它是交变电流完整变化一次所需要的时间;这个交变电流的频率由公式f=1/T=ω/2π给出;ωt+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.典例精析【例1】[教材改编题]某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？写出这个简谐运动的函数解析式．𝟐思路点拨：先观察振幅A以及𝟏T，求出周期T，进而求出角速度ω＝𝟐𝝅，最后代𝑻入最小值点(0.5，－5)，求出初相φ.【解】【方法规律】已知三角函数图象求三角函数解析式，一般情况下，可直接观察图象得出周期、振幅，进一步求出角速度，最后利用最大值点(或最小值点)求出初相．【变式训练1】如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是

.5π

πx＋y＝2sin

2

4【解】【例2】弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(静止𝟒时的位置)的距离h(cm)由函数解析式h＝3sin（2t+𝝅）表示．求小球开始振动的位置；求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；经过多长时间小球往返振动一次？每秒内小球能往返振动多少次？思路点拨：把t＝0代入已知函数，求得h值即可得初始位置．由解析式可得振幅，然后求出最高点、最低点对应t值，即可得．求函数周期可得．由频率的意义可得．【解】(1)

令t=0,得h=3sinπ=3√2,所以开始振动的位置为ቀ0,3√2ቁ.4

2

2【方法规律】已知三角函数解析式，一般情况下，可直接得出角速度、振幅，进一步求出周期、频率，以及最值．注意具体问题中几何刻画与代数刻画的联系与区别，例如本例题的最高点、最低点是几何刻画，最大值、最小值是代数刻画．【变式训练2】弹簧振子以点O为平衡位置在A，B间做简谐运动，A，B相距50

cm.某时刻振子位于点A，经1

s振子首次到达点B.求：振子振动的周期和频率；振子在1

min内通过的路程及此时的位移大小；振子与点A的位移y与时间t的函数解析式．【解】【例3】在电流强度I与时间t的关系I＝A

sin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)中：(1)

要使t在任意

𝟏

s的时间内的电流强度I能取得最大值A与最小值－A𝟏𝟎𝟎，求正整数ω的最小值；(2)存在某个

𝟏

s的时间段上，电流强度I既能取到最大值A，也能取到𝟏𝟎𝟎最小值－A，求频率f的最小值．𝟏𝟎𝟎思路点拨：(1)

任意

𝟏

s时间内电流强度I能取得最大值A与最小值－A，只有三角函数在一个完整的周期上才能确保取到最大值与最小值，即周期T≤

𝟏

.𝟏𝟎𝟎(2)

三角函数相邻的最大值点(使得函数取最大值的自变量)与最小值点(使得函𝟐

𝟏𝟎𝟎数取最小值的自变量)之间的距离为最小正周期的一半，即𝑻≤

𝟏

.【解】(1)

由题意得T≤

𝟏

，即𝟐𝛑≤

𝟏

，即ω≥200π，从而正整数ω的最小值为𝟏𝟎𝟎

𝛚

𝟏𝟎𝟎629.(2)

由题意得𝑻≤

𝟏

，即f＝𝟏≥50，从而频率f的最小值为50

Hz.𝟐

𝟏𝟎𝟎

𝑻【方法规律】交变电流I与时间t的关系可以用三角函数模型I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),应用这一模型解决相关问题时,要注意结合其图象分析:在一个完整的周期上必然能取到最大值与最小值;三角函数相邻的最值点之间的距离为最小正周期的一半.【变式训练3】(多选)交流电的电动势E(单位：V)与时间t(单位：s)的𝟒A.

电动势的最大值为110

𝟐

V𝟓𝟎B.电动势的最小正周期为𝟏

sC.电动势的初相为100πD.当t＝0.0175时，电动势E＝0关系为E＝220sin（100𝝅t+𝝅）

，则下列说法中正确的有(

BD

)【解】如图,一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线,一端固定,另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度(最大偏角)后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动.若线长为l

cm,沙漏摆动时离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是s=3cos𝒈

𝒕

+

𝝅𝒍

𝟑,t∈[0,+∞).当l=25

cm时,求该沙漏的最大偏转角θ0(精确到0.000

1

rad);已知g=9.8m/s2,要使沙漏摆动的周期是1s,线的长度应当是多少(精确到0.01cm).【备选例题】思路点拨：最大偏角θ0满足sinθ0=s/l,其中,s=3,l=25,从而sinθ0=3/25,由计算器,可得θ0≈0.120

3.由函数f(x)=Acos(ωx+φ)的性质与T=1

s,可得l=g/(4π2

),代入

g=9.8

m/s2=980cm/s2,可求得l=980/(4×3.142

)≈24.82.(1)

因为s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是s=3cos𝒈𝒕+

𝝅𝒍

𝟑,0

0𝒍

𝟐𝟓t∈[0,+∞),所以最大位移s=3,设偏角为θ,则最大偏角θ

满足sinθ

=𝒔=𝟑

,根据计算器的计算结果,得θ0≈0.1203rad,即当l=25cm时,该沙漏的最大偏转角为0.120

3

rad.𝝎𝒈𝒍𝒍

𝟒𝝅𝟐(2)

根据f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T=𝟐𝝅,得1=𝟐𝝅⇒𝒈=4π2,即l=

𝒈

,又g=9.8

m/s2=980

cm/s2,所以l=

𝟗𝟖𝟎

≈24.82(cm),所以,要使沙漏摆动𝟒×𝟑.𝟏𝟒𝟐的周期是1s,线的长度应当是24.82

cm.【解】【方法规律】在现实生活中,许多变化的现象都具有周期性,因此,可以用三角函数模型来描述.如:气象方面有温度的变化,天文学方面有白昼时间的变化,物理学方面有各种各样的振动波,生理方面有人的情绪、智力、体力变化等.研究这些应用问题,主要有以下三种模式.给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题.给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数,再解决其他问题.搜集一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数式,进一步用函数性质来解决相应的实际问题.课堂反思通过本节课的学习，你学到了哪些知识？你认为本节课的重点和难点是什么？随堂演练1. [2021·中国人民大学附属中学高一期末]音叉是呈Y形的钢质或铝合金发声器(如图①)，各种音叉因其质量和叉臂长短、粗细不同在振动时可发出不同频率的纯音敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝

𝟏

sin ωt，图②是该函数在一个周期内𝟏𝟎𝟎𝟎的图象，根据图中数据可确定ω的值为(D

)A.

200 B.400 C.

200π D.

400π2.

一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4

s，振幅为5 cm，则该振子在2

s内通过的路程为(

C

)A.

0.2

m B.

0.5

m C.

1

m D.

2

m3.(多选)电流I(A)随时间t(s)变化的函数I＝A

sin

(ωt＋φ)(A>𝟎,ω>𝟎,0<𝝓<𝝅𝟐)的图象如图所示，则下列选项中正确的有(ω＝100π周期为0.01

s)C.

当t＝

𝟏

s时，I＝－5A𝟏𝟎𝟎D.振幅为20

AAC4.一弹簧振子的位移y与时间